• Aucun résultat trouvé

Equations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires et solutions de viscosité

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Equations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires et solutions de viscosité"

Copied!
14
0
0

Texte intégral

(1)SEMINAIRE. E quations aux D e´ r i v e´ e s Pa r t i e l l e s. 1998-1999. Pierre-Louis Lions et Panagiotis E. Souganidis Équations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires et solutions de viscosité Séminaire É. D. P. (1998-1999), Exposé no I, 13 p. <http://sedp.cedram.org/item?id=SEDP_1998-1999____A1_0>. U.M.R. 7640 du C.N.R.S. F-91128 PALAISEAU CEDEX Fax : 33 (0)1 69 33 49 49 Tél : 33 (0)1 69 33 49 99. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/.

(2)  

(3)    .  .      

(4)    .  .

(5)              !

(6)   !  ! "#$ %%  !& '(    )  * +,

(7) *  $ +, - + 

(8) !+

(9) !+ - + %./(   . 0+12 , ! & 3   ! !+  4 5!   +*67 ! 0! *    58'%9: +   + 8'(9: 8'97    # !03+ & !  + 3 ,+* 5+ !  ; +*<*=7 + < +    *++      !Æ  **3 !  $ ! +1<*: + !++   +**  + , ! + +  + + +  33 3+ +: 3 *1 + !0 #! *      !03+ !    5'7 +  5@7.  >  5     7  ? 5       7 . /:     5 &*7:   +!+  . . >. .   . +<    ,+ +      5+ 1+: ,+** +   &*: + + !+    ! ,+ + 

(10)  5  77    <   ! 03+ 5'7: + + 03 <  A'.

(11)  !03+ B:  *+ ,+**:    ! *& **  3  < &# 3 B + + 5   7:    :     5.7 5     7 5    

(12) 7  

(13) +<  

(14) + ! *  $*3:    3 +3 0 $+<:   3: +  : + &  0 + ! ; + =: +  &*   !!  !     5   C  : + *  : ,+**    7 +   !+      < + 3 ! 5'7 + !    ! *  : !D 5  !0E+7 !0 *+* F+G !!  <  !   5! + 3   1 E <  !   7    + @ !+: + !3+ 1<* 33  + !03+ ! $ 5'7 : + &3+ !   + . 33 !   !Æ  **3 30 + , +! B: + + !   +    $3 !  3 + + ! ++ !  + + 3 * ! ,    !. + !3+  1<  !0 + 3 +  !+    7 $ + 3     5+ *7 H  &* 3  $ + 3 !03+ ! $ 5'7    +<     :      5 #: ! +!+ * + *+ +** 0!!  !    + <     !  7  03+  ;1+3=   +<  &   /  3 57  " 57   $*3 + +$+    <  !+& 8'9: I -1 [email protected] 57 +  ! ! 0&*   * !03+ !  $    H ' 57  >   ? J  @ :   !  ,+* ! E+:  ++  !+  5%7  >  5 ?  7 A@.

(15) 7 K#  +E+ + 3  ,+*+  H   1 + 3 03+ ! LMNO 2+  E+ ,+!*  B # +  !  + ! +E+ + 3  ,+*+   3+ #+ +** 0++ *+ !  ! +!+ 5+ +*7 !0 !D+    !  ,+* 5'7       :    :   5!! ! 7 +  ! !: + + +

(16)  LMNO 8@9: F +C+M$ 8@@9:  !+& 8@/9: 8@'9: P Q$+  F +C+M$ 8''9: I Q 8'@9 7

(17) +!< ! &  K 

(18) *3 H  *+!< #& ! $ 5'7 +  ++  ** + 0++ !  +1 ! &  K 

(19) *3 5+  + 8%9:

(20) 

(21)  8'R9 7 7 +E+ + 3 2 + H   *E* ,4+ 3  +E+ +* ! $<* *+!  ! 3+ !D +! 5!*7  E 1+!  03 + ! I*+S +1F* 5 > /: > 5  7 +&  7:  +E+ 2 + ! !D+ +! < ! 3+ ! I*+ S +1F* + 3 ! $ 5'7  +  +    +#! 8'%9: 8'9 +  ! ! 7 +#+ + 3 ! ,+  !0,  H  *+!<  $3      !

(22) & 5+ ! +* *  +*< !  +7 +! ! +#+ +  3 ! ,+ + !0,      *  !*+ @5>  7    ! *+* !0 +1 ,* #< !+   +*.  ! +#+  !+   1 1 . A..

