Sur les résidus de Baum-Bott

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

ELHADJIMALICK DIA

Sur les résidus de Baum-Bott

Tome XIX, n^o2 (2010), p. 363-403.

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Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse Vol. XIX, n^◦2, 2010 pp. 363–403

Sur les r´ esidus de Baum-Bott

El Hadji Malick Dia⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— 0n se donne une vari´et´e complexeV, compacte, de dimen- sion complexen, un champ de vecteurs v holomorphe surV, un fibr´e vecorielE de rang rau dessus de V et une C^{-action θ}v sur E. Il est bien connu que siv n’a pas de singularit´e, tous les nombres de Chern cI(E)[V] sont nuls (|I|=n). Siva des singularit´es, Bott a d´emontr´e que ces nombres de Chern se localisent pr`es de ces singularit´es donnant lieu `a des r´esidus. Ces r´esidus ont ´et´e calcul´es d’abord par Bott dans le cas d’une singularit´e isol´ee non d´eg´en´er´ee, ensuite par Bott dans le cas d’une sous-vari´et´e non d´eg´en´er´ee et enfin, par Baum et Bott dans le cas d’une singularit´e isol´ee ´eventuellement d´eg´en´er´ee. Ce travail fournit une g´en´eralisation des r´esultats pr´ec´edents en ´etudiant, sous r´eserve de quelques hypoth`eses simplificatrices, le cas d’une sous-vari´et´e holomor- pheW, composante non-singuli`ere du lieu singulier dev, ´eventuellement d´eg´en´er´ee. Quelques exemples sont donn´es.

ABSTRACT.— Given a compact complex manifoldV of complex dimen- sionn, a holomorphic vector-fieldsvonV, a vector bundleEof rankron V, and aC^-actionθvonE. It is well known that ifvhas not singularity, all the Chern numberscI(E)[V] are zero (|I|=n). Ifv has singu- larities, and if there exists aC^-actionθvonE, Bott has proved that the Chern numbers ”localize” near these singularities, giving residues. These residues are computed first, by Bott, in the case of a non degenerate iso- lated point, then, by Bott, in the case of a non degenerate holomorphic submanifold, at last, by Baum-Bott, in the case of a degenerate isolated point. This work gives a generalization of these results by studying the case of a degenerate holomorphic submanifold. Examples are given.

(∗) Re¸cu le 31/12/2008, accept´e le 26/06/2009

(1) Facult´e des Sciences et Technologies de l’Education et de la Formation BP 5036, Dakar-Fann, S´en´egal.

el.dia@ucad.edu.sn

Introduction On se donne :

– une vari´et´e holomorpheV, compacte, de dimension complexen, – un champ de vecteursv holomorphe surV

– un fibr´e vecorielE de rangrau dessus deV,

– uneC-actionθvsurE, c’est-`a-dire un endomorphismeC-lin´eaire de l’espace Γ(E) des sectionsC^∞deE, qui pr´eserve les sections holomorphes de E et v´erifie la formule suivante :

θv(u σ) = (v. u)σ+u θv(σ), ∀σ∈Γ(E), ∀ u∈C^∞(V).

[Par exemple, v d´efinit toujours uneC-action θ⁰_v sur le fibr´e tangent com- plexeT V en posant :θ⁰_v (X) = [v, X].]

Sivn’a pas de singularit´e, les nombres de Chernc_I(E)[V] sont tous nuls (|I|=n), et en particulier les nombres de CherncI(V)[V] deT V : c’est leth´eor`eme d’annulationde Bott [4].

Siva maintenant des singularit´es, Bott a alors d´emontr´e que les nombres de Chern deEse localisent pr`es de ces singularit´es au sens suivant. Notons S =

α∈ΛSα l’ensemble singulier de v, r´eunion de ses composantes con- nexesS_α. Il existe alors, pour toutα, des nombres complexes R´es(c_I, θ_v, S_α), appel´es«r´esidus»dec_I(E) enS_α, relativement `a θ_v, ne d´ependant que du comportement local de v et de l’actionθ_v sur un voisinage arbitrairement petit deS_α dansV, tels que la formule suivante soit v´erifi´ee :

cI(E)[V] =

α∈Λ

R´es(cI, θv, Sα).

C’est leth´eor`eme d’existence des r´esidus.

Avant de r´esumer les r´esultats connus concernant le calcul des r´esidus, rappelons les faits suivants : soit W une composante connexe deS, sous- vari´et´e compacte lisse deV.

– Pour toute connexion∇⁰surE,θv−∇⁰_vest un endomorphisme lin´eaire deE dont la restriction Θ `a W ne d´epend pas de∇⁰.

– La compacit´e de la vari´et´e holomorphe W implique que les valeurs propresρ₁,· · ·, ρ_rde l’endomorphisme Θ_mde la fibreE_men un pointmde W, compt´ees avec leur ordre de multiplicit´e, ne d´ependent pas dem.

