Dynamique quantique d'une particule confinée sur une surface courbe

(1)

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REPUBLIQUE ALGERJENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERJEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DE JIJEL

Faculte des Sciences Exactes et lnformatique Departement de Physique

N° d'ordre: Serie :

Memo

ire

presente pour obtenir le diplome de

Master en physique

Option :

Physique Theorique

par

Fentazi Saida

Theme

Dynamique quantique d'une particule confinee sur une

surface courbe

Soutenu le : 27 /06/2018 Devant le Jury:

President : T. Boudjedaa Prof. Univ. Jijel

Rapporteur : N. Ferkous MCA Univ. Jijel

Examinateur : A. Bounarnes Prof. Univ. Jijel

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REPUBLIQUE ALGERlENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERlEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DE JIJEL

Faculte des Sciences Exactes et Informatique Departement de Physique

N° d'ordre: Serie:

Memo

ire

presente pour obtenir le diplome de

Master en physique

Option :

Physique Theorique

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par

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Fentazi Saida

Theme

Dynamique quantique d'une particule confinee sur une

surface courbe

Soutenu le : 27 /06/2018 Devant le Jury :

President: T. Boudjedaa Prof. Univ. Jijel

Rapporteur : N. Ferkous MCA Univ. Jijel

(3)

Remerciements

Taus mes remerciements vont tout premierement

a

D ieu tout puissant pour la volonte, la sante et la patience qu 'il ma donne pour realiser ce memoire.

J e tiens

a

exprimer ma profonde gratitude et mes vif s remerciements

a

man encadreur Monsieur N. Ferkous qui m'a donne la chance de preparer ce travail sous sa direction et pour son aide, ses encouragements et pour ses efforts et sa disponibilite et sa patience.

Je remercie ires sincerement Monsieur le Professeur T. Boudjedaa pour avoir accepte d'etre president du jury et pour ses discussions et ses remarques.

Mes remerciements vont egalement au Professeur A. B oun ames pour avoir accepter d'eva-luer ce travail.

Je tiens

a

exprimer mes vifs remerciements au Professeur S. Hao uat pour sa disponibilite, son aide et ses precieux conseils.

J e voudrais exprimer ma reconnaissance

a

taus mes enseignants pendant toutes les annees d 'etudes

a

l 'universite de Jijel.

J'adresse mes plus sinceres remerciements

a

Mlle Lamri Houria la secretaire du laboratoire de physique theorique pour les services et l 'enthousiasme et le soutien moral.

Je dedie ce modeste travail et ma profonde gratitude

a

ma chere f amille pour taus leur amour, leur tendresse, leur soutien et leur prieres tout au long de mes etudes, et pour l 'education qu 'elle m 'a prodigue, avec taus les moyens et aux prix de toutes les sacrifices, qu 'elle consentit

a

man egard, pour le sens du devoir qu'elle man enseigne depuis man enfance.

Enfin n'ou bliee pas d'exprimer mes sinceres remerciements

a

taus ceux qui ant porte leur m:de, de pres ou de loin, soit par leurs encouragements ou par leurs docum entations.

(4)

Table des matieres

1 Introduction generale

2 Geometrie differentielle d 'une surface bidimensionnelle plongee clans un es-pace

a

trois dimensions

2.1 Introduction . . . . . 2.2 Premiere forme quadratique 2.3 Deuxieme forme quadratique

2.4 Relations entre la premiere et la deuxieme forme quadratique . 2.4.1 Formule de Gauss et de Weingarten

2.5 Les differentes courbures sur une surface 2.5.1 Formule de Meusnier . . . . .. .

2.5.2 Courbure de Gauss et courbure moyenne 2.6 Application . . . . 5 7 7 7 10 12 12 14 14 14 17 3 Mecanique quantique d'une particule confinee sur une surface courbe 19