(23) T. >.   . >. . + 3       + : +:  +!  ,+ +     3  +1 !   > / +  *  +1  5  C+   / ++! < 0& !  +17:  +1 !  57 > / !+  *+* !  +1 !< 3  + 5  ! ++ !  +7  . >.   .   !+  !0*# 3   !0  +* !+   1 1 +! < 03+ 5(7. . > . .  #*:    +*  !+   >    +<   !#  +1 5      /7:  #* 3 +! < 03+ 57. . > . . ?  J . . .  .      . +  ! !    !*:    + +  + 8'9  3 ) F    +#! 89: ) F: I

(24)  +    +#! 8.9 7 +1<* $*+3  +Æ  + +  H  0# ! !! ! 3+ ! $ 5'7 <  !03+ ,  ! +Æ  + !* +  S30< :       ! 5+  &* I Q  I I# 8'.9: I -1 [email protected] 0 +1<* $*+3 +   + !  ! ! *& + : <  !03+ ! $     * + !* +  ! ;,+ #= A.

(25) *+: +  !! ,+** ! 3+ ! $ 57:  !! +  !0  2B   > @: + ! +1 !*  *1 +& #  +   ! * +1:  " KM 89 " 

(26) Æ#! $ %#$ &#!. .'

(27) E* !   ! ++ #< 5 7 ! 5'7:  ,+*+ ! 3+ 0   +  +  !  !Æ : !++ !& &* "+ !01+!: !   ! 03+ 5(7: + 0! <  3 03+ 5(7 +   #* *+++ !0 + 5  57 +<   #<   * +   7 H  D:    57 +  *E* # !  6 :  ,+* ! E+ *3 '  57 >  57  ?  57   @ ' >  57 ?  57  @ ¼¼. ¼¼.  0  ! 0  B 6   +! &* +     !0 3+    >'  >  ?     / 0<  ,+* ! E+:  +  > 5    7: + +1   ' ' '  >  ?    >    >    @ @ @ ' ! + 3  /    :  +1<*  * + 53+ !   @ +#! 67  *<  #: 5'7  * + 5 *+ ,+* *7 < *+ ! + 5 +  > :  >  7   '    57  57    5 7 @    ++ <  !Æ  + < *   !D ! E+   ! ++  5+ Æ  7  !0  5'7 +  ,+* 5R7  >  5    7 Æ  ? 5       7  A%.

(28) : 5(7 ! 57  >  Æ.  +  1: #E     ! + :  57. >.  57 Æ. 0 : 03+: +  5'/7. . >  57 Æ. . /:. >.  . ? . . !:  +  > 5    7: >. . . .   !+ 1 + + +   /  + + !0+1 3 5R7: 57  5'/7      ! !D ! E+  ! +  * 5!   +<   !! 3 ! 7 5R07 507  5'/07.  . >.  . >  . >. ?. . ' ? 5 @. ' ? 5 @. . .     7   .   7 . ' ? 5 ? 7  @. . . . .@ + + ! + 3  !   ,+     ! +  +:     !Æ  **3 +!1 30   ! ,+ +  ! +  ;#= : +   0!  *&:  #: 30<  # ! $   C   ,+**    D:    !2<   + ! 3+ !* 5 > /7 !   +<  !! 3 !  53+ ! I*+S +1 ! ' +!  0+ ! ; + =  ! ! +   7  $ ! #  < 0+# ! 0+! +: !   !*: !  + ! ++ !  + 5

(29) ) !   + 89: + #* 0  ! 

(30) ) !: I  A(.

(31)   + 8(9  3  +# 8'9: ) F 8@9: -I K*#  I

(32)  + 8R97 .. + !+   < 5R7: 2 +  2 +:  + , !+ +  ,+*+ ! $ ++ !  + 5 ! ,+*  + ,+* !   ! *&**  ++ ! ++7 +  2 + 1+G 5    /7 3 +3 57: +  !+ 3 !0 + ! +  + <  5+ *E* IN+! !0&+   ' @7 + 3  + 3 ! ++ !  +    *+  + !01+ + 5  5/ ! 7 + + !  /7  +  +  F * 8'9  I  8'/9  3 0 2* B +  F+G 6   *+  !0!  ++ +! ! 8'9  +!: + + ,+ + #< "57    :  3 *& U 57: *  57  "57 > #  57  "57 > *57     . 5''7. . # U. . .  "5 7. Æ. .  ? "5 7  "5 7. . .    5'@7  5"5 7 Æ  ? "5 7  "5 7  #   +!: + *B  +: 3   +<   !! 3 !    !! 3 ! 5  7   3+ 5''7 + 5'@7:    + ! *&** + ! *** ! 57  "  *E*  + ##  3+ !   + !  5+  3 3  , * E ++7  3+ ,+!* !  #B + !  "5 7 Æ  1  +  +  0  +1 ! !+   <  &+ . 5 &* 7      +<   !! 3 !    #:  /: +  +:   *+! !  3:    ! * !  ,+* 8   ? $ 9 5$  /7  ++ ! . 5'.7.  >  57 Æ. 5 7 > .  + 3  . . +   8   ? $ 9. 5  7 5   7 A.