– L’actionθ_v⁰devsurT V induit un endomorphismeθ^N_v du fibr´e normal NW deW dansV (dont la donn´ee ´equivaut `a celle de la partie lin´eairevα

dev en m_αlorsque W est un point isol´em_α). Pour les mˆemes raisons que ci-dessus (compacit´e et holomorphie de W), les valeurs propresh₁,· · ·, h_q de l’endomorphisme (θ_v^N) de l’espace normalN_m`aW en un pointm, ainsi que leur ordre de multiplicit´e, ne d´ependent pas dem. On dit alors quev est non d´eg´en´er´e le long deW si toutes ces valeurs propres sont non nulles, c’est-`a-dire si (θ^N_v) est un automorphisme.

Le r´esidu R´es(cI, θv, Sα) a d’abord ´et´e calcul´e pourE=T V, dans le cas o`uSα est une singularit´e isol´ee non d´eg´en´er´ee mα dev (toutes les valeurs propresh1,· · ·, hn de (θv)_|mα sont non nulles (Bott[4]) :

R´es(cI, θv, mα) =cI

(θv)_|mα /cn

(θv)_|mα .

Cette formule a ensuite ´et´e g´en´eralis´ee dans deux directions :

1) Pour un fibr´e E arbitraire dans le cas o`u S_α est une sous-vari´et´e holomorphe W deV le long de laquellev est non d´eg´en´er´e (Bott [3]) :

R´es(cI, θv, W) =

cI(Θ|W +E|W)

.

cq(θ^N_v +NW) ₋₁

[W].

Dans cette formule E_|W et NW d´esignent respectivement les matrices diagonales (x1,· · ·, xr) et (y1,· · ·, yq) `a coefficients dansH<sup>2</sup>(W), telles que cj(E|W) (resp. cj(NW) soit la j-i`eme fonction sym´etrique ´el´ementaire des xa (resp. desyb). Ces classesxa et yb ne sont pas en g´en´eral bien d´efinies (`a moins que E|W ou N<sub>W</sub> ne puissent se d´ecomposer en somme de fibr´es en droites complexes), mais elles n’interviennent dans la formule des r´esidus qu’`a travers les fonctions sym´etriques σ_j(x₁,· · ·, x_r) etσ_j(y₁,· · ·, y_q). Par exemple, si toutes les valeurs propresρ₁,· · ·, ρ_rdeθ_v d’une part,h₁,· · ·, h_q deθ_v^N d’autre part sont distinctes,

cI(Θ|W +E|W)

.

cq(θ^N_v +NW) ₋1

=

σ_I(ρ1+x1,· · ·, ρ_r+x_r)

.

σ_q(h1+y1,· · ·, h_q+y_q) ₋₁

.

2) Dans le cas o`uSαest une singularit´e isol´eemα´eventuellement d´eg´en´er´ee (Baum-Bott [1]) :

R´es

cI, θv, mα

=

cI(θv)dz1∧ · · · ∧dzn

A₁· · ·A_n

mα

o`u v = _n

i=1Ai ∂

∂zi au voisinage de mα, relativement `a des coordonn´ees locales holomorphes (z1,· · ·, zn), le terme de droite d´esignant le symbole

r´esidu de Grothendieck. [Ce dernier cas, a ´et´e encore g´en´eralis´e par Baum- Bott dans [2], en rempla¸cant champ de vecteursvpar feuilletage holomorphe de dimension un]. Dans [1], n’est consid´er´e que le casE=T V, mais le cas d’un fibr´eE arbitraire ´etait certainement connu de Baum et Bott (cf. par exemple [7] pour une r´edaction dans le cas o`uE est quelconque).

Le probl`eme se pose de g´en´eraliser ces r´esultats au cas o`uvest ´eventuel- lement d´eg´en´er´e le long d’une sous-vari´et´e holomorphe W de dimension positive. Ce travail fournit des r´esultats partiels dans cette direction. Nous avons en effet fait deux types d’hypoth`eses simplificatrices :

– d’une part, nous avons suppos´e qu’il existait un bi-holomorphisme d’un voisinageU deW sur un voisinage de la section nulle du fibr´e normalN_W deW dansV appliquantW `a la section nulle deN_W (il existe toujours au moins un diff´eomorphismeC^∞),

– d’autre part, dans la mesure o`u ce sont en g´en´eral les polynˆomes ca- ract´eristiques de Θ|W et de θ^N_v , et non les polynˆomes minimaux qui sont constants le long deW, nous avons parfois suppos´e que ces endomorphismes avaient des valeurs propres distinctes. R´esumons les r´esultats obtenus :

Apr`es un premier r´esultat (Th´eor`eme A) o`u l’on calcule les r´esidus en utilisant le recouvrement U_H ∪

λU_λ de U \W, on s’int´eressera au cas o`u l’on peut se passer de l’ouvert U<sub>H</sub> pour recouvrir U \W, on obtient le th´eor`eme B. Le th´eor`eme C est obtenu lorsque l’on peut se passer de l’un des ouverts Uλ. Ces r´esidus ont ´et´e aussi calcul´es dans le cas d’une vari´et´e produit ; c’est le th´eor`eme D. Enfin des exemples d’application de ces r´esultats seront fournis.

