Résultats d’existence et de non-existence de solutions non-triviales de certaines classes d’équations elliptiques semi-linéaires

ﻲﻤﻠﻌﻟا ﺚﺤﺒﻟاو ﱄﺎﻌﻟا ﻢﻴﻠﻌﺘﻟا ةرازو

رﺎـﺘﺨﻣ ﻲـﺟﺎﺑ ﺔـﻌﻣﺎﺟ

ﺔـﺑﺎـﻨﻋ

Université Badji Mokhtar

Annaba

Badji Mokhtar University-

Annaba

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

THESE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Mathématiques

Option :

Equations aux dérivées partielles

Résultats d’existence et de non-existence

de solutions non-triviales de certaines classes

d’équations elliptiques semi-linéaires

Par :

Rafik GUEFAIFIA

Sous la direction de

Pr. Brahim KHODJA

Devant le jury

PRESIDENT

Ammar BOUKHEMIS

PROF U.B.M

Annaba

CO-ENCADREUR

Kamel AKROUT

M.C.A

U. de Tébessa

EXAMINATEUR

Ali BENTRAD

PROF

U. de Reims

EXAMINATEUR

Abdelkrim MOUSSAOUI

M.C.A

U. de Béjaia

EXAMINATEUR

Friekh TAALLAH

M.C.A U.B.M

Annaba

Je tiens à adresser mes remerciements les plus chaleureux et

ma profonde gratitude à mon encadreur monsieur

KHODJA Brahim professeur à l’Université de Annaba pour

m’avoir proposé

Le sujet de cette thèse et mon co-encadreur AKROUT

Kamel. Cest grâce à sa grande disponibilité, ses conseils, ses

orientations, et ses encouragements qur j’ai pu mener à bien

ce travial.

Mes remerciements vont également à Monsieur

BOUKHMIS Ammar , professeur à l’Université de Annaba,

pour avoir bien voulu me faire l’honneur d’accepter de

présider le jury.

De même je remercie monsieur BENTRAD Ali, professeur à

l’Université de Reims, et monsieur MOUSSAOUI Abdelkrim

maître de conférences à l’Université de Béjaia et TAALAH

Freikh, maître de conférences à l’Université de Annaba

pour l’honneur qu’ils m’ont fait de bien vouloir accepter de

faire partie du jury.

Enfin, je n’oublie pas de remercier toutes les personnes qui

m’ont facilité la tâche et tous ceux que j’ai connus au

département au mathématiques qui ont rendu mon séjour

Dans cette thèse nous nous sommes intéressés aux solutions faibles posi-tives d’une classe de systèmes d’équations elliptiques semi-linéaires soumis à des conditions de Dirichlet homogènes sur le bord. La technique utilisée est celle des sous et sur-solutions.

In this thesis we studied the weak positive solutions for a class of semi-linear elliptic systems subject to homogeneous Dirichlet conditions on the bord. The technique used is that of sub and super-solutions.

متھن ةحورطلأا هذھ يف

ةساردب

هبش ةيجيلھا تلاداعم لمجل ةبجوملا ةفيعضلا لولحلا

و تحت ةقيرط يھ ةمدختسملا ةينقتلا ،يلشيريدل ةمودعملا ةيوفاحلا ط ورشلا تحت ،ةيطخ

.لولحلا قوف

  

1 Préliminaire 6

1.1 Espaces des fonctions continues . . . 7

1.2 Espaces Lp _{. . . . 8}

1.3 Espaces de Sobolev . . . 8

1.4 Principe du maximum . . . 10

1.5 Problème de valeurs propres . . . 11

2 Résultat d’existence et de non-existence de solutions faible positive pour des classes de systèmes elliptiques p-Laplacien 3 3 21 2.1 Introduction . . . 22

2.2 Dé…nitions et notations . . . 22

2.3 Résultat d’existence . . . 26

2.4 Résultat de non-existence. . . 31

2.5 Applications . . . 33

3 Résultat d’existence et non-existence de solutions faibles positives pour une classe de systèmes p-Laplacien m m 36 3.1 Introduction . . . 37

3.2 Dé…nitions et notations . . . 37

Les équations di¤érentielles aux dérivées partielles sont d’une importance cruciale dans la modélisation et la description des phénomènes naturels en physique,mécanique, chimie, biologie.... Plusieurs phénomènes physiques : dynamique de ‡uide, mécaniques de continuum, simulation d’avion, graphiques des calculatrices et prédiction de temps sont modélisés par divers systémes d’équations aux dérivées partielles.

La non linéarité est essentielle et dépend d’un phénoméne à un autre et est liée étroitement à sa description exacte.

Les Problèmes faisant intervenir le p-Laplacian proviennent de plusieurs branches de ma-thématiques pure comme la théorie de quasirégulière et de quasi conforme aussi bien que des di¤érents problèmes dans la physique mathématique notamment l’écoulement des ‡uides non-Newtonienes.

Hai, Shivaji [13] ont étudié des systèmes de la forme 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : pu = f (v) dans ; pv = g (u) dans ; u = v = 0 sur @ ; (1)

où f et g sont des fonctions croissantes dans [0; 1) et satisfaisant la condition

lim

s!+1

f M (g (s))p11

sp 1 = 0; M > 0

les auteurs ont montré en utilisant la technique des sous et sur solutions que le problème (1) admet au moins une solution positive sous la condition > 0 , large.

8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : pu = u v dans ; qu = u v dans ; u = v = 0 sur @ ; (2)

a été étudié par Caisheng Chen [9] ; et des résultats d’existence et de non-existence de solutions faibles positives ont été établis moyennant la méme technique. La première fonction propre de l’opérateur p a joué un role important dans l’obtention d’une sous solution faible positive.

Plus précisément, les principaux résultats obtenus pour le problème (2) s’énoncent comme suit : (i) Lorsque ; 0; ; > 0; = (p 1 ) (q 1 ) > 0, le problème (2) admet une solution faible pour chaque > 0.

(ii) Lorsque = 0 et p = q (p 1 ), il existe alors 0 > 0 telle que pour tout 0 < < 0

le problème (2) admet une solution faible non-triviale non négative.

Dans cette thèse on étudier la question de l’existence et de la non-existence de solutions faibles positives de certaines classes de systèmes d’équations aux dérivées partielles non-linéaires de type elliptique dans des domaines bornés de Rm_{:Plus précisement il s’agit des systémes de la}

forme ₈ > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : pu = (x) f (u; v; w) dans ; qv = (x) g (u; v; w) dans ; rw = (x) h (u; v; w) dans ; u = v = w = 0 sur @ ; (3)

> > > < > > > : piui = ifi(u1; :::; um) dans ; 1 i m ui = 0 sur @ ; 8i; 1 i m (4)

Ici p est l’opérateur p laplacien dé…ni sur

D = u_{2 W0}1;p( ) ; pu2 Lp( )

par

pu (x) = div jruj p 2

ru (x)

La technique employée dans les deux problèmes est l’utilisation des sous et sur solution. Le premier chapitre est un préliminaire, qui comporte des dé…nitions, des théorèmes, des propositions et des lemmes indispensables pour le reste de la thèse.

Le deuxième chapitre comporte des résultats d’existence et de non-existence de solutions faibles positives de certaines classes de systèmes elliptiques semi-linéaires d’ordre 3 dans des domaines bornés de Rn _{de la forme}

8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : pu = (x) f (u; v; w) dans ; qv = (x) g (u; v; w) dans ; rw = (x) h (u; v; w) dans ; u = v = w = 0 sur @ ; avec des conditions de Dirichlet homogénes sur le bord.

et ont fait l’objet d’une publication intitulé Existence and Nonexistence of Weak Positive Solution for Classes of 3 3 p Laplacian Elliptic Systems parus dans "International Journal of Partial Di¤erential Equations and Applications".

Le troisième chapitre est une généralisation du chapitre 2 et comporte des résultats d’existence et de non-existence de solutions faible positives d’une classe des systèmes elliptiques de la forme

8 > > > < > > > : piui = ifi(u1; :::; um) dans ; 1 i m ui = 0 sur @ ; 8i; 1 i m

dans des domaines bornés de Rm , et ont fait l’objet d’une publication intitulé :" Existence and Nonexistence of Weak Positive Solution for a Class of p Laplacian Systems" qui parus dans " journal of partial di¤erential equations".