(33)  Æ  D ! +! + + %    :   8   ? $ 9 . . . .   57  5 7   57. >. . % .  ! + 5% 7 > 57: 5% 7 >  57? 57 5 7  557  5577  57   + +  * +1 +   8/ ! 9 5!  / B&7  $  + Æ**  ! + 3 . . *&  5&7  5& 7. .  . . ¼. *&

(34).  .  .  57   ¼¼. . ½. ½. . '. 1+ 3   + !  3 !  + +  3  ++  +: +  > '  5    7  + '  5  7  0 0$   !0*1#:  !   ,+**    8/ ! 9:   8   ? $ 9      '   #!  (&#.   !<  +: + +   $3  ! 8'%9 5+  8'(9: 8'97  + !3+  &+ +1  3 33 &* ! +1<* + + 01+!+     !   + *+ !   + @ ! 5+ 8'%9  8'97 3  + E  #E  < + + B: ! ,4+ < * B   +1  +: +  +!+ 3   +<   !! 3 !    !! 3 !     ! + 3 5R7  ! <. 5'7. . >.  57 Æ. ? 5  7. . !    8/

(35) 8.   +!+  5@7 +<  

(36)  5  7  + 3    C     !   :  3  +  B 5.7 + +  , +! 5'7 ! *< 2 +: 0<!  +!  2 + 5 57  /7 3 +3 57  ,: + *++ 3 0+  +!  2 + 5 57  /7 + 3 +3   ,+ + + !  / 3 +3 <  !    +  ,: + +!  ++  H    5/ ! 7 5!  /7  + *E*    58/ ?

(37) 8 7 :  + 3 ! ++ !  + !+ 0&  !0 ,* 5 +  + < 7 !0+ ' 57 AR.

(38) 3 <  

(39)  5  7 +  57 +< 5 7  03 ++ !  + !

(40)  5   8/ ! 97 5!  /7 !.

(41). 5'%7.  . >  57 ? 5  7  !    8/ ?

(42) 8   >  !   .  +  3  !! +E* ! !  5+   7   !0 3 !   5+  +++# !  +#  ,+*  + +* 7   : +  5   ! *&** 67 5'(7. ' 57. ' 57     8/ ?

(43) 8 . .    .  5'7 ' 575 ? 7 ' 57 ?      ! + 3 0+  + +  / .  ' 57  ' 57. 5'R7. . .  5   7. .  + !+ ' 5  7 > ' 57   $3 3 + ++ + +     H %#)#$# H.   

(44)    ' 5  7      

(45)              8/ ?

(46) 8        

(47)    

(48)  5  7 

(49)               8/ ?

(50) 8       !     8/ ?

(51) 8      

(52)           8/ ?

(53) 8  5 7 > ' 5  7  57     

(54)      8/ ! 97 5!  /7     

(55)      5 7 !  "  ' 5  7 

(56)    

(57) 

(58)   ¾.   : + !! *  ,+*+ 3 : ! $ + + !  +: ! 03+ 5'7  ,+*+   , <  1 !  !*++ !   !.  # H #     

(59)  5  7 5 7 > ' 5  7  57 

(60)  5  . 8/ ! 97 5!.  /7 

(61)    

(62) 

(63)         "  . A.

(64)    !$           (      8/ ?

(65) 8    !  / %

(66)        8/ ! 9 &  5   ? 7  '  5 ?  7 "5 7  ( 5 7     %        ) 9/ $ 8.    . 5'7. . . ( 5) 7 5' 5 ? )  7 "75 7  5' 5 ? )  7 "75 7 .   . 5'R7. ( 5) 7. . . 5' 5 ? )  7 "75 7  5' 5 ? )  7 "75 7 7 ¾.    ! * !+ ! +! 5'7 !   +<  !     C       1 E * 0$+< 3    C     +  &* 3    C     3   + *  C *:   : 0$+< 3   !      + 1 +  #E  +1 30 0  B !   ! 03+ 57 5 ++! < ! +#+ ! +1: +  + @ !7   !+ *+ !0*:  *+ *:  $+<  8'%9 5+  8'97: + *++ 30 Æ ! + 3    C     3   0  +**  !D  ! !& ,+ + +&   + !  +: ! *< 3:  + ' 5  7 > ' 5  7 < !  ,+ +   + +  1< +  33 +1<* + "+ !01+!: +  +  B:  #: 3  ++ ! ++ +! !  ++  !   5 7 > ' 5  7  57 0  !  ++  1 ! 8'%9 5+  8'(97 !   +<  !! 3 ! : + !   +<   Æ   0 : +  +   ' 5  7  0!: ! *< 3: < + ,+ +   C 5 !0 *:    ! + 3    !D  ! !& ,+ + +& V7 B: *+   3+ +:    < * 567: !   +<  > ' H  +  #<:  #:  ++ ! . 5 *.  . > >. A'/.  5  5. 7 Æ ?   7 ?  7.