La suite de ce travail est organis´ee de la mani`ere suivante :

– `a la section 1, apr`es avoir pr´ecis´e quelques notations et rappel´e quelques outils fondamentaux, on red´emontrera le th´eor`eme d’existence des r´esidus,

– la section 2 est consacr´ee aux r´esultats nouveaux, – des exemples sont fournis `a la section 3.

1. Rappels et notations

1.1. Th´eorie de Chern-Weil pour les classes caract´eristiques

On fera r´ef´erence essentiellement `a ([5] et [10])

Attention : Dans cette partie, nous suivons la convention de signe de Bott qui est diff´erente de celle utilis´ee dans [10].

SoitEnd F l’alg`ebre de Lie des endomorphismes d’unC-espace vectoriel F de dimension r. Notons σi :End F →C lai-i`eme fonction sym´etrique

´

el´ementaire des valeurs propres d’un tel endomorphisme, et posons cj = −1

2iπ

j

σj. L’alg`ebre gradu´ee I^∗(F) = C[c1, c2,· · ·, cr] des polynˆomes sur End F, invariants par la repr´esentation adjointe de GL(F), est engendr´ee par les monˆomesc_j, lesquels sont en outre alg´ebriquement ind´ependants.

Pour tout multi-indiceI = (i1,· · ·, ir), on d´efinit plus g´en´eralement le monˆomecI = (c1)ⁱ¹...(cr)^ir.

cI est un polyn ˆme de degr´eI=i1+ 2i2+· · ·+rir surEnd F.

Pour touteC-alg`ebre commutativeA, on notera encorec_jetc_Il’extension End(F⊗A)→Ades monˆomes pr´ec´edents aux endomorphismes deF⊗A.

Remarque 1.1. — On autorise l’alg`ebre A `a ˆetre gradu´ee, et les coeffi- cients de l’´el´ement dansEnd (F⊗A) `a ˆetre h´et´erog`enes. Par exemple, A peut ˆetre l’alg`ebre Ω<sup>pair</sup>(V) des formes diff´erentielles de degr´e pair sur une vari´et´eV, ou l’alg`ebre de cohomologieH^pair(V).

On noteracI la forme multilin´eaire, sym´etrique associ´ee au polynˆomecI

(c’est une g´en´eralisation de la forme polaire associ´ee `a une forme quadra- tique).

D´efinition 1.2. — Etant donn´ee une connexion∇ sur E, l’homomor- phisme d’alg`ebres C[c1, c2,· · ·, cr] →Ω<sup>∗</sup>(V) `a valeurs dans l’alg`ebre de de Rham, qui associe la 2|I|-forme cI(∇) au monˆome cI, est appel´e homo- morphisme de Chern-Weil.

Plus g´en´eralement, ´etant donn´ees k+ 1 connexions ∇⁰,∇¹,· · ·,∇^k sur E, Bott a d´efini un op´erateur, qui, `a un monˆomecI, associe la (2d−k)-forme cI(∇⁰, ...,∇^k sur V. Cet op´erateur est appel´e diff´erence it´er´ee de Bott et coincide avec l’homomorphisme de Chern-Weil pourk= 0

Il a la propri´et´e suivante : dc_I(∇⁰, ...,∇^k) =

k i=0

(−1)ⁱc_I(∇⁰, ...,∇ⁱ, ...,∇^k).

1.2. Complexe de Cech-de Rham – Int´˘ egration – Dualit´es 1.2.1. D´efinition et propri´et´es

SoitV une vari´et´eC^∞ de dimension complexen,I un multi-indice et U ={U_α}α∈I un recouvrement fini deV. Posons :I_p={α₀,· · ·α_p ; α₀ <

· · · < α_p, α_ν ∈I}.

Rappelons que l’ensemble des p-cochaines de q-formes sur U not´e C^p(U,Ω^q) est d´efini par

C^p(U,Ω^q) =

(α0,···αp)∈Ip+1

Ω^q(U_α0···αp) NotonsCDR^r(U) le complexe :CDR^r(U) =

p+q=rC^p(U,Ω^q).

SoitD:CDR^r(U)−→CDR^r+1(U) l’op´erateur de diff´erentiation d´efini par (Dσ)_α0···αp=

p ν=0

(−1)^νσ_α

0···^αν···αp + (−1)^pdσα0,···αp

et le produit ext´erieur : CDR^r(U)×CDR^s(U)−→ CDR^r+s(U) d´efini par : (σ ( τ)_α0···αp=

p ν=0

(−1)^{(r−ν)(p−ν)}σα0,···αν∧ταν···αp.

D´efinition 1.3. — Le complexeCDR^∗(U)muni de l’op´erateur de diff´e- rentiationDet du produit ext´erieur ( est appel´e complexe total deCech-de˘ Rham associ´e au recouvrementU.

Remarque 1.4. — Le complexe total de ˘Cech-de Rham associ´e `a un re- couvrement `a deux ouverts est appel´e le complexe de Mayer-Vietoris associ´e

`

a ce recouvrement.

On a la propri´et´e suivante :

Propri´et´e 1.5. — L’op´erateur de diff´erentiationDet le produit ext´erieur (v´erifient :

D(σ ( τ) =Dσ ( τ+ (−1)^|σ|σ ( Dτ.