Préliminaire

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

1- Espaces de fonctions continues.

2- Espace

Lp

_.

3- Espace de Sobolev.

4- Principe du maximum.

5- Problème de valeurs propres.

6- Lemme de comparaisons

1.1

Espaces des fonctions continues

On donne ici quelques notations et conventions utilisées dans la suite.

Notons par x = (x1; x2; :::; xn)le point générique d’un ouvert de Rn:Soit u une fonction dé…nie

de _{à valeurs dans R; on désigne par D}iu (x) = @u (x) @xi

la dérivée partielle de la fonction u par rapport a xi(1 i n) :Dé…nissons aussi le gradient et le p Laplacien de u, respectivement

comme suit Ou = (_@x@u 1 ; @u @x2 ; :::; @u @xn ) T _et jOuj2 = n P i=1 @u @xi 2 pu (x) = div jrujp 2ru (x) :

On notera par C( ) l’espace des fonctions continues de _{à valeurs dans R; (C( ); R}m_{) est}

l’ensemble des fonctions continues de _{à valeurs dans R}m, Cb l’ensemble des fonctions

continues et bornées sur ; _{on le munit de la norme k:k1}; kuk1= sup

x2

ju (x)j

Pour k 1entier, Ck_{( )est l’espace des fonctions u qui sont k fois dérivables et dont la dérivée}

d’ordre k est continue sur : Ck

c ( ) est l’ensemble des fonctions de Ck( ) ; dont le support est compact et contenu dans :

Nous dé…nissons aussi Ck ; comme l’ensemble des restrictions à des éléments de Ck_(Rn) ou bien comme étant l’ensemble des fonctions de Ck_{( ) ; telle que pour tous 0 j k; et tout}

x0 2 @ ; la limite lim x!x0

Dju (x) existe et dépend uniquement de x0:

C1

0 ( )ou bienD ( ) ; est l’espace des fonctions indé…niment di¤érentiables, à supports compacts

1.2

Espaces

L

p

Soit _{un ouvert de R}n;muni de la mesure de Lebesgue dx. On désigne par L1( ) l’espace des fonctions intégrables sur _{à valeurs dans R, on le munit de la norme}

kukL1 = Z

ju (x)j dx

Soit p 2 R avec 1 p < +_{1; on dé…nit l’espace L}p_{( ) par}

Lp( ) = 8 < :f : ! R, f mesurable et Z jf (x)jpdx < +₁ 9 = ; Sa norme est kukLp = 0 @Z _{ju (x)j}p dx 1 A 1 p

On dé…nit aussi l’espace L1_{( )}

L1_{( ) =ff : ! R, f mesurable, 9c > 0; tel que jf (x)j cp.p sur g}

Il sera muni de la norme du sup-essentie kukL1 = ess sup

x2 ju (x)j = inf fc; ju (x)j

c p.p sur _g

On dit qu’une fonction f : _{! R appartient à L}p_loc( ) si f 1K 2 Lp( ) pour tout compact

K :

1.3

Espaces de Sobolev

Dérivée faible

Dé…nition 1.1 Soit _{un ouvert de R; et 1} i n_{. une fonction u 2 L}1

dérivée faible dans L1

loc( ) s’il existe fi 2 L1loc( ) telle que pour tout '2 C01( ) on ait

Z

u (x) @i' (x) dx =

Z

fi(x) ' (x) dx

Cela revient à dire que la i-ème dérivée au sens des distributions de u appartient à L1_loc( ) ;on posera @iu = @u @xi = fi

Espace

W1;p( )

Soit _{un ouvert borné ou non de R}n_;

et p 2 R, 1 p +_{1; l’espace W}1;p_{( )est dé…ni par}

W1;p( ) =_{fu 2 L}p( ) ; tel que @iu2 Lp( ) ; 1 i ng

où @i est la i-ème dérivée faible d’une fonction u 2 L1loc( )

Théorème 1.1 [19] L’espace W1;p_{( ) s’injecte continument dans L}1_{( ) (W}1;p_{( ) ,}

! L1_{( ))}

pour tout 1 p +_{1; i.e qu’il existe un constant C ( dépendant seulement de} ) tel que

kukL1 CkukW1;p; 8u 2 W1;p( ) De plus, si est borné on a

W1;p_{( ) ,}

! C ( ) avec injection compacte, 1 < p +_1; W1;1_{( ) ,}

! Lq_{( ) avec injection compacte, 1 q < +}

1:

Corollaire 1.1 Supposons que _{un ouvert non borné de R}n_{, et soit u 2 W}1;p_{( ). Alors}

lim

jxj!+1 x2

u (x) = 0

Espaces

Wm;p_{( )}

Soit _{un ouvert de R}n_{; m 2 et p un nombre réel tel que 1 p +}

Wm;p_{( ) comme suit}

Wm;p_{( ) =}

fu 2 Lp_{( ) tel que @}

iu2 Lp( ) ; 8 ; j j mg

où _{2 N}n; _{j j =} 1 + ::: + n la langueur de et @iu = @11:::@nn est la dérivée faible d’une

fonction u 2 L1

loc( ) au sens de la dé…nition (1:1) :

L’espace Wm;p( ) est muni de la norme kukWm;p =kuk_Lp+

P

0<j j mk@iukLp

Espace

W₀1;p( )

Dé…nition 1.2 Pour 1 p < +_{1 on dé…nit l’espace W0}1;p( ) comme étant la fermeture de D ( ) dans W1;p( ) ;et on écrit

W₀1;p( ) =_{D ( )}W 1;p

1.4

Principe du maximum

Un grand nombre de résultats d’existence ou d’unicité de solutions des problèmes aux limites (elliptiques ou paraboliques), peut être établi en utilisant le principe du maximum.

On donne ici quelques variantes de principe du maximum.

Soit _{un ouvert de R}n; a(:) = (aij(:))_{1 i;j n} une matrice, b(:) = (bi(:))1 i n un champ de

vecteur et c une fonction. On considère l’opérateur symétrique du second ordre L dé…ni par

Lu = Pn_i;j=1aij@iju +

Pn

i=1bi@iu + cu (1.1)

On suppose que la matrice carrée a(:) véri…e la condition de coercitive (ou d’ellipticité) 9 > 0; 8 2 R; a (x) : =Pni;j=1aij(x) i j j j

2

p.p sur ; (1.2) où j j désigne la norme euclidienne de dans R:

Théorème 1.2 (principe du maximum classique) [19] Soit un ouvert borné connexe, et L comme dans (1:1). On suppose que c 0; que (1:2) est satisfaite et que aij; bi, c 2 C : Si

u_{2 C}2_{( )} \ C1 _{véri…e Lu 0 alors on a} sup x2 u (x) sup 2@ u+_{( ) où u}+_{( ) = max (u ( ) ; 0)}

Théorème 1.3 (principe du maximum de Hopf ) [19] Soit un ouvert borné connexe, et L comme dans (1:1). On suppose que c 0, que (1:2) est satisfaite et que aij; bi, c 2 C .Si

u_{2 C}2( )_{\ C}1 véri…e Lu 0 et si u atteint un maximum 0 à l’intérieur de de , alors u est constante sur .

Théorème 1.4 (principe du maximum d’Aleksandrov) [19] Soit un ouvert borné connexe, et L comme dans (1:1). On suppose que c 0; que (1:2) est satisfaite que aij; bi, c 2 C et

f _{2 L}N_{( ). Il existe un constant C > 0 dépendant uniquement de N ,}

kbkLN_{( )} et de diamètre de _{tel que si u 2 Wloc}2;N( )_{\ C} véri…e Lu f alors on a

sup

x2

u (x) sup

2@

u ( ) + C_kfkLN_{( )}

Lemme 1.1 [lemme du point frontière] [20] Supposons que u est continue dans ; Lu 0 (resp. Lu 0)dans ; _{et u atteint son maximum (resp ; minimum) en un point p 2 @ : Alors,} tous les dérivés directionnels vers l’extérieur de u au point p sont positives (resp ; négatives).