3.1 Introduction . . . 19

3.2 Particule liee

a

une surface 20

3.3 P articule liee

a

une courbe plane 27

4 Particule confinee sur une surface courbe en presence des champs

magne-tique et electrique 33

4.1 Introduction . . . 33

4.2 Equation de Schrodinger correspondante 33

5 Particule confinee sur une surface spirale 5.1 Introduction . . . .

37

(5)

TABLE DES ｍａｔｉｊｾｾｒｅｓ＠ 2

5.2 Solution exacte de l'equation de Schrodinger correspondante . . . 38

(6)

Chapitre

1 Introduction generale

En mecanique classique, le mouvement d'une particule dans un domaine (une surface ou une courbe) d'espace euclidien est un probleme bien connu. Ce mouvement est generalement traite de dew: approches differentes. La premiere, celle de Newton, on considere la particule qui se deplac;e librement dans l'espace, c'est-a-dire sans contraintes, mais soumise a des forces qui maintiennent, a tout instant, sa vitesse orientee le long d 'une direction bien determinee. La seconde approche, celle de Lagrange, la contrainte est introduite depuis le debut a travers les coordonnees generalisees, et apres les calculs se deroulent sans aucune necessite de mentionner l'espace dans lequel notre surface (ou la courbe) est supposee etre emergee. Cependant, ces dew: approches donnent les memes equations de mouvement , le choix entre l'une d 'entre elles etant , en general, une question de commodite.

En rnecanique quantique, cependant, la situation est beaucoup mains claire. Si nous choi-sissons d 'abord la premiere approche, nous devrons faire face a une situation nouvelle dans laquelle la force de contrainte ne peut etre consideree que comme un processus limite. En effet, pour contenir l'etalement transversal du paquet d'ondes, qui sera present meme dans le cas d'une particule se deplac;ant le long d 'une surface parfaitement plane [1], nous devons appliquer une force depression (ou de confinement) infinie en raison du principe d 'incertitude. D 'autre part , si nous choisissons la dew:ieme approche nous devons ignorer toutes proprietes de l'espace exterieur , et en plus on est oblige d 'introduire une procedure adequate de quantification [2].

En 1981 , da Costa [1] a reussi a montrer, en adoptant la premiere approche, et clarifier la situation. Le point principal de son analyse est le choix des forces spatiales qui simulent la contrainte mecanique dans une certaine limite appropriee. Pour miew: comprendre ce

(7)

raison-1. Introduction generale 6

nement, et pour fixer les idees, da Costa a considere une contrainte de surface. En mecanique classique, comme on le sait, les forces de contrainte ne peuvent etre determinees de maniere unique que si nous les supposons non dissipatives (sans frottement ) ; c'est-a-dire qu 'ils ont la direction de la normale dans tous les points de la surface. Comme en mecanique quantique nous ne pouvons pas predire la position de la particule avec une precision ponctuelle, il est done parfaitement naturel de considerer seulement des forces de contraintes orthogonales a la surface en tous les points de l'espace ou la particule peut etre trouvee. Cette idee , comme mentionne par da Costa, peut facilement etre mise en pratique en considerant un potentiel qui est constant a la surface mais augmente brusquement pour chaque petit deplacement dans la direction normale. La contrainte sera alors consideree conune la limite d 'un potentiel attractif infiniment fort ( une barriere) qui maintient la particule attachee de ｦ｡ｾｯｮ＠ permanente a cett e surface. P our que cette limite soit independante du type de potentiel attractif, il faut qu 'on arrive, comme on va le voir dans le chapitre 3, a eliminer la variable transversale apparaissant dans le potentiel de confinement de l'equation de Schrodinger de la partie surfacique.

Le but de ce memoire, est en premier lieu de detailler le calcul des papiers originaux [1, 3]. Puis, on va donner a la fin de ce memoire notre contribut ion qui concerne la solution exacte d'un exemple pratique du sujet evoque plus haut a savoir une particule confinee dans une nano-struct ure sous forme d 'une spirale d 'Archimede.