Remarque 1.6. — Soit ι : Ω^∗(V) −→ CDR^∗(U) l’application naturelle d´efinie par

ι(α)

i =α|Ui et ι(α)

i1···ik= 0 pour k2

C’est un homomorphisme injectif qui induit un isomorphisme en cohomolo- gie. Il permet d’identifier l’alg`ebre de cohomologieH^∗

CDR^∗(U)

du com- plexe de ˘Cech-de Rham avec la cohomologie de de Rham H_DR^∗ (V;C).

1.2.2. Int´egration et dualit´es

Soit V une vari´et´e de dimension r´eelle 2n, orient´ee, U = {U_α}α∈I un recouvrement ouvert deV et{R_α}α∈I un syst`eme d’alv´eoles (voir [7] ou [8]

pour cette notion) subordonn´e `a ce recouvrement. On d´efinit l’int´egration

V

:CDR²ⁿ(U)−→C

par la formule :

V

σ= 2n p=0

(α0···αp)∈Ip

Rα0···αp

σα0···αp

∀σ∈CDR²ⁿ(U).

Cette int´egration a les propri´et´es suivantes :

(i) Elle prolonge l’int´egration usuelle des formes diff´erentielles.

(ii) SiDσ= 0 alors l’int´egrale

Vσne d´epend pas du choix de{Rα}.

(iii) Si σ est un cobord, c’est-`a-dire σ ∈D

CDR²ⁿ⁻¹(U)

, alors

V σ est nulle.

Cas particulier : int´egration sur le complexe de Mayer-Vietoris C’est le cas o`u le recouvrementU est constitu´e de deux ouverts.

SoitSune partie ferm´ee deV etU₁ un voisinage r´egulier deS. On pose U0=V \S et U ={U0, U1}.

L’inclusion

ι: Ω^∗(V) −→ M V^∗(U) α → (α|U0, α|U1,0)

est un morphisme d’alg`ebres diff´erentielles gradu´ees qui induit un isomor- phisme en cohomologie, not´e ι<sup>∗</sup>. Elle permet d’identifier l’alg`ebre de co- homologie H^∗

M V^∗(U)

du complexe de Mayer-Vietoris avec celle de de RhamH_DR^∗ (V;C).

Les projections naturelles M V^∗(U) → Ω^∗(U₀) et M V^∗(U) → Ω^∗(U₁)

´

etant surjectives, leurs noyaux respectifs M V^∗(U, U₀) et CDR^∗(U, S) ont pour cohomologieH^∗(V;V \S;C) etH^∗(V;S;C).

Supposons maintenant que V soit compacte, connexe et orient´ee.

SoitT une sous vari´et´e `a bord deU1, de mˆeme dimension r´eelle 2nque V, dont on notera∂T le bord, telle queS⊂ T et∂T ∩S=∅.

Siσ= (ξ0, ξ1, ξ01) est un ´el´ement deM V²ⁿ(U), alors :

V σ=

V−T^◦ξ0+

T ξ1 −

∂T ξ01. L’application :

ξ0, ξ1, ξ01

→

ξ₀, ξ₀, ξ₀₁

→

V−T^◦

ξ₀∧ξ₀ +

T ξ₁∧ξ₁−

∂T ξ₀₁∧ξ₁+ (−1)^|ξ0|ξ₀∧ξ₀₁

,

deM V^k(U) dansHom

CDR^2n−k(U,C)

induit ladualit´e de Poincar´e: PV :H^k(V,C)→^∼= H_2n−k(V,C)

Siξ= (0, ξ0, ξ01)∈CDR²ⁿ(U, U0), l’int´egrale

Vξ=

Tξ1−

∂T ξ01est bien d´efinie.

D’autre part, pourσ= (0, σ0, σ01)∈CDR^k(U, U0) etτ = (τ0, τ1, τ01)∈ M V^2n−k(U, U0), le cup-produit : (0, σ1, σ01)((τ0, τ1, τ01) = (0, σ1∧τ1, σ01∧ τ1) ne d´epend ni deτ0 ni deτ01.

L’application : (0, σ₁, σ₀₁) → [τ₁ →

T σ₀₁∧τ₁ −

∂T σ₀₁∧τ₁] de M V^k(U, U₀) dans Hom

Ω^2n−k(U¹),C

induit la dualit´e d’Alexander- Lefschetz: [6] [9]

AL:H^k(V, U₀,C)→^∼= H_2n−k(S;C) 1.3. Connexions sp´eciales et existence des r´esidus 1.3.1. Connexions sp´eciales

D´efinition 1.7 ([3]). — Soientvun champ de vecteurs holomorphe sur une vari´et´e holomorpheV etθv une action dev sur un fibr´e vectoriel holo- morphe E de baseV.Une connexion ∇sur E est dite θv-sp´eciale si :

– elle est de type(1,0).

–∀σ∈Γ(E|V\S),∇v (σ) =θ_v(σ).

Proposition 1.8 [3]. — Sivest un champ de vecteurs sans singularit´e sur V et θv une action de v sur un fibr´e vectoriel holomorphe E, alors il existe une connexion θv-sp´eciale sur E.