1.5

Problème de valeurs propres

Dé…nition 1.3 _{On dit que u 2 W0}1;p( ) ; u _{6= 0; est une fonction propres de l’opérateur 4}pu

si : _Z

jrujp 2ru:r'dx = Z

jujp 2u:'dx _(1.3)

Soit 1 dé…nie par 1 = inf u2W01;p( );u6=0 Z jrujpdx Z jujpdx (1.4) équivalant à 1 = inf 8 < : Z jrujpdx; Z jujpdx = 1; u_{2 W0}1;p( ) ; u_{6= 0} 9 = ;

1 est le premièr valeur propre de l’opérateur p Laplacien avec conditions de Dirichlet nulles

au bord.

Lemme 1.2 [18] 1 est isolée, alors il existe > 0 tel que dans un intervale ( 1; 1+ ) ; il

n’existe pas un autre valeurs propres de (1:3) :

Lemme 1.3 [18] a) Soit p 2; alors pour tout ₁; _{2 2 R}n j 2j

p

j 1j p

+ p_{j 1j}p 2_{h 1}; _{2 1i + C (p) j 1 2j ;} b)Soit p < 2; alors pour tout ₁; _{2 2 R}n

j 2j p j 1j p + p_{j 1j}p 2_{h 1}; _{2 1i + C (p)} j 1 2j p (_{j 2j + j 1j)}2 p; où C (p) est une canstante dépendant uniquement de p:

Lemme 1.4 [18] La premiére valeur propre 1 est simple. ,i.e si u:v sont deux fonctions propres

associées à 1;alors, il existe k tel que : u = kv:

Lemme 1.5 [18] Soit u une fonction propre associée à la valeur propre 1, alors u ne change

PreuvePar le lemme (1:4), on peut supposser que u; v sont positives sur ;et en prenant '₁ = (u p _vp₎ up 1 ; '₂ = (v p _up₎ vp 1 ;

deux fonctions test dans la formulation faible (1:3), on obtient

Z jrujp 2rur u p _vp up 1 dx = Z jujp 2u u p _vp up 1 dx (1.5) Z jrvjp 2rvr v p _up vp 1 dx = Z jvjp 2v v p _up vp 1 dx

L’addition de ces des deux formules donnent 0 = Z jrujp 2rur u p _vp up 1 dx + Z jrvjp 2rvr v p _up vp 1 dx (1.6)

Et en utilisant les identités : r u p _vp up 1 = ru p vp 1 up 1rv + (p 1) vp upru; r v p _up vp 1 = rv p up 1 vp 1ru + (p 1) up vprv; (1.7)

on obtient le premier terme de (1:6) Z jrujp 2rur u p _vp up 1 dx = Z jrujpdx p Z _vp 1 up 1jruj p 2 rvrudx (1.8) + Z (p 1)v p up jruj p dx = Z jr ln ujpupdx p Z vp_{jr ln uj}p 2_{hr ln u; r ln uidx} + Z (p 1)_{jr ln uj}pvpdx

On a une expression analogue pour le second terme de (1:6) :La formule (1:6) devient alors

0 = Z (up vp) (_{jr ln uj}p _{jr ln uj}p) dx (1.9) p Z vp _{jr ln uj}p 2_{hr ln u; r ln v r ln ui dx} p Z up _{jr ln vj}p 2_{hr ln v; r ln u r ln vi dx}

Choisissans 1 =r ln u et 2 =r ln v et on utilisons le lemme (1:3) on aura, pour p 2

0 Z C (p)_{jr ln u r ln vj (u}p+ vp) dx (1.10) ou bien 0 = _{jr ln u r ln vj} (1.11) alors u = kv:

Pour p < 2;on utilise la seconde partie du lemme (1:3) comme précédement.

Théorème 1.5 (Théorème de la convergence dominée de Lebesgue) [19] Soit_ffngn 1une suite de

existe g 2 L1_{( ) telle que pour tout n 1; on ait} jfnj g p.p sur Alors : f _{2 L}1_{( ) et} lim n!+1kfn fkL1 = 0; et Z f (x) dx = lim n!+1 Z fn(x) dx

Dé…nition 1.4 [19] Soient ! une partie d’un espace de Banach X et F : !_{! R: Si u 2 !; on} dit que F est dérivable au sens de Gâteaux (ou G-dérivable ou encore G-di¤érentiable) en u; s’il existe l 2 X0 _{tel que dans chaque direction z 2 X où F (u + tz) existe pour t > 0 assez petit,}

la dérivée directionnelle Fz0(u) existe et on a

lim

t!0+

F (u + tz) F (u)

t =hl; zi : On posera F0_{(u) = l:}

Théorème 1.6 Soit _Rn; n 3;un ouvert, Pour p _{2 (1; +1) on dé…nie une fonctionelle} J : W₀1;p( )_{! R par}

J (u) = Z

jrujpdx alors J est di¤érentiable dans W₀1;p( ) et

J0(u) (v) = p Z

jrujp 2ru:rvdx; 8v 2 W01;p( )

Preuve_{On considére la fonction ' : R}n

! R, dé…nie par :' (x) = jxjp;c’est une fonction de classe C1

,et r' = p jxjp 2x; alors pour tout x; y 2 Rn_;

lim t!0 ' (x + ty) ' (x) t = pjxj p 2 x:y

comme conséquence lim t!0 jru (x) + trv (x)jp jru (x)jp t = pjru (x)j p 2 ru (x) :rv (x)

par le théorème des accroissements …nis,pour presque tout x 2 et pour t > 0; il existe un fonction à valeurs dans ]0; 1[ telle que l’on puisse écrire :

jru (x) + trv (x)jp jru (x)jp tp_{jru (x)j}p 2_{ru (x) :rv (x)} (1.12) = tp_{jru (x) + (t; x) trv (x)j}p 2(_{ru (x) + (t; x) trv (x)) :rv (x)}

tp_{jru (x)j}p 2_{ru (x) :rv (x)} En divisant par t;on obtient pour presque tout x :

lim

t!0

jr (u + tv) (x)jp jru (x)jp tp_{jru (x)j}p 2_{ru (x) :rv (x)}

t = 0:

D’autre part, on peut majorer le dexième membre de l’égalité (1:12) divisée par t par h (x) = 2_{jrv (x)j (jru (x)j + jrv (x)j)}p 1

En utilisant ensuite l’inégalité de Holder, on a :

jhj C_{krvkp kruk}p 1_p +_krvkp 1_p :

On peut danc appliquer le théorème de convergence dominée et conclure à : J0(u) (v) = p

Z

jrujp 2ru:rvdx; 8v 2 W01;p( )

Lemme 1.6 (de comparison) [4] Soient u; v_{2 W0}1;p( ) satisfaisant Z

jrujp 2ru:r'dx Z

jrvjp 2rv:r'dx (1.13)

pour tout ' 2 W01;p( ) ; ' 0; alors u v p:p dans :

Preuve Notre preuve est basée sur les arguments présentés dans [8; 9]. On commence par dé…nir la fonction J : W01;p( ) ! R par la formule

J (u) = 1 p

Z

jrujpdx (1.14)

il est évident que la fonctionnelle J est Gâteaux di¤érentiable et continue et sa dérivé de Gâteaux au point u 2 W01;p( ) est la fonction J0(u)2 W

1;p

0 ( ) i.e

J0(u) (') = Z

jrujp 2ru:r'dx; ' 2 W01;p( ) : (1.15)

J0_{(u) est continue et bornée. Nous allons montrer que J}0_{(u) est strictement monotone dans}

W₀1;p( ) : _{En e¤et, pour toute u; v 2 W0}1;p( ) ; u _{6= v sans perte de généralité, on peut supposer}

que _Z

jrujpdx Z

jrvjpdx En utilisant l’inégalité de Cauchy, nous avons

ru:rv jruj jrvj 1₂ jruj2+_jrvj2 (1.16) de la formule (1:14) on déduit Z jrujpdx Z jrujp 2ru:rvdx 1₂ Z jrujp 2 jruj2 jrvj2 dx (1.17) Z jrvjpdx Z jrvjp 2rv:rudx 1₂ Z jrvjp 2 jrvj2 jruj2 dx (1.18)

Si jruj jrvj ; En utilisant (1:14) (1:16), nous obtenons

I1(u) = J0(u) (u) J0(u) (v) J0(v) (u) + J0(v) (v)