Ainsi, le reste de ce memoire est organise comme suit : dans le deuxieme chapitre, nous donnons un petit rappel sur geometrie differentielle d 'une surface bidimensionnelle plongee dans un espace a trois dimensions avec un exemple d 'application simple. Au troisieme chapitre, nous considerons le mouvement d'une particule rigidement liee a une surface bidimensionnelle d 'apres le point de vu de da Costa. Dans le quatrieme chapitre, on va considerer l'equation de Schrodinger pour une particule chargee confinee dans une surface courbe et en presence d 'un champ electromagnetique [4] en suivant la procedure de R. da Costa presentee dans le chapitre precedent. Dans le cinquieme chapitre, on montre que l'equation de Schrodinger de la partie surfacique (transversale) d 'une particule liee a une surface sous fonne d'une spirale d 'Archimede representant une confinement d 'un gaz d 'electron dans une nano-structure [5], admet une solution exacte en terme de fonction de Heun confiuente. On donne egalement le spectre d 'energie sous fonne d 'equation transcendante. On discute aussi un cas limite important. Nous terminons ce memoire par une conclusion generale.

(8)

C hapitre 2

G e ometrie differentielle d 'une surface

bidimensionnelle plongee dans un

e space

a

trois dimensions

2.1 Introduction

La geometrie differentielle deja sur la surface bidimensionnelle emergee dans un espace tridimensionnel , est riche en idees , admettant une vaste generalisation pour une surface multi-dimensionnelle [6, 7, 9, 8]. Nous considerons dans ce chapitre quelques notions fondamentales necessaires pour traiter les chapitres suivants , nous commenc;ons par la premiere forme qua-dratique qui introduit une metrique. Puis, la deuxieme forme quaqua-dratique qu 'on utilise pour calculer la courbure des lignes se trouvant sur la surface. Nous introduisons les formules de Gauss et de Weingarten qui decrivent la relation entre la premiere et la deuxieme forme. Nous terminons ce chapitre par une application simple sur une sphere bidimensionnelle.

2.2 Premiere forme quadratique

Dans l'espace 3-dimensionnel IR.3_,_{une surface 2-dimensionnelle (S) est determinee par t rois}

(9)

2.2 Premiere forme quadratique q1 et q2 parcourant un domaine U

c

IR2; { x = x ( q1 '

q2 )

y = y (q1 ,

q2 )

z

=

z

(q1,

q2 )

8 (2.1)

il est possible de remplacer les equations

(2.1 )

par une equation vectorielle (vecteur de position) de fac;on que :

r

=

(x

(q1 ,

q2 ),

y (q1 ,

q2 ), z (q1 , q2 ))

(2.2)

Formellement, il est possible qu'a deux points parametriques differents (q1 , q2 ) et

(</i,

<h)

il

corresponde un meme point de la surface (S). Mais, pour eviter les auto-intersections, on ne considere pas de telles sit uations. Pour garantit la biunivocite, on doit exiger de plus que

le

rang de la matrice de J acobi suivante

o(x ,y, z) _ (

%:i

---.,-- - ' -

ax

O

(ql , q2 )

Bq2 soit egale

a

2. Il en resulte que les deux vecteurs

.2JL. Bq1 .2JL. Bq2

az

)

Bq1

az

8q2

or

r1 = - et r2 = -o q1 8q2 (2.3)

(2.4)

en un point P de la surface ( S ) sont lineairement independants. Ces deux vecteurs sont disposes dans le plan tangent de la surface ( S) au point correspondant P .

Construisons maintenant un vecteur t angent

a

n 'importe quelle ligne (

L )

passant sur la surface ( S) par le point P ( voir figure). Cett e ligne peut et re donnee par les equations parame-t riques :

(10)

2.2 Premiere forme quadratique

ml

t

est un parametre scalaire.