Th´eor`eme 1.9 (d’annulation). — Soit ∇ une connexion θv-sp´eciale sur un fibr´e vectoriel holomorpheE. Alors, pour tout multi-indice I tel que

|I|=n, la 2n-forme cI(∇)est nulle.

Corollaire 1.10. — S’il existe un champ de vecteursvsans singularit´e surV et une actionθv surE, alors, pour|I|=n, tous les nombres de Chern c_I(E) V sont nuls.

D´emonstration du th´eor`eme 1.9. — Notons F un suppl´ementaire (C^∞) du fibr´e vectoriel{v}engendr´e parvdansT V (par exemple le suppl´ementaire orthogonal pour une structure hermitienne surT V) :T_CV ={v}⊕F⊕T V . Soient

e₂, ..., e_n

une trivialisation locale C^∞ de F, et et

Z₁, ..., Z_n une trivialisation locale deT V : (v, e2, ..., en, Z1, ..., Zn) est alors une trivialisa- tion locale deT_CV, dont on notera (η, ξ2, ..., ξn, ζ1, ..., ζn) le dual.

Notantkla courbure de∇, on a :∀i∈ {1, ..., n}, K(v, Zi) = 0 et ∀i, j∈ {1, ..., n}, K(Zi, Zj) = 0.

Les coefficients K_λ^µ de la matrice de courbure relative `a une trivialisa- tion locale par des sections holomorphes sont du type :K<sub>λ</sub><sup>µ</sup> =A(η∧ξ<sub>α</sub>) + B(ξ<sub>α</sub>∧ξ<sub>β</sub>) +C(ξ<sub>α</sub>∧ζ<sub>β</sub>) o`u A, B et C sont des fonctions d´efinies surV. Par cons´equent, les termes K_λ^µ₁¹∧K_λ^µ₂²∧...∧K_λ^µ_nⁿ sont nuls car chacun d’eux contient un terme du type ξµ∧ξν et que lesξλ sont au nombre de n−1.

Plus g´en´eralement :

Proposition 1.11. — Soit(∇⁰,· · ·,∇^k)une famille dek+1connexions θ_v-sp´eciales. Pour tout multi-indice I tel que |I| = n, la (2n−k)-forme c_I(∇⁰,· · ·,∇^k) est nulle.

1.3.2. Existence des r´esidus

Soient v un champ de vecteurs holomorphe sur une vari´et´e holomorphe V de dimension complexen,E un fibr´e vectoriel holomorphe de baseV de rangr etI un mult-indice de hauteur ´egale `an. Le th´eor`eme d’annulation

de Bott signifie que sivn’a pas de singularit´es et s’il existe une actionθ_vde v surE, alors le monˆome de Chern c_I(E) est nulle. Lorsqu’une telle action n’est d´efinie qu’en dehors d’un ferm´eS =

α∈Λ S_α de V, on va montrer que les classes de Chern c_I(E) se«localisent»au voisinage des singularit´es dev.

SoitS=

α∈ASαle lieu singulier dev, c’est-`a-dire l’ensemble des points deV sur lesquelsvs’annule.

Soientθv une action holomorphe surE|V\S,U ={V \S, U}un recou- vrement ouvert de V o`u U est un voisinage ouvert deS, ∇une connexion θ_v-sp´eciale surE|V\S et∇0 une connexion sur E_|U.

On pose :ρ_I(θ_v) =

0, c_I(∇⁰), c_I(∇,∇⁰)

Lemme 1.12. — L’´el´ementρI(θv)deM V²ⁿ(U, V\S)est un cocycle dont la classe de cohomologie,

ρ_I(θ_v)

, dansH²ⁿ(U, V \S) =H²ⁿ(U, U\S), ne d´epend ni de∇, ni de∇⁰; elle ne d´epend que decI et du comportement de θv au voisinage deS.

D´efinition 1.13. — La classee de cohomologie

ρ_I(θ_v)

deρ_I(θ_v)dans H²ⁿ(U, V \S,C) = H²ⁿ(U, U \S,C) est appel´ee classe caract´eristique r´esiduelle de Bottrelative `acI et `aθv.

Th´eor`eme de localisation. —L’image de la classe caract´eristique r´esiduelle de Bott

ρ_I(θ_v)

par l’homomorphisme canonique j^∗:H^∗(U, V\ S,C)−→H^∗(V,C) est le monˆome de Chern cI(E).

Ce th´eor`eme signifie que le monˆome de Chern cI(E) ne d´epend que de cI et du comportement deθv au voisinage deS. Si on supposeS compact, (ce qui est le cas si V est compacte), on d´efinit le r´esidu `a partir de la classe caract´eristique r´esiduelle.

D´efinition 1.14. — Si l’ensemble singulier S de v est compacte, le r´esidu R´es(cI, θv, S) de θv, relativement `a cI et S est l’image de la classe caract´eristique r´esiduelle de Bott

ρ_I(θ_v)

par l’isomorphisme d’Alexander- Lefschetz ALS :H^∗(V, V \S)−→H2n−∗(S).