= 0 @Z _jrujp dx Z jrujp 2ru:rvdx 1 A 0 @Z _jrvjp 2 rv:rudx Z jrvjpdx 1 A Z 1 2 jruj p 2 jruj2 jrvj2 dx 1 2 Z jrujp 2 jruj2 jrvj2 dx = 1₂ Z jrujp 2 jrvjp 2 jruj2 jrvj2 dx 1 2 Z jrujp 2 jrvjp 2 jruj2 jrvj2 dx (1.19)

Si jrvj jruj ; en changeant le rôle de u et v en (1:14) (1:16) nous avons I2(v) = J0(v) (v) J0(v) (u) J0(u) (v) + J0(u) (u)

= 0 @Z _jrvjp dx Z jrvjp 2rv:rudx 1 A 0 @Z _jrujp 2 ru:rvdx Z jrujpdx 1 A 1 2 Z jrvjp 2 jrvj2 jruj2 dx 1 2 Z jrvjp 2 jrvj2 jruj2 dx = 1₂ Z jrvjp 2 jrujp 2 jrvj2 jruj2 dx 1 2 Z jrvjp 2 jrujp 2 jrvj2 jruj2 dx (1.20) de (1:17) et (1:18), nous avons (J0(u) J0(v)) (u v) = I1 = I2 0;8u; v 2 W 1;p 0 ( )

en autre, si u 6= v et (J0_{(u) J}0_{(v)) (u v) = 0; puis nous avons}

Z

si jruj = jrvj dans , on en déduit que (J0(u) J0(v)) (u v) = J0(u) (u v) J0(v) (u v) = Z jrujp 2jru rvj2dx = 0; (1.21)

i.e u v est une constante, compte tenu de u = v = 0 sur @ nous obtenons u = v , ce qui est contraire avec u 6= v: Donc (J0_{(u) J}0_{(v)) (u v) > 0 et J}0_{(u) est strictement monotone}

dans W0 1;p( ) : Soit u; v deux fonctions telles que (1:15) est satisfaite, Prenons ' = (u v) +

, la partie positive de u v comme fonction test dans (1:15), nous obtenons que

(J0_{(u) J}0_{(v)) (') =}

Z

jrujp 2ru:r'dx Z

jrvjp 2rv:r'dx 0: _(1.22)

Résultat d’existence et de non-existence

de solutions faible positive pour des

classes de systèmes elliptiques

p-Laplacien 3

3

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

1- Résultat d’existence.

2- Résultat de non existence.

3- Application

2.1

Introduction

Considérons dans ce chapitre le système suivant 8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : pu = (x) f (u; v; w) dans ; qv = (x) g (u; v; w) dans ; rw = (x) h (u; v; w) dans ; u = v = w = 0sur @ ; (2.1)

où z = div _jrzj 2_{rz ;} 1; ; et sont des paramètres positifs , ; ; sont des fonctions dans L1_{( ) et est un domaine borné de R}N _{avec une frontière bornée @ : On}

démontre l’existence d’une solution faible positive pour ; et assez grand sous la condition suivante lim t!+1 f (t; t; t) tp 1 = lim_t!+1 g (t; t; t) tq 1 = lim_t!+1 h (t; t; t) tr 1 = 0:

2.2

Dé…nitions et notations

Soit X le produit cartésien des 3 espaces W₀1;p( ) ; W₀1;q( ) et W₀1;r( ) ; i.e, X = W₀1;p( ) W₀1;q( ) W₀1;r( ) :

Commencons par dé…nir les solution faible, les sous-solution faible et les sur-solution faible du problème (2:1)

Dé…nition 2.1 On dit que (u1; u2; u3)2 X est solution faible positive de (2:1) ;si a lieu l’identitè Z jrujp 2ru:r 1dx = Z (x) f (u; v; w) ₁dx; Z jrvjq 2rv:r 2dx = Z (x) g (u; v; w) ₂dx; Z jrwjr 2rw:r 3dx = Z (x) h (u; v; w) ₃dx;

pour tout = ( ₁; ₂; ₃)_{2 X avec i} 0:

Dé…nition 2.2 On dit que ( ₁; ₂; ₃) ; (z1; z2; z3) 2 X sont respectivement sous-solution et

sur-solution faible positive de (2:1) ; si les formules suivantes sont satisfaite Z jr 1j p 2 r 1:r 1dx Z (x) f ( ₁; ₂; ₃) ₁dx; Z jr 2j q 2 r 2:r 2dx Z (x) g ( ₁; ₂; ₃) ₂dx; Z jr 3j r 2 r 3:r 3dx Z (x) h ( ₁; ₂; ₃) ₃dx;

respectivemant Z jrz1j p 2 rz1:r 1dx Z (x) f (z1; z2; z3) 1dx; Z jrz2jq 2rz2:r 2dx Z (x) g (z1; z2; z3) 2dx; Z jrz3jr 2rz3:r 3dx Z (x) h (z1; z2; z3) 3dx;

avec 0 i zi ; pour tout = ( 1; 2; 3)2 X avec i 0; 1 i 3:

On suppose que f; g et h : [0; 1[ [0; 1[ [0; 1[ ! R sont respectivement dans Lp _{( ) ;respectivement}

Lq _{( ) et L}r _{( ) ;où p =} N p N p; q = N q N q et r = N r N r; véri…ent l’hypothèse : 1) f; g; h : [0;_1[ [0;_1[ [0;_{1[ ! R monotones de classe C}1_, 2) lim t1;t2;t3!1 f (t1; t2; t3) = lim t1;t2;t3!1 g (t1; t2; t3) = lim t1;t2;t3!1 h (t1; t2; t3) = +1; (2.2) 3) _9k0 > 0 : f (t1; t2; t3) ; g (t1; t2; t3) ; h (t1; t2; t3) k0 pour tout t1; t2; t3 0; 4) ₉ 0; 0; 0; 1; 1; 1; > 0 : 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 0 (x) 1 0 (x) 1 0 (x) 1 (2.3) lim t!+1 f (t; t; t) tp 1 = lim_t!+1 g (t; t; t) tq 1 = lim_t!+1 h (t; t; t) tr 1 = 0 (2.4)

9 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3 > 0 : 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : f (t1; t2; t3) 1t p 1 1 + 1t q(p_p1) 2 + 1t r(p_p1) 3 g (t1; t2; t3) 2t p(q_q1) 1 + 2t q 1 2 + 2t r(q_q1) 3 h (t1; t2; t3) 3t p(p_p1) 1 + 3t q(r_r1) 2 + 3t r 1 3 (2.5)

Soit 1; 1 et 1 respectivement les premières valeurs propres de p , q , r, avec les

conditions de Dirichlet homogéne sur le bords, 'p; 'q et 'r les fonctions propres positives

cor-respondants avec '

p 1 = 'q ₁ = k'rk₁ = 1;et mp; mq; mr; ; 0; 0; 0; 1; 1; 1 > 0 des

nombres réels véri…ants 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : r'p p 1'p mp r'q q 1'q mq jr'rj r 1'r mr dans =_{fx 2} : d (x; @ ) _g (2.6) Notons par 1 = 1 (p 1)( 1+ 2) + 1 1+ 1 1 ; 2 = 1 (p 1)( 1+ 2) + 1 1+ 1 2 ; 3 = 1 (p 1)( 1+ 2) + 1 2+ 1 2 ; 0 = p 1 (p 1) max i=1;2;3( i) 0 = q ₁ (q 1) max i=1;2;3( i) 0 = r 1 (r 1) max i=1;2;3( i)

2.3

Résultat d’existence

Théorème 2.1 Supposons que (2:2) et (2:3) sont vrais.alors pour ; ;et assez grands, le sys-tème (2:1) admet une solution faible positive (u; v; w) :

PreuveChoissisons ( ₁; ₂; ₃)_{2 X,comme suite,}

1 = ( m0pk0) 1 p 1 p 1 p ' p p 1 p ; 2 = ( 0 k0 mq ) 1 q 1 q 1 q ' q q 1 q ; 3 = ( 0 k0 mr ) 1 r 1 r 1 r ' r r 1 r ;

et véri…ont que c’est une sous-solution de (2:1) pour ; et assez grands: Soit = ( ₁; ₂; ₃)_{2 X avec i} 0; 1 i 3:Un calcul simple montre que :