. 4 · · - .. _- ｾ＠ _II

ｾ

ｩｮ＠

ＭＭＭｾ

ｰ＠

/,

/\:

s

local tangent plru.1e

/

I

-- ｾ＠

,.

J I

/

'

Vecteur tangent a une courbe sur une surface bidimensionnelle

Alors d'apres le theoreme de la derivee d'une ｦｯｮｾｴｩｯｮ＠ composee, on a:

d 2 2

ｾ＠

- "'"' or dqi .

dt -

ｾ＠

oqi

dt

=

f;

riqi (t)

9

(2.5)

L'egalite (2.5) peut etre interpretee comme developpement du vecteur dr/dt suivant les vecteurs de base ri i

= 1, 2

au point P. On peut done ecrire aussi la differentielle dr du vecteur

r

(t),

on a :

2 2

dr

=

L

r/Ji (t) dt ou bien dr =

L

ridqi (t)

(2.6)

i = i i=i

La longueur de la courbe (

L)

entre les points correspondants aux valeurs

t

=

a et

t

=

T est

donnee par l'integrale :

S =

1r

ＱｾＺＱ＠

dt

(2.7)

par consequent,

ds _dt

₌

ldrl

_dt _c'est-a-dire _ds

₌

_Jdrl

Ainsi, on sur la surface (S) :

(11)

2.3 Deuxieme forme quadratique 10

c'est-a-dire

2

ds2

=

2=

gijdqidqj (2.8)

i,j =l ,2

ou %

= (

r i , rj) · La forme quadratique dans le second membre de (2.8) est appelee premiere forme quadratique de la surface (S) notee aussi G(q , dq). Cette forme s'ecrit explicitement comme suit :

2

G (q, dq)

2=

gijdq;dqj i,j=l,2

Edqi

+

2Fdq1dq2

+

ｇ､ｱｾ＠

(2.9)

ou E, F et G sont les coefficients de la premiere forme dom1es par les expressions

E

=

gu

= ( r i, r 1),

F

= g12

= ( r1 , r2 ),

G

= g22

= ( r 2, r 2)

(2.10)

gij est la metrique de la premiere forme qui est un tenseur d 'ordre 2, symetrique. Si de plus

cette metrique est diagonale, la base {ri , i

=

1, 2} est orthogonale (i. e; F

=

0). L'inverse du

tenseur gij est le tenseur gik de fac;on qu 'on a :

OU

oJ

est le symbole de Kronecker.

ik gijg

=

5k

J (2.11)

Notons le tenseur 9ij par la matrice g ( ici le caractere gras du tenseur indique sa represen-tation matricielle). Le determinant de la metrique g est note 9 tels que :

g

= det

(g )

= det (

911 912 )

=

EG - F2

921 922

Les composantes de l'inverse de g sont donnees par l'expression

g -1 = ( 911 912 ) =

ｾ＠

( g22 921 922 g - 912

-921 ) 911

2.3 Deuxieme forme quadratique

(2 .1 2)

(2. 13)

Soit ( L) une courbe definie sur une surface ( S) passant par un certain point P. Dans ce

cas on peut introduire le vecteur unitaire normal n a la surface (S) au point P qui peut etre determine con1ille le produit vectoriel des vecteurs de base du plan tangent :

r1 x r 2

n= ,

lr

1

x

r2 1

(12)

2.3 Deuxieme forme quadratique 11

ou les r i , i

=

1, 2 sont donnes par (2.4). Notons ici que ces vecteurs de base r i ne sont pas necessairement des vecteurs unitaires.