On voit alors que R´es(cI, θv, S) est un ´el´ement de H0(S). D’autre part, siS =

α∈ΛSα o`uSα est une composante connexe de S, alors, H0(S) est isomorphe `a

α∈ΛH0(Sλ).

On notera R´es(c_I, θ_v, S_α) la contribution de la composante connexeS_α au r´esidu. Cet ´el´ement du groupe d’homologieH₀(S_α) est obtenu de la fa¸con suivante :

siUαun voisinage ouvert r´egulier deSα etTαune vari´et´e `a bord compacte de dimension r´eelle 2nv´erifiant : S ⊂ Tα ⊂Uαet ∂Tα∩Sα=∅, alors, on a :

R´es(cI, θv, Sα) =

Tα

cI(∇⁰_α) +

∂Tα

cI(∇⁰_α,∇),

o`u∇⁰_αest une connexion surE_|Uαet∇une connexionθv-sp´eciale surE_|V\Sα, et ∂Tα´etant orient´e par la normale sortante deTα.

Th´eor`eme d’existence des r´esidus. —Il existe, pour tout α, des nombres complexesR´es(c<sub>I</sub>, θ<sub>v</sub>, S<sub>α</sub>)ne d´ependant que du comportement local devet de l’actionθ<sub>v</sub>sur la restriction du fibr´e `a un voisinage arbitrairement petit de S_αdans V, tels que la formule suivante soit v´erifi´ee, lorsque V est

compacte :

α∈A

R´es(c_I, θ_v, S_α) =c_I(E)[V].

1.3.3. Cas o`uS_α est une sous-vari´et´e holomorpheW de V

On peut choisir pourU_αun voisinage tubulaire deW dansV admettant une r´etraction par d´eformations diff´erentiableπ surW : il existe donc un isomorphisme diff´erentiable Φ :π⁻¹(T V|W)→^∼= T U. Si l’on choisit pour∇⁰ la connexion Φ

π⁻¹(∇⁰)

correspondant par Φ `a l’image r´eciproque d’une connexion∇⁰surE|W, alors, pour des raisons de dimension,

Tαc_I(∇⁰) = 0.

D’o`u :

Proposition 1.15. — Avec les choix de U et ∇⁰ faits ci-dessus, et ∇ d´esignant toujours une connexion θv-sp´eciale sur E_|V\Sα, on a :

R´es(cI, θv, W) =

∂Tα

cI(∇⁰,∇).

2. R´esultats nouveaux

Dans toute cette section, on supposera (hypoth`ese dite du «biholo- morphisme») :

– queW d´esigne une composante connexe du lieu singulier de vqui est une sous-vari´et´e lisse deV,

– qu’il existe un biholomorphisme d’un voisinage r´egulierU deW dans V sur un voisinage de la section nulle dans l’espace total du fibr´e normal N_W, appliquantW sur la section nulle deN_W.

Cette hypoth`ese est en particulier satisfaite dans les cas suivants : – la sous-vari´et´eW est un sous espace projectif d’un espace projectif, – la sous-vari´et´eW est une sous-vari´et´e de Hopf d’une vari´et´e de Hopf, – la sous-vari´et´e W est le produit cart´esien de sous-vari´et´es des types pr´ec´edents,

– la sous-vari´et´eW est un point isol´e.

On identifie d´esormais U `a un voisinage de la section nulle dans N<sub>W</sub>. Soit∇<sup>N</sup> une connexion surNW. Notantπla projection deNW surW, on a alors :T U =V ⊕H,o`uHd´esigne le fibr´e des vecteurs tangents `aU qui sont horizontaux pour ∇<sup>N</sup>, et V le fibr´e des vecteurs «verticaux», c’est-`a-dire tangents aux fibres deπ.

De plusH est canoniquement isomorphe (on dira d´esormais«´egal») `a π<sup>−1</sup>(T W) etV `aπ⁻¹(N_W) :

T U =H ⊕ V o`u H=π⁻¹(T W) etV =π⁻¹(N_W).

2.1. Construction de rep`eres adapt´es de TU

Soitθ_v⁰l’action devsurT V d´efinie parθ_v⁰(Y) = [v, Y] pour toute section Y deT U. Cette action induit un endomorphismeθ_v^N du fibr´e normalN_W de W. Comme W est compacte et que, pour tout ´el´ement m de W, le polynˆome caract´eristique associ´e `a (θ<sub>v</sub><sup>N</sup>)m est `a coefficients holomorphes, il est constant. Par cons´equent, les valeurs propres de (θ^N_v)m, ainsi que leur ordre de multiplicit´e, ne d´ependent pas de m. Notant Λ l’ensemble des valeurs propres de θ_v^N, NW est alors ´egal `a

λ∈ΛNλ, Nλ d´esignant le sous-fibr´e de NW dont la fibre au dessus d’un ´el´ement m de W est le sous-espace caract´eristique associ´e `a la valeur propreλ. On a alors :T U= π⁻¹(T W)⊕

λ∈Λπ⁻¹(Nλ).

Pour tout pointm deU, notonsm=π(m) son projet´ e surW.

Dans toute la suite, nous supposerons queθ_v^N admetq valeurs propres distinctes.