Z p 1 1dx = Z jr 1j p 2 r 1:r 1dx = 0k0 mp Z '_{p r'p} p 2_r'p:_{r 1}dx = 0k0 mp 8 < : Z r'p p 2 r'pr 'p 1 dx Z r'p p 1dx 9 = ; = 0k0 mp Z 1'pp r'p p 1dx: Z q 2 2dx = 0 k0 mq Z 1'qq r'q q 2dx:

Z r 3 3dx = 0 k0 mr Z ( ₁'r_{r jr'rj}r) ₃dx: Maintenant;dans nous avons

r'p p 1'pp mp; r'q q 1'q mq; jr'rj r 1'r mr:

Ce qui impliquent que

0k0 mp 1'pp r'p p (x) f ( ₁; ₂; ₃) k0( 0 (x)) 0; 0k0 mq 1 'q q r'q q (x) g ( ₁; ₂; ₃) k0( 0 (x)) 0; 0k0 mr ( 1'rr jr'rj r ) (x) h ( ₁; ₂; ₃) k0( 0 (x)) 0:

Alors que dans _{n ; nous avons 'p} p; 'q q et 'r r pour p; q et r 0;et danc

pour , et assez grands;

(x) f ( ₁; ₂; ₃) 0k0 mp 1 0k0 mp 1'pp r'p p (x) g ( ₁; ₂; ₃) 0k0 mq 1 0k0 mq 1 'q q r'q q (x) h ( ₁; ₂; ₃) 0k0 mr 1 0 k0 mr ( 1'rr jr'rj r )

Et par suite Z jr 1j p 2 r 1:r 1dx Z (x) f ( ₁; ₂; ₃) ₁dx; Z jr 2j q 2 r 2:r 2dx Z (x) g ( ₁; ₂; ₃) ₂dx; Z jr 3j r 2 r 3:r 3dx Z (x) h ( ₁; ₂; ₃) ₃dx; i:e. ( 1; 2; 3)est une sous-solution de (2:1) :

Soit '_p; '_q et '_q les solutions des problémes suivants :

p'p = 1 dans ; '_p = 0 sur @ : ; q'q = 1 dans ; '_q = 0 sur @ : et r'r = 1 dans ; '_r = 0 sur @ : Posons z1 = C '_{p 1} 1 p 1_' p; z2 = ( ) 1 q 1 _{g C} 1 p 1; C 1 p 1; C 1 p 1 1 q 1 '_q; z3 = ( ) 1 r 1 _{h C} 1 p 1; C 1 p 1; C 1 p 1 1 r 1 '_r:

où C est un nombre positive assez grand:Nous allons véri…é que (z1; z2; z3) est une sur-solution

de (2:1) pour ; et assez grands.

Par (2:2) et (2:3) ;on peut choisir C su¢ samment grand de sorte que C p11 q 1 '_q q 1 1 g C 1 p 1_{; C} 1 p 1_{; C} 1 p 1 g C p11; C 1 p 1; C 1 p 1 'q 1 q = z q 1 2

ce qui implique que : C p11 z 2 et par suite C p11 r 1 k'rk r 1 1 h C 1 p 1; C 1 p 1; C 1 p 1 h C p11; C 1 p 1; C 1 p 1 'r 1 r

d’ou l’on déduit que

C p11 _z

3

ce qui implique alors C p11 p 1 '_p p 1 1 f C 1 p 1; C 1 p 1; C 1 p 1 '_p p 1 1 f C '_{p 1} 1 p 1 _' p 1; C 1 p 1_{; C} 1 p 1 ! '_p p 1 1 f C ' p 1 1 p 1' p; C 1 p 1; C 1 p 1 ! = '_p p 1 1 f (z1; z2; z3)

puis,nous avons Z jrz1jp 2rz1:r 1dx = C ' p 1 !p 1Z r'p p 2 r'p:r 1dx = C '_{p 1} !p 1Z 1dx Z 1f (z1; z2; z3) 1dx Z (x) f (z1; z2; z3) 1dx D’autre part Z jrz2jq 2rz2:r 2dx = 1g C 1 p 1_{; C} 1 p 1_{; C} 1 p 1 Z r'q q 2 r'q:r 2dx Z 1g C ' p 1 1 p 1 _' p 1; C 1 p 1 ! 2dx Z 1g (z1; z2; z3) 2dx Z (x) g (z1; z2; z3) 2dx

et de la même manière, on obtient que Z jrz3jr 2rz3:r 3dx = 1h C 1 p 1_{; C} 1 p 1_{; C} 1 p 1 Z jr'rj r 2 r'r:r 3dx Z 1h C ' p 1 1 p 1 _' p 1; C 1 p 1_{; C} 1 p 1 ! 3dx Z (x) h (z1; z2; z3) 3dx

i:e (z1; z2; z3) est une sur-solution de (2:1) avec zi i pour C assez grand; i = 1; 2; 3:D’ou

l’existence d’une solution faible (u; v; w) de (2:1) avec ₁ u z1; 2 v z2 et 3 w z3:

2.4

Résultat de non-existence

.

Théorème 2.2 On suppose que f; g et h véri…ent (2:5) ;et que f (0; 0; 0) = g (0; 0; 0) = h (0; 0; 0) = 0; alors pour

0 < < 1; 0 < < 1 et 0 < < 1: (2.7)

le système (2:1) n’admet que la solutions triviale. 1; 1 et 1 sont respectivement les premières

PreuveMultiplions la première équation par u;et intégrant sur , en utilisant l’inégalité de Young, on obtient krukpp = Z (x) f (u; v; w) udx 1 Z 1up 1+ 1v q(p_p1) + 1w r(p_p1) udx 1 Z 1up + p1 (u p_{+ (p 1) v}q_{) +} 1 p (u p_{+ (p 1) w}r_{) dx} 1 Z 1+ 1+ 1 p u p₊ p 1 p 1vq+ p 1 p 1wr dx = 1 p (p 1+ 1+ 1)kuk p p+ 1 p 1_p 1kvk q q+ 1 p 1_p 1kwk r r

puis, nous avons krukpp 1 p (p 1+ 1+ 1)kuk p p+ 1(p 1) p 1kvk q q+ 1(p 1) p 1kwk r r krvkqq 1 q ( 2+ q 2+ 2)kvk q q+ 1(q 1) q 2kuk p p+ 1(q 1) q 2kwk r r krwkrr 1 r ( 3+ 3+ r 3)kwk r r+ 1(r 1) r 3kuk p p+ 1(r 1) r 3kvk q q (2.8)

D’une autre part

1 = inf krukpp kukpp ; ₁ = inf krvk q q kvkqq et 1 = infkrwk r r kwkrr (2.9) Combinons (2:8) et (2:9) ;on obtient

( 1 0)kuk p p+ ( 1 0)kvk q q+ ( 1 0)kwk r r 0:

ce qui contredi (2:7) .Ainsi (2:1) n’admet pas de solutions faibles autres que la solution triviale (u = v = w = 0) .

2.5

Applications

Théorème 2.3 Pour le système : 8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : pu = um1vn1wl1 dans ; qv = um2vn2wl2dans ; rw = um3vn3wl3 dans ; u = v = w = 0 sur @ ; (2.2) on a le résultat suivant : 1) Si m1+ n1+ l1 < p 1; m2+ n2+ l2 < q 1; m3+ n3+ l3 < r 1: (2.10)

le système (2:2) admet une solution faible positive large. 2) Si qrm1+ prn1 + pql1 = qr (p 1) ; qrm2+ prn2 + pql2 = pr (q 1) ; qrm3+ prn3 + pql3 = pq (r 1) : (2.11) et

0 < < 1; 0 < < 1 et 0 < < 1: (2.12)

le système (2:2) n’admet que la solution triviale

Preuve1) (2:4) implique que (2:10) est véri…ée: Ainsi par le théorème (2:1) ; le système (2:2) admet une solutions faible positive.

2) La première équation dans (2:11) implique que

1 1 + 1 2 + 1 3 = 1 p 1 m1 + _q 1 p p 1 n1 + _r 1 p p 1 l1 = 1 _(2.13)

En utilisant l’inégalité de Young généralisée, on obtient

f1(u; v; w) = um1vn1wl1 1₁um1 1 + 1₂vn1 2 + 1₃wl1 3 = 1 1u p 1₊ 1 2v q(p_p1) + 1 3w r(p_p1) (2.14)

L’hypothèse (2:5) est satisfaite. Soient 0 = 1_p ( (m1+ 1) + m2+ m3) < 1; 0 = 1q( n1 + (n2+ 1) + n3) < 1; 0 = 1_r( l1+ l2+ (l3+ 1)) < 1: Alors p ( 1) + q ( 1) + r ( 1) < 0: (2.15)

Théorème 2.4 Pour grand,le problème 8 > > > < > > > : 3 pu = 3 (x) H u; pu; 2pu dans ; u = pu = 2pu = 0 sur @ ; (2.16)

admet une solution faible positive.