(67)  #<   5+ +  '   *&  57 W    @. ½.   . /7 !< 3. V. A''.  . . /  *:.

(68) #*###!. 8'9

(69)  F!:

(70) ) !:   : I

(71)  +    +#! H P +$ ++ !  +   +

(72)  X'((/: #: F: ' 8@9) F H ++ !  + ! 3+ ! I*+S +1

(73)  *3   +: X': #: F: ' 8.9 ) F: I

(74)  +    +#! H '     !  ! (  

(75)  S + : .' 5'.7:  .( 89 ) F    +#! H ) *  !      & +! (  )  : < EO !   

(76)     8%9  + H ,       ( &      !  X /@:

(77) : + +$ 3: : 'R 8(9

(78) ) !: I    + H -     (   .       .    F *

(79)  + : @ 5'@7:  '( 89

(80) ) !   + H / (     0 1 2   " *

(81)  + : @ 5'R.7:  '@ 8R9 -I K*#  I

(82)  + H ++!

(83) M+ +  !  +$ ++ #: F: '. 89 " KM H 3    !  .              8'/9 I  H 0 1 2   *!    0 .   2  (   F K    # + : @R 5'R7:  .. 8''9 P Q$+ ! F +C+M$ H 4 ! 5!( 2    !   .    C M! M  : ' 5'7:  '.@'. 8'@9 I Q H 3 !   .      *!      

(84) +:   +

(85)  X@: #: F: 'R@ A'@.

(86) 8'.9 I Q  I I# H    2    .  .   *! * 2  !  Æ         ! ( +  : ' 5'/7:  ''%'R 8'9  + ! F * H 6 7  0 1 2   *!  2    0  +  "

(87)  : ''. 5'R7:  ('.(@@ 8'%9  +    +#! H   + 8'(9  +    +#! H '(    !   .      !   : .@( 5'R7:  '/R%'/@ 8'9  +    +#! H '(    !   .    & 8 . !         !   : .@ 5'R7:  .%@ 8'R9

(88) 

(89)   H 3 ! #"          : '. 8'9  !+& H   % 

(90)  

(91)     !   

(92)               (  9  "<:   +!: +*1 '% 8@/9  !+& H 3 !   .        .   +  : . 5'7:  '@'( 8@'9  !+& H              !     *!   2   

(93) +:   + 

(94)  X@: #: F: 'R@ 8@@9 F +C+M$ H 3 !   .            2 M

(95)  M: @ 5'@7:  @'.@' [email protected] I -1 H 4 !       .    .  2  (  *!  (   Æ   !        

(96)  *: @/ 5'R7:  R'( 8@9

(97)  LM H 4 !     .   L -. PG )1: '' 5'(7:  @./@.. A'..

(98)

Références

Documents relatifs

Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques.. Annales de la Facult´ e des Sciences de Toulouse Vol. Si v a des singularit´ es, Bott a d´ emontr´ e que ces nombres

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens

La ligne continue (verte) correspond à l’erreur quadratique moyenne dans le modèle d’Euler (I.71) ; la courbe en pointillé (rouge) correspond à l’erreur quadratique moyenne dans

Dans un deuxi`eme temps, on effectue le mˆeme test sur 30 observations simul´ees `a partir du mˆeme mod`ele de Merton pour 3 maturit´es diff´erentes et 10 prix d’exercice, le

Tout l’int´ erˆ et de la transformation de Fourier pour les distributions temp´ er´ ees r´ eside dans ce simple fait : d’une part, le cadre des distributions permet de d´

Dans le cadre précis de l’étude de la détermination de paramètre dans des edp d’évolution avec une seule mesure de la solution à la frontière du domaine considéré, nous

Par rapport aux ltres fondes sur la di usion lineaire, non lineaire ou anisotrope presentes dans le chapitre 1 il possede des capacites interessantes comme la