N_W se d´ecompose alors sous la forme suivante : N_W =q

λ=1N_λ (N_λ d´esigne le sous-fibr´e deN_W dont la fibre au dessus d’un ´el´ementmdeW est le sous-espace propre associ´e `a la valeur propreλ). Par cons´equent, T U = π⁻¹(T W)⊕_q

λ=1π⁻¹(N_λ). Consid´erons un point fix´e m₀ de W. Soient x₁, ..., x_n−q

un syst`eme de coordonn´ees locales holomorphes d´efinies sur un voisinageT dem<sub>0</sub>dansW, et (σ<sub>1</sub>, ..., σ<sub>q</sub>) une trivialisation holomorphe de NW|T adapt´ee `a la d´ecomposition deNW|T en sous-fibr´es caract´eristiques ; pour toutm ∈π⁻¹(T),on note

y1, ..., yq

les coordonn´ees dem par rapport

`

a la base

σ₁(m),· · ·, σ_q(m)

de (N_W)^m, c’est-`a-dire :m =q

λ=1y_λσ_λ(m).

Posantxi=xi◦π,

x1, ...,xn−q, y1, ..., yq

est alors un syst`eme de coor- donn´ees holomorphes surπ⁻¹(T) par rapport auxquelles la sous-vari´et´eW est d´efinie par les ´equations :yλ= 0,∀ λ∈ {1,2, ..., q}.

Soit∇^N une connexion adapt´ee `a la d´ecomposition de NW; on a :

∇^Nσ_λ=a_λσ_λ ∀λ∈ {1,2, ..., q} o`ua_λ est une 1-forme locale surW. Notations. — _∂x^∂

i sera not´e∂i, _∂y^∂

λ sera not´e∂λ et ^∂

∂^xi

sera not´e∂i. S’il n’y a pas de confusion possible, on ´ecrira∂_i `a la place de ∂<sub>i</sub>. Notons∂<sub>i</sub><sup>∗</sup>le relev´e horizontal de∂<sub>i</sub>relativement `a∇^N dans l’ouvertπ⁻¹(T).

Plus g´en´eralement, notonsh^∗le relev´e horizontal d’un champ de vecteur htangent `a W.

Lemme 2.1. — La famille

∂_i^∗, ∂λ

1in−q,1λqest une base de sections locales de T U, et on a :

∂^∗_i =∂i − q λ=1

yλ π^∗aλ(∂i)

∂λ.

La base duale

dx^∗_i, ξλ

de

∂^∗_i, ∂λ

1in−q,1λq, v´erifie :

(dxi)^∗=dxi, (1in−q) et ξλ=dyλ + yλ π^∗ (aλ), (1λq).

D´emonstration. — 1) Montrons d’abord la formule suivante :

∂^∗_i =∂i−q λ=1

yλ aλ

∂i

∂λ (*).

Soit γi la courbe sur W passant par m d´efinie par : xi(t) = xi(m) + t, xj(t) = xj(m) pourj = i qui admet ∂i comme champ de vecteurs

tangents. Soitγ_i le relev´e horizontal deγ_i relativement `a∇^N. Dans les co- ordonn´ees ci-dessus, on a :γi= (x(t), y(t)), avecx(t) =

x1(t), ...,xn−q(t) et x_i(t) =x_i(m) +t, x_j(t) =x_j(m) pourj=i.

Ecrivant que∂_i^∗ est tangent `aγ_i, on obtient :

∂_i^∗=n−q j=1

dxj(t)

dt ∂j + q λ=1

dyλ

dt ∂λ, soit ∂_i^∗=∂_i+q

λ=1 dyλ

dt ∂_λ.

Ecrivant que γ_i est une courbe horizontale, la section s_i γ(t) _q =

λ=1yλ(t)σλ

γ(t)

deNW a une d´eriv´ee covariante nulle, soit : _q

λ=1

dyλ

dt

+y_λa_λ

∂_i

σ_λ= 0,c’est-`a-dire : ^dy_dt^λ+y_λa_λ

∂_i

= 0, ∀λ∈ {1,2, ..., q}. ce qui ach`eve la preuve de la formule.

On dispose maintenant de deux trivialisations locales deT U : – la premi`ere estB1=

(∂_i)_{i=1···n−q}, (∂_λ)_λ=1···q

de trivialisation duale B^∗₁=

(dxi)_{i=1···n−q}, (dyλ)_λ=1···q

. Le champ de vecteurv s’´ecrit :

v=

n−q

i=1

Ai∂i+ q λ=1

Bλ∂λ

– la deuxi`eme estB2=

(∂^∗_i)_{i=1···n−q}, (∂_λ)_λ=1···q

de trivialisation duale B^∗2=

(dxi)^∗_{i=1···n−q}, (ξλ)_λ=1···q

.Le champ de vecteurv s’´ecrit :

v=

n−q i=1

A_i∂_i^∗+ q λ=1

B_λ∂_λ

2) Il reste `a d´emontrer la deuxi`eme partie du lemme.

D’une part, il est facile de v´erifier que dx_i et dx^∗_i v´erifient les mˆemes propri´et´es par rapportB2

Donc : dx^∗_i =dx_i ∀i∈ {1,2, ..., n−q}

D’autre part pour toute formeξλ, on peut ´ecrire : ξλ=_q

µ=1A^µ_γdyµ+ _n−q

j=1 B_γ^jdxj.

Or, ξ_λ doit v´erifier les conditions suivantes : ξλ

∂λ

= 1, ξλ

∂µ

= 0 (pour λ=µ) et ξλ

∂^∗_i

= 0 (pour touti).

On en d´eduit :A^µ_λ= 0 (pour µ=λ), A^λ_λ= 1, , B_λⁱ =yλ π^∗aλ

∂i

.

Donc,ξλ=dyλ + _n−q

j=1 yλπ^∗aλ∂j

dxj.Mais_n−q

j=1π^∗aλ∂j

dxj = π^∗aλ.

Finalement ξλ = dyλ + yλπ^∗aλ. Lemme 2.2. — Les formes diff´erentielles ^ξ_y^λ

λ, (λ= 1· · ·q)ne d´ependent pas de la trivialisation choisie.

D´emonstration. — Soient (σ1,· · ·σq) et (σ₁,· · ·σ_q) deux trivialisations holomorphes deN_W au dessus d’un ouvert deW, adapt´ees `a la d´ecomposition deN_W. Il existe des 1-forme localesa_λ (resp.a_λ) surW telle que :

∇^Nσ_λ=a_λ σ_λ, (resp.∇^Nσ_λ=a_λ σ_λ).

Il existe alors, pour tout λ, une fonction f_λ, holomorphe, partout non nulle sur l’intersection des deux ouverts, telle que : σ_λ=f_λ σ_λ.

On en d´eduit : yλ =fλ y_λ et a_λ = aλ+ ^df_f^λ

λ. Or, ξλ =dyλ+ yλπ^∗ aλ et ξ_λ =dy_λ+y_λπ^∗ a_λ.

On v´erifie alors : ^ξ_y^λ

λ =_y^ξλ λ.

Le lemme 2.2 implique que les formes diff´erentielles locales^ξ_y^λ

λ se recollent en une 1-forme diff´erentielle globale sur tout l’ouvertU\W, que l’on notera encore ^ξ_y^λ

λ.

2.2. Lemme fondamental

Rappelons queθ^N_v admetqvaleurs propres distinctes (dont une ´eventuel- lement nulle).

T U=π⁻¹(T W)⊕ q λ=1

π⁻¹(Nλ)

o`uNλest le sous fibr´e deNW dont la fibre au dessus d’un ´el´ementxdeW est le sous espace vectoriel de la fibre deNW au dessus de x correspondant

`

a l’espace propre associ´ee `a la valeur propre α_λ. Le champ de vecteurs v peut donc s’´ecrire sous la forme suivante :

v=vH+ q λ=1

vλ o`u vH ∈ H=π⁻¹(T W) et vλ∈ V =π⁻¹(Nλ).

Posons :U^H=

m∈U\W; vH(m)= 0

etU^λ=

m∈U\W; vλ(m)= 0 . Ainsi :U\W =U^H∪

λ∈ΛU^λ.

On va maintenant chercher `a calculer le r´esidu R´es

cI, θv, W

=

∂T cI(∇⁰,∇)

en construisant des connexions adapt´ees en un certain sens au recouvrement ci-dessus, et en utilisant l’int´egration sur le complexe de ˘Cech-de Rham correspondant.

2.2.1. Connexionsµ-adapt´ees

D´efinition 2.3. — Soitµ∈ {1,· · ·, q}

On dira qu’une connexion∇ surE estµ-adapt´ee si :

• ∇ est de type(1,0)

• ∇X

σ

= 0 pour toutX dans π⁻¹N_µet pour toute sectionπ-invarianteσ.

(c’est-`a-dire telle que σ=π<sup>−1</sup>(σ)o`u σest une section de E|W).

Proposition 2.4. — De telles connexions existent toujours.

Th´eor`eme 2.5. — Si ∇0,· · ·,∇k sont k + 1 connexions µ-adapt´ees (k0),cI(∇0,· · · ∇k) = 0 pour|I|=n.

D´emonstration. — On a : T_CU =T U⊕T U , o`u T^(1,0)U =T U et T^(0,1)U =T U .

Mais, T U =H ⊕ V o`u H π⁻¹(T W) etV _q

λ=1π⁻¹(N_λ).

Soit B=

h₁,· · ·, h_n−q, ∂₁,· · ·∂_µ,· · ·∂_λ,· · ·∂_q, Z₁,· · ·Z_n

une trivia- lisation locale de T_CU adapt´ee `a la d´ecomposition pr´ec´edente. La triviali- sation duale sera not´ee

B^∗ =

ε1,· · ·, εn−q, ξ1,· · ·ξµ,· · ·ξλ,· · ·, ζ1,· · ·ζn

o`u (εi) est le dual de (h_i), (ξ_λ) celui de (∂_λ) et (ζ_k) celui de (Z_k).

Si k= 0 :Soit∇0 une connexionµ-adapt´ee ; on note Ksa courbure.