Ici _{est un domaine borné de R}N _{avec une frontière régulière ; est un paramètre réel}

positif, 2 L1_{( ) et}

H : ([0;_1[)3 _{! R est de classe C}1_;

H (t1; t2; t3) est croissante par rapport à t1; t3;

H (t1; t2; t3) décroissante par rapport à t2;

lim t!+1 H t; t; 2t tp 1 = 0; p > 2 9k0 > 0 : H (t1; t2; t3) k0;8 (t1; t2; t3)2 ([0; +1[)3 (2.17)

PreuveLe problème (2:16) peut être écrit sous la forme suivane : 8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : pu = v dans ; pv = w dans ; pw = (x) H u; v; 2w dans ; u = v = w = 0 sur @ ;

Résultat d’existence et non-existence de

solutions faibles positives pour une

classe de systèmes p-Laplacien

m

m

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

1- Résultat d’existence.

2- Résultat de non existence.

3.1

Introduction

Dans ce chapitre, On va étudier l’existence et la non-existence de solutions faibles positives pour des systèmes elliptiques de la forme

8 > > > < > > > : piui = ifi(u1; :::; um) dans ; 1 i m ui = 0 sur @ ; 8i; 1 i m (3.1)

où pz = div jrzjp 2rz ; p 1; i; 1 i m sont des paramèters positifs, etant un

domaine borné dans RN _{avec une frontière régulière :Sous l’hypothése}

lim t!+1 fi ^t tpi 1 = 0; ^t = (t; :::; t)| {z } mfois ;_{8i; 1} i m: On démontre pour i > i; 1 i m

l’existence d’une solution positive faible.

3.2

Dé…nitions et notations

Soit X le produit cartésien de m espaces W1;pi

0 ( ),1 i m; i.e, X = W 1;p1

0 ( ) :::

W1;pm

0 ( ) : Commencons par intropduire la dé…nition d’une sous et sur-solution faible du

pro-bléme (3:1)

Dé…nition 3.1 On dit que (ui)_i=1;:::m est une solution faible positive de (3:1) si l’égalité suivante

est satisfaite Z jruij pi 2 ruir idx = i Z fi(u1;u2; :::; um) idx (3.2) pour tout _{i 2 W}1;pi 0 ( ) avec i 0:

sous-solution faible positive respectivement une sur-solution faible positive de (3:1) si Z jr ij pi 2 r ir idx i Z fi 1; 2; :::; m idx respectivement Z jrzij pi 2 rzir idx i Z fi(z1;z2; :::; zm) idx pour tout _{i 2 W}1;pi 0 ( ) avec i 0: Soit fi : ([0;1[) m ! R ,fi 2 Lpi ( ) ; ; pi = N pi N pi; 1 i m;véri…ant 8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > :

1) fi sont quasi-monotone non décroisante par rapport à tk

i.e ; fi(t1; :::; t1k; :::; tm) fi(t1; :::; t2k; :::; tm) ;8t1k t2k;8k; 1 k m 2) lim tk!+1 fi(t1; :::; tm) = +1; 8k; 1 k m; 3) _{9 > 0 : f}i(t1; :::; tm) ;8t1; :::; tm 0; (3.3) 8i; 1 i m : lim t!+1 fi ^t tpi 1 = 0; ^t = (t; :::; t)| {z } mfois 2 Rm; _(3.4) 9 i;j > 0; ; 1 i; j m : fi(t1; :::; tm) Pm j=1 i;jt pi 1 pi pj j (3.5) la fonction fi(t) = fi(t1; :::; tm) = ai m Q j=1 t i;j j Ci; où i;j; ai; Ci > 0: (3.6) si m X j=1 i;j < pi 1; 1 i; j m

satisfait les hypothése (3:3) et (3:4) et si

i;j =

pi 1

pi

elle satisfait (3:5)

Soit pi la première valeur propre de l’opérateur ( pi) avec les condition de Dirichlet homogéne sur le bord et 'i la fonction propre positive correspondante avec k'ik₁ = 1;et

Mpi; i; > 0; 1 i m des canstantes telle que

8i; 1 i m : 8 > > > < > > > : jr'ij pi pi' pi i Mpi sur =fx 2 : d (x; @ ) g '_i i sur n ;

l’hypothèse (3:3) assure que

9 i = ( 1i; :::; mi ) ; ki > 0 : fi( i) = pi Mpi

;_{8i; k; 1} i; k m

3.3

Résultats principales

Théorème 3.1 Si (3:3) et (3:4) sont satisfaites. Alors pour

i > i = Mpi pi i pi pi 1 pi 1 max k=1;:::;m k i pi 1 ; (1 < i < m) le système (3:1) admet une solution positive faible u = (u1; :::; um)2 X:

PreuveNous allons véri…er que pour i > i;

i = Mi_pi 1 pi 1 pi 1 pi ' pi pi 1 i ; (1 i m) ;

Soit i 2 W 1;pi

0 ( ) avec i 0; 1 i m;Un calcul élémentaire montre que

Z 4pi i idx = Z jr ij pi 2 r ir idx = M_pii Z '_ijr'ijpi 2 r'i:r idx = i M_pi 8 < : Z jr'ij pi 2 r'ir ('i i) dx Z jr'ij pi idx 9 = ; = i M_pi Z ( pi' pi i jr'ij pi ) _idx:

Dans nous avons

jr'ij pi

pi'

pi

i Mpi; ce qui implique que

M_pi ( pi' pi i jr'ij pi_{) f} i 1; 2; :::; m 0 Dans _n ,on a '_k k pour k 0;

donc pour k k on peut écrire :

k Mkk 1 pk 1 pk 1 pk pk pk 1 k = maxk=1;:::;m ki ki;8i; k; 1 i; k m;

qui implique que

fi 1; 2; :::; m fi( 1i; 2i; ; :::; mi ) = fi( i) = pi M_pi M_pi ( pi' pi i jr'ij pi ) ;_{8i; 1} i m

Finalement,on obtient Z jr ij pi 2 r ir idx pi Z fi 1; 2; :::; m idx;

i.e. = ( 1; 2; :::; m)2 X est une sous-solution de (3:1) :

Désignons !i la solution du probléme suivant :

8 > > > < > > > : 4pi!i = 1 dans ; !i = 0 sur @ :

et choisissons zi comme suit :

zi = ( i) 1 pi 1 _{fi C} 1 p1 1 1 ; :::; C 1 p1 1 1 1 pi 1 !i; 1 i m

Où C 0 est un nombre réel qui sera déterminé ultériement. Nous allons véri…é que z = (z1;z2; :::; zm)2 X est une sur-solution de (3:1).

Soit à cet e¤et _{i 2 W}1;pi

0 ( ) avec i 0; 1 i m:Par (3:3) et (3:4), On peut choisir C

su¢ samment grand de sorte que C 1 p1 1 1 pi 1 i ifi C 1 p1 1 1 ; :::; C 1 p1 1 1 ifi C 1 p1 1 1 ; :::; C 1 p1 1 1 ! pi 1 i z pi 1 i

où i =k!ik₁:ce qui donne que

C 1 p1 1

1 zi;8i; 1 i m;

la croissance de fi implique que

fi C 1 p1 1 1 ; :::; C 1 p1 1 1 fi(z1; z2; :::; zm) ;8i; 1 i m;

En substituant dans (3:2) ;on obtient Z jrzijpi 2rzi:r idx = ifi C 1 p1 1 1 ; :::; C 1 p1 1 1 Z jr!ijpi 2r!i:r idx i Z fi(z1; z2; :::; zm) idx

i.e ; z = (z1; z2; :::; zm) 2 X est une sur-solution de (3:1) avec zi i;1 i m pour C assez

grand.D’ou le résultat .