On sait que , pour une courbe parametrisee avec

t,

nous avons la formule :

dr = t dt

avec test le vecteur unitaire tangent

a

la courbe (L ) au point P. Si ｾｾ［＠ =/= 0, alors

d2r

dt dt2 - di

=

K, V

(2.15)

ou v est le vecteur unitaire orthogonal

a

t et se trouvant clans le plan osculateur (plan contenant les vecteurs v et t ) et n, la courbure de la ligne (L ). Ainsi , d'apres (2.5) :

utilisons les abreviations

d

2_r dt2 d

(dr)

d

ｾ＠

8r

dqi dt dt

=

dt

L...t

8qi

dt

i=l

ｾ＠

8r

dqj dqi

ｾ＠

8r

d2qi L Bq ·Bq ·

di

di+

L

oq·

dt2 ' i =l i J i =l i

or

-0 ｾ＠

=

rij et -0

=

r i qiUqj qi

et multiplions scalairement par le vecteur unitaire n , nous obtenons :

(d

2

r )

ｾ＠

d% dqi

dt2 ' n =

£i'

(r ij, n )

dtdt

puisque (r i , n) = 0. On pose (r ij, n ) = bij, la forme

2

B (q, dq) =

L

bij dqidqj

i,j =l

(2.16)

(2.17)

s'appelle deuxieme form e quadratique de la surface (S) . Cette forme s'ecrit explicitement comme suit :

B (q, dq) = Ldqi

+

2A1dq1dq2

+

ｎ､ｱｾ＠ (2. 18)

ou bn

=

L , b12

=

b 21

=

Jvf et b22

=

N . Ainsi, d 'apres (2.9) et (2 .17), le produit scalaire (2. 16)

s'ecrit :

( d

2

r

n)

= B

(q,

dq).

(13)

2.4 Relations e ntre la premiere et la deuxieme forme quadratique 12

Le tenseur bij est un tenseur d 'ordre 2, symetrique, on le note par la matrice b ( de meme

ici le caractere gras du tenseur indique sa representation matricielle). Le determinant de la metrique b est note b tels que :

b

=

det (b )

=

det ( bu b21 b12 ) = LN _ Jvf2 b22 (2.20)

2.4 Relations entre la premiere et la deuxieme forme

quadratique

2.4.1 Formule de Gauss et de Weingarten

Les formules airn:>i denommees decrivent la variation des vecteurs r i i

=

L 2 et n lorsque le

point P se deplace sur la surface (S), tout comme les formules de Frenet. Puisque ces vecteurs sont lineairement independants, on peut exprimer alors les derivees de ces vecteurs comme combinaisons de ces memes vecteurs avec des coefficients qui sont , comme on vale voir, fonctions des coefficients de la premiere et la deuxieme formes quadratiques comme. Autrement dit on peut ecrire les egalites suivantes :

ru = ｲｾｬ＠ r 1

+

ri1 r 2

+

f3u

n r12

=

ｦｾ

Ｒ

ｲ

Ｑ＠

+

fi_{2r 2}

+

,B_{12 n} r21 = n1r1

+

ｲｾＱｲＲ＠

+

/321ll r 22 = n 2r1

+

ｦｾ

Ｒ

ｲＲ＠

+

,B22 n n 1 =aur1

+

a 12 r 2

+

1_{1 n} n 2=a21r1

+

a22r2

+

/ 2ll

ou d 'une maniere condensee , on ecrit ces 6 equations simplement en 2 equations en adoptant la convention d 'Einstein : r ij n i r7j r k

+

;3ij n , k ai r k +/in , i,j,k=l , 2 i, k =l , 2 (4 eqautions) (2 eqautions) (2.21) (2. 22) ou les coefficients r 7j, ;3i)'

a7

et /i sont

a

determiner. En effet, en multipliant scalairement

l'equation (2.22) par n , on obtient directement

(14)

2.4 Relations entre la premiere et la deuxieme forme quadratique

En multiplions par n les equations (2.21), on obtient :

/3ij

=

( r ij , n )

=

bij

Puis , en derivant le produit scalaire nul (n , r i) par rapport au qj, on obtient :

(n , r ij)

+

(n j, r i)

= 0

mais (r ij: n ) = bij il vient

(r · t> n ·) --b·· J - tJ

Maintenant multiplions l' equation (2.22) r j, on obtient

(rj, ni)

=a7

(r k, r j) il s 'en suit

,..,kg - b··

'-" i kj - - Jt> i, j , k=12 ,

qui s'ecrivent sous forme matricielle comme :

ou bien c'est-dire ou explicitement 1 0!1 1 0!2 (

｡ｾ＠｡ｾ＠

_0!2 _0!2) ( 911 ₉₂₁ 912 ) ₉₂₂ ( b11 b12 ) b21 b22 ag=-b a= - bg-1 1 - (b12912 - b11922) 9 1 - (b22912 - b21922) 9 2 1 ) a1

= -

( b11921 - b12911 9 2 1 ) 0!2

= -

(b21921 - b22g11 9

ces formules sont appelees form ules de Weingarten.

13 (2.23) (2.24) (2.25 ) (2 .26) (2 .27) (2. 28)

En fin , on peut aussi determiner , voir par exemple [6], les coefficients (les connexions)

rt

comme suit :

ｾ］ｾｳＨｾＫｾｳＭｾ

Ｉ＠

(15)

2.5 Les differentes courbures sur une surface 14

Ainsi, les coefficients

r7j

s'expriment seulement par les coefficients de la premiere forme quadratique et leurs derivees . C'est un fait bien important qui montre que les coefficients

r7j,

contrairement a /3 ij et

a7

appartiennent

a

la geometrie intrinseque de la surface. Ces coefficients sont appelee symboles de Christoffel. Les equations (2.21 ) avec les coefficients f fj et /3ij donnes par (2 .23) et (2 .29) sont appelees formules de Gauss.

2.5 Les differentes courbures sur une surface

2.5.1 Formule de Meusnier

Soit

(L)

une courbe definie sur une surface (S) passant par uncertain point

P.

On sait que, pour une courbe parametrisee avec

t ,

nous avons la formule :

dr

=

t

dt

avec t est le vecteur unitaire tangent a la courbe

(L )

au point

P.

Si ｾｾ［＠

=I-

0, alors d2_r _dt

dt2 - dt

=

K l/

ou v est le vecteur unitaire orthogonal at . On peut developper le vecteur ｾｾ［＠ d2_r

dt2 = Kn ll

+

KgS

(2.30)

(2.31 )

ou Kn et Kg sont les courbures normale et geodesique respectivement et s est un vecteur unitaire

orthogonal a n. Ainsi, on a obtient d 'apres (2.19) la formule de Meusnier:

( d 2 r ) ds2' n c'est-a-dire : (Kn ll

+

Kg S , n ) B (q, dq) Kn = G (q, dq )

2.5.2 Courbure de Gauss et courbure moyenne

(2.32)

Reecrivons maintenant la courbure normale (2.32) comme fonction de la variable .A

=

dq2f rlq₁ de la fac,;on suivante

L + 2M.A+N.A2

Kn

=

(16)

2.5 Les differentes courbures sur une surface

On veut chercher les extremums de Kn , pour ce but on considere la derivee dKn

d>.

= 0 d 'ou on deduit 15

(2.34)

(E

+

2F>.

+ G>.

2)

(N >.

+ M) - (L +

2Af>.

+

N>.

2)

(G>.

+

F )

=

0 (2.35)

Cela veut dire que :

Notons qu 'on peut ecrire les egalites

E

+

2F>.

+

G>.

2

L

+

2M>.

+

N>.

2

M+N>.

K,n

=

F

+

G>.

(E

+

F>. )

+

(F

+

G>. ) >.

(L+ M>.)+(M+N>.)>.

A l'aide de ces deux dernieres relations l'equation

(2.35)

s'ecrit ainsi comme :

(2.36)

[(E +

F>.)

+

(F

+

G>.) >.] (N>.

+

M) -

[(L +

M>.)

+

(M

+

N>.) >.] (G>.

+

F )

=

0 (2.37)

qui peut se simplifier conune suit :

(E+F>. )(N>.+M)

=

(L+ M>.)( G>.+F )

(2.38)

Done la courbure normale donnee par

(2.36)

s'ecrit aussi d 'apres

(2.38)

de la fac;on suivante :

M+N>.

L+M>.

K,

-

-n -

F + G>.

- E+F>.

Ainsi , on peut former le systeme suivant

(FKn

- .A1) A+ (EKn - L )

=

0

(GKn

- N) >.

+

(FKn

-

M)

=

0 ma1s

>.

=

dq2f dq1 c'est-a-dire on a :

(EKn

- L )

dq1

+

(FKn

- .Af)

dq2 = 0

(FKn

-

M) dq1

+

(GKn

- N)

dq2 = 0

pour avoir une solution non nulle, il faut que le determinant soit nul , alors :

L-Ei-;,n J.1 _ Fkn .

=

o

M-FKn N-Gkn

(17)

2.5 Les differentes courbures sur une surface 16

d'ou on tire l'equation de deuxieme ordre suivante

2

EN+ LG

-

2M

F

LN

-

Jvf2

K,n -

EG

-

p2 K,n

+

EG

-

p2

=

0 (2.40) notons que

EG

-

F2 ₌ _g _{et b}₌

_LN

_-

_{_M}2 _._{On peut ecrire la derniere equation sous forme}

simplifiee cornrne suit :

K,;i - 2H K,n

+

K,

=

0 (2.41 ) ou b K, = -g

EN+ LG

-

2M

F

gnb22

+

bn922 - 2b12912 cl

H=

ｾ＠

=

ｾ＠

(2.42)

K, est la courbure de Gauss (totale) et H la courbure moyenne. Ces deux quantites peuvent s'ecrire aussi en tenant compte des relations (2.27) et (2.28) cornrne suit :

C'est-a-dire et aussi on a : 1 1 1 (

1 2)

H

=

-2 g (b12912 - bng22) - -2 g (b21921 - b22911) = - -2 a 1

+

a 2 1 H =--Tr (a ) 2 det (b)

K,

=

(

\ =

det

(b )

det

(g-

1)

=

det

(bg-

1)

det g

et d'apres (2. 26) on obtient :

K, = det (-a) = (-1 )2 det (a ) = det (a )

(2.43 )

(2.44) Revenons maintenant aux extremums de K,n qui peuvent etre donnes en resolvant l'equation algebrique (2.41 )' 011 aboutit a :

(/'i,n)max

(/'i,n)min

H

+

v H2 - K, H - J H2 - K, (2.45) (2.46)

Notons ainsi que la courbure de Gauss et la courbure moyenne peuvent etre exprimees en fonction de

(/'i,n )max

et

(/'i,n)min :

K,

= (

K,n) max (

/'i,n)min

1

et H

=

2 [(/'i,n) max

+

(/'i,n)minJ

(2.47) Ainsi, la courbure moyenne H est la moyenne des courbures minimale et maximale, c'est un nombre reel, dont le signe depend du choix fait pour orienter la surface (S).

(18)

2.6 Application 18

Ainsi , on arrive

a :

L = bee = To ' Af = be'P = 0 et N = b'P'P = To sin2

e

(2.56) apres quoi la deuxieme forme quadratique, s'exprime :

B

= bee d82

+

2b8'P d8drp

+

b'P'Pdrp2 Alors la deuxieme forme pour cette sphere est :

B = To dB2 + To sin2 Bdrp2 (2.5 7)

et la matrice associee

a

B est done b=

｣ｾ＠

r0

s:'e

)

La courbure normale

"'n

est d 'apres (2.32) :

B To d82 +To sin2 8drp2 ₁

K, - - -

-n - G - T6 d82

+

T6 sin2 Bdrp2 - To (2.58)

La courbure de Gauss "' est d 'apres (2.42) :

b det (b) T6 sin2

e

1

K, = - = = =

-g det (g ) T5 sin2

e

T6 (2.59)

et la courbure moyenne H est :

H = EN+ LG - 2M F = ｾ＠ T5 sin2

e

+

T5 sin2

e

= ｾ＠

2g 2 T6sin2₈

(19)

Chapitre 3

Mecanique quantique d'une particule

confinee sur une surface courbe

3.1 Introduction

Dans le present chapitre, nous allons discuter le mouvement d'une particule rigidement liee

a

une surface, en considerant l'equation de Schrodinger d'une particule corrfinee

a

se deplacer clans une couche irrfiniment mince de l'espace tridimensionnel ordinaire, par l'action d'un po-tentiel externe qu'on l'appel aussi popo-tentiel depression (de confinement). Ainsi, pour que cette particule reste clans un voisinage irrfiniment proche de la surface, il faut que le potentiel exerce soit nul ( ou constant) le long du surface, mais, pour chaque petite deplacement de la particule vers la direction normale, ce potentiel augmente fortement et tend vers l'infini.

En 1981 da Costa [l] a reussi, en adoptant quelques precautions simples clans la definition des potentiels et des fonctions d'onde, de montrer que la fonction d'onde se scinde en deux parties : la partie normale

a

la surface, qui contient les energies infinies requises par le principe d'incertitude, et une partie tangentielle qui contient un terme purement quantique qui s'ecrit en fonctions de la courbure moyenne et la courbure de Gauss. Ainsi, nous exposons ici cette met hode de corrfinement de particules sur une surface et sur une courbe plane [3], en derivant !'equation de Schrodinger correspondante.

(20)

3.2 Particule liee

a

une surface 20

Q

ｾ＠

-.;·-4..

/ tHc

.

R .( q

1

ｾｱＺｳＩ＠

--;rp-q

1 ..

'

,.

'

,' f ｾ＠ '

.

0

FIG. 3.1 - L'espace voisinage de la surface

(S)

3.2 Particule liee

a

une surface

Considerons une particule de masse m liee

a

une surface (S) bidimensionnelle d'equations parametriques r

=

r ( q1 , q2 ) . Le voisinage tres proche de cette surface est pararnetrisee par le

vecteur :

R (q1, q2, q3) = r (q1 , q2)

+

q3n (q1, q2) (3.1) ou n est un vecteur normal

a

la surface ( S) en un point donne. La coordonnee q3 indique la distance entre ce point de la surface et un point

Q

de coordonnees ( q1 , q2 , q3 ). Comme evoque dans l'introduction, on va considerer maintenant le potentiel de pression (de confinement) qui est modelise en general par la forme suivante :

lim

Vi.

(q3)

= {

.A->oo

0 si q3 = 0 oo si q3-=!= 0

(3.2)

ou .A est un pararnetre, dit de pression, introduit pour assurer la fonne indiquee ci-dessus. Par exemple, on peut penser

a

un potentiel de confinement harmonique

Vi.

(q

3 )

=

ｾｭＮａＲｱｾ＠ ou

.A ----+ oo.

Nous cornrnern;ons par rappeler l'equation (2. 22) :

on

k .

n i

=

-;:;;- = ai rk , i, k = 1, 2

uqi (3.3)

ou les coefficients _｡ｾ＠ sont donnes explicitement dans le chapitre precedent par les formule de Weingarten (2.27) et (2.28).

(21)

3.2 Particule liee

a

une surface

Derivons l'equation (3.1 ) par rapport

a

qi

tenir compte (3.3), il vient :

o R o r o n

- = - +q3 - ,

oqi oqi oqi ·

o R oqi o R oq3 ( 67

+

q3an r k,

=

n 21 i

=

1, 2 (3.4) i

=

1, 2

(l'indice repete indique une sommation). Dans un voisinage