Théorème 3.2 On suppose que fi; 1 i m;véri…e (3:5),Alors pour 0 < 0i < pi le système (3:1) n’admet pas des solutions positives non triviales ;où

0 i = pii Pm j=1 i;j + Pm k=1 pk 1 pk k k;i :

PreuveMultiplions l’équation de (3:1) par ui et intégrons sur ;on obtient :

kruik pi pi = i Z fi(u1; u2; :::; um) uidx i Z _P m j=1 i;ju pi 1 pi pj j uidx i pi Z _P m j=1 i;j u pi i + (pi 1) u pj j dx = i pi h Pm j=1 i;j kuik pi pi+ (pi 1) Pm j=1 i;jkujkpj_pj i

D’autre part,si on désigne par

pi = inf

kr ikpi_pi

On peut écrire

Pm i=1 pi

0

i kruikp_pi_i 0

qui est une contradiction avec 0 < 0_i < pi: Corollaire 3.1 Considérons dans X;le système :

8 > > > < > > > : piui = i Qm k=1u i;k k dans ;8i; 1 i m; ui = 0 sur @ ;8i; 1 i m (3.7)

Pour (3:7) on a le résultat suivant : 1) Si

Pm

k=1 i;k < pi 1;8i; 1 i m (3.8)

le système (3:7) admet une solution positive faible. 2) Si Pm k=1 i;k+ i;k pk = 1; (3.9) i =Pm_k=1 i;k + i;k pk k; avec i;k = 8 < : 1si i = j 0_{si i 6= j} et i < pi

le système (3:7) n’admet pas une solutions positives faibles non triviales. Preuve1) les hypothèses du théorème (3:1) sont vérifées..

2) (3:5) et l’inégalité de Young généralisée

8ak; 1 k m2 Rm : m Q k=1 ak Pm_k=1 apk_k pk où Pm k=1 1 pk = 1 (3.10) impliquent que ui m Q k=1 u i;k i Pm k=1 i;k + i;k pk upk k ;8i; 1 i m; (3.11)

La multiplication de l’équation de (3:1) par ui et son intégration sur ;permet d’obtenir en utilisant (3:11) pikuik pi pi kruik pi pi i Z _P m k=1 i;k+ i;k pk upk k dx = i Pm k=1 i;k + i;k pk ku kkp_pk_k ou Pm i=1 pi i kuik pi pi = Pm i=1 pi Pm k=1 i;k+ i;k pk k kuik pi pi 0

qui est une contradiction si i < pi: Corollaire 3.2 Pour grand le problème

8 > > > < > > > : ( 1)m m p u = m_{H u;} pu; :::; m 1p u dans ; u = pu = ::: = m 1p u = 0 sur @ ; (3.12) sous l’hypothése H : ([0;_1[)m _{! R de classe C}1; H (t1; :::; t12k; :::; tm) H (t1; :::; t22k; :::; tm) ;8t12k t22k; H t1; :::; t12k+1; :::; tm H t1; :::; t2k+12 ; :::; tm ;8t12k+1 t22k+1; lim t!+1 H ^t tp 1 = 0; ^t = (t; :::; t)_{| {z }} mfois ; p > m + 1: 9 > 0 : H (t1; :::; tm) ;8 (t1; :::; tm)2 ([0; +1[) m

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : pu1 = u2 dans ; pu2 = u3 dans ; : : : pum = H u1; u2; :::; ( 1)m 1 m 1um dans ; u1 = u2 = ::: = um = 0 sur @ ;

dans ce cas, nous avons 8 > > > < > > > : fi(t1; :::; tm) = ti+1; 1 i m 1 fm(t1; :::; tm) = H t1; t2; :::; ( 1) m 1 m 1 tm

les hypothèse du théorème (3:1) sont véri…ées.

Conclusion

La méthode des sous et sur solution est un outil permettant de montrer l’existence d’au moins une solution faible de problèmes semi linéaires grâce à la fonction propre associée à l’opérateur

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DOI:10.12691/ijpdea-1-1-3

Existence and Nonexistence of Weak Positive Solution

for Classes of 3 × 3 P-Laplacian Elliptic Systems

Guefaifia Rafik1, Akrout Kamel1,*, Saifia Warda2

1

LAMIS Laboratory, Tebessa University, Tebessa, Algeria

2

LANOS Laboratory, Badji Mokhtar University, Annaba, Algeria *Corresponding author: akroutkamel@gmail.com

Received November 12, 2013; Revised November 29, 2013; Accepted December 23, 2013

Abstract In this work, we are interested to obtain some result of existence and nonexistence of large positive

weak solution for the following p-laplacian system

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

, , , , , , , , , 0 , p q r u x f u v w in u x g u v w in w x h u v w in u v w on λα µβ ν −∆ = Ω  −∆ = Ω   −∆ = Ω   _{= = = ∂Ω}  γ where

(

2

)

, 1, z div zσ z σ − σ

∆ = ∇ ∇ ≥ λ, µ and ν are a positive parameter, and Ω is a bounded domain in N with smooth boundary ∂Ω. The proof of the main results is based to the sub-supersolutions method.

Keywords: Positive solutions, Sub-supersolutions, p-Laplacian systems

Cite This Article: Guefaifia Rafik, Akrout Kamel, and Saifia Warda, “Existence and Nonexistence of Weak Positive Solution for Classes of 3 × 3 P-Laplacian Elliptic Systems.” International Journal of Partial Differential

Equations and Applications 1, no. 1 (2013): 13-17. doi: 10.12691/ijpdea-1-1-3.

1. Introduction

Problems involving the p-Laplacian arise from many branches of pure mathe-matics as in the theory of quasiregular and quasiconformal mapping as well as from various problems in mathematical physics notably the flow of non-Newtonian fluids.

Hai, Shivaji [9] studied the existence of positive solution for the p-Laplacian system

( )

( )

, g , 0 , p p u f v in v u in u v on λ λ −∆ = Ω  _{−∆ = Ω}   = = ∂Ω  (1.1)

which f(s); g(s) are the increasing functions in [0, )∞ and satisfy 1 1 1 ( ( )) lim 0, 0 p p s M g s f M S − − →+∞       = >      

the authors showed that the problem (1.2) has at least one positive solution provided that λ >0 is large enough.

In [6], the author studied the existence and nonexistence of positive weak solution to the following quasilinear elliptic system

, , 0 , p q u u v in u u v in u v on α γ δ β λ λ −∆ = Ω  −∆ = Ω   = = ∂Ω  (1.2)

The first eigenfunction is used to construct the subsolution of problem (1.3), the main results are as follows:

(i) If α β, ≥0, ,γ δ>0,θ=(p− −1 α)((q− −1 β)−γδ >0,

then problem (1.3) has a positive weak solution for each 0;

k>

(ii) If λ= 0 andpγ=q p

(

− −1 α

)

then there exists

0 0

λ > such that for 0< <λ λ₀,then problem (1.3) has no nontrivial nonnegative weak solution.

In this paper, we are concerned with the existence and nonexistence of positive weak solution to the quasilinear elliptic system

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

, , , , , , , , , 0 , p q r u x f u v w in v x g u v w in w x h u v w in u v w on λα µβ ν −∆ = Ω  −∆ = Ω   −∆ = Ω   = = = ∂Ω  γ (1.3)

where ∆_σz=div

(

∇zσ−2∇z

)

,σ ≥ 1, λ, µ and ν are a positive parameter, and Ω is a bounded domain in

N _{with smooth boundary ∂Ω . We prove the}

existence of a large positive weak solution for λ, µ and ν large when

(

)

(

)

(

)

1 1 1

, ,

, ,

, ,

lim

0

p q r t

f t t t

g t t t

h t t t

t

t

−

t

− − →+∞

=

=

=

2. Definitions and Notations

Definition 1. We called positive weak solution (u; v; w) of (1.3) such that satisfies

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

2 1 2 2 2 3 . , , , . , , , . , , , p q r u u dx x f u v w dx u v dx x g u v w dx u w dx v x h u v w dx ω λ α ω ω µ β ω ω γ ω − Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇ =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

for all ω∈ Η Ω with 1₀

( )

ω ≥0

Definition 2. We called positive weak subsolution (ψ1, ψ2,

ψ3) and supersolution (z1, z2, z3) of (1.3) such

that,ψ_i≤z i_i, =1, 2,3, satisfies

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 . , , , . , , , . , , , p q r dx x f dx dx x g dx dx v x h dx ψ ψ ω λ α ψ ψ ψ ω ψ ψ ω µ β ψ ψ ψ ω ψ ψ ω γ ψ ψ ψ ω − Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω ∇ ∇ ∇ ≤ ∇ ∇ ∇ ≤ ∇ ∇ ∇ ≤

∫

∫

∫

∫

∫

∫

and

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 . , , , . , , , . , , , p q r z z dx x f z z z dx z z dx x g z z z dx z z dx v x h z z z dx ω λ α ω ω µ β ω ψ ω γ ω − Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω ∇ ∇ ∇ ≥ ∇ ∇ ∇ ≥ ∇ ∇ ≥

∫

∫

∫

∫

∫

∫

for all q∈ Η Ω with 1₀

( )

q≥ 0.

We suppose that α, β, γ, f, g and h verify the following assumptions;

(H1) f g h, , : 0,

(

[ [

∞

)

2→ are C1, monotone functions such that

(

)

(

)

(

)

1 2 3 1 2 3 , , , , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 lim , , lim , , lim , , t t t t t t t t t f t t t g t t t h t t t →+∞ →+∞ →+∞ = = = +∞

(

) (

) (

)

0 0 : , , , , , , , , 0 k f y z w g y z w h y z w k ∃ > ≥ − for all , ,y z w≥ 0

( )

( )

( )

0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 , , , , , 0 : x x x α α α α β γ α β β β β γ γ γ               ≤ ≤ ∃ > ≤ ≤ ≤ ≤ γ (H2)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 , , , , , , lim 0 p q r t f t t t g t t t h t t t t t − t − − →+∞ = = = (H3)

(

)

(

)

(

)

1 2 3, 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3 11 12 13 1 1 1 1 2 3 21 22 23 1 1 1 1 2 3 31 32 3 3 , , , , , , , 0 : , , , , , , p p q r p p p q q p r q q q r r p q r r r v v v f t t t t t t g t t t t t t h t t t t t t ξ ξ ξ η η η ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ  −   −      −      −   −      −     − −         ₋     ∃ >    _{≤ + +}         _{≤ + +}         ≤ + +       Let λ1, µ1and ν1be the first eigenvalue of −∆p, −∆q and

−∆r with Dirichlet boundary conditions and ϕp, ϕq and r

ϕ the corresponding positive eigenfunction with

1,

p q r

ϕ ϕ ϕ _∞

∞= ∞= = , and m, δ > 0, such that

(

)

{

}

1 1 1 : , p _p p p q _q q q r r r r m m on x d x v m δ ϕ λ ϕ ϕ µ ϕ δ ϕ ϕ _{∇ − ≥}      _{∇ − ≥ Ω = ∈ Ω ∂Ω ≤}      ∇ − ≥      We denote by

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

_{) (}

)

(

)

(

)

₍

₎

0 1 1 1 2 3 0 1 2 2 2 3 0 1 2 3 3 3 1 1 , 1 1 , 1 1 , q v r p p q r p v r q p q r p q v v r p q r µ λ λ ξ η ζ ξ ξ λ µ µ η ξ η ζ η λ µ ζ ζ ξ η ζ − − = + + + + − − = + + + + − − = + + + +

3. Existence Results

Theorem 1. Let (H1) and (H2) hold. Then for λ large, the system (1.3) has a large positive solution (u, v, w): Proof. We shall verify that

1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 3 1 , 1 , 1 , p p p q q q r r _r k p m p k q m q v k r m r λα ψ ϕ µβ ψ ϕ γ ψ ϕ − ₋ − − − ₋  −    =_{   }      −    =_{   }     −     =_{   }    

is a subsolution of (1.3) for λ large: Let ω∈H1₀

( )

Ω with

0

ω ≥ .A calculation shows that

( )

(

)

2 1 1 1 2 0 2 0 0 1 . p p p p dx p p p dx dx k dx m k m _dx k dx m σ σ σ σ σ ϕ ω_σ σ σ σ ψ ω ψ ψ ω λ _{ϕ ϕ ϕ ω} ϕ ϕ λ ϕ ω λ _{λ ϕ ϕ ω} − Ω Ω ⋅ − Ω ⋅ − Ω ⋅ Ω Ω − ∆ = ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇  _{∇ ∇ ∇}    =   − ∇    = − ∇

∫

∫

∫

∫

∫

∫

 Now, on Ω_σ we have

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

0 0 1 1 2 3 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 , , 0 , , 0 , , 0 p p p p q q q q r r r r k x f m k x k x f m k x k v x f m k x α _{λ ϕ ϕ α ψ ψ ψ} α α β _{µ ϕ ϕ β ψ ψ ψ} β β γ _{ϕ ϕ γ ψ ψ ψ} γ γ             − ∇ − ≤ − ≤ − ∇ − ≤ − ≤ − ∇ − ≤ − ≤

Next, on Ω Ω/ _σ we have ϕ ϕ ϕ_p, _q, _r≥ρ for some 0

ρ≥ , and therefore for λ, µ and ν large

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 1 2 3 1 1 0 0 1 2 3 1 1 0 0 1 2 3 1 1 , , , , , , p p p p q q q q r r r r k k f m m k k g m m k k h v v m m ψ ψ ψ λ λ ϕ ϕ ψ ψ ψ µ µ ϕ ϕ ψ ψ ψ ϕ ϕ             ≥ ≥ − ∇ ≥ ≥ − ∇ ≥ ≥ − ∇ Hence

(

)

(

)

(

)

2 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 . , , , . , , , . , , , p p p dx f dx dx g dx dx v h dx ψ ψ ω λ ψ ψ ψ ω ψ ψ ω µ ψ ψ ψ ω ψ ψ ω ψ ψ ψ ω − Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω ∇ ∇ ∇ ≤ ∇ ∇ ∇ ≤ ∇ ∇ ∇ ≤

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i.e. (ψ1, ψ2, ψ3) is a subsolution of (1.3). Next, letϕp, ϕq

and ϕ_r are the solution of

1 , 1 , 1 , , 0 . 0 . 0 . p p p p p r p q r in in in and on on on ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −∆ = Ω −∆ = Ω −∆ = Ω = ∂Ω = ∂Ω = ∂Ω              Let 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 , , , , p p p q q p p p q r p p p r r C z z g C C C z v h C C C λ ϕ ϕ µ λ λ λ ϕ λ λ λ ϕ − ∞ − − − − − − − − − − =       = _{  }    _{ }         = _{  }    _{ }  

Where C>0 is a large number to be chosen later: We shall verify that (z1, z2, z3) is a supersolution of (1.3) for λ,

µ and ν large.

To this end, let ω∈H1₀

( )

Ω with ω ≥0.

By (H1) and (H2), we can choose C large enough so that 1 1 1 1 1 1 1 _{1 1 1} 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , , , , q p q _{p p p} p q q p p p q C g C C C g C C C z λ ϕ µ λ λ λ µ λ λ λ ϕ − − − _{− − −} ∞ − − − − −               ≥ _{ }         ≥ _{ } =     then 1 1 2 p Cλ − ≥z and 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 , , , , r p r p p p r r r p p p r C vh C C C vh C C C z λ ϕ λ λ λ λ λ λ ϕ − − − − − − ∞ − − − − −                               ≥ ≥ = then 1 1 3 p Cλ − ≥z

which imply that

(

)

1 1 1 1 1 1 1 _{1 1 1} 1 1 1 1 _{1 1 1} 1 1 1 1 _{1 1 1} 1 1 2 3 , , , , , , , , p p p _{p p p} p p _{p p p} p p p p _{p p p} p p p p p C f C C C C f C C C f C C f z z z λ ϕ λ λ λ λ ϕ λ λ ϕ λ λ ϕ ϕ λ λ ϕ λ λ ϕ ϕ λ − − − _{− − −} ∞ − _{− − −} ∞ ∞ ∞ − _{− − −} ∞ ∞ − ∞               ≥ _{ }         ≥ _{ }         ≥ _{ }     = Then we have

(

)

2 1 1 2 1 1 2 3 . , , p p p p p p p z z dx C dx C dx f z z z dx ω λ ϕ ϕ ω ϕ λ ω λ ω ϕ − Ω − Ω ⋅ ∞ − Ω Ω ∞                     ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇ = ≥

∫

∫

∫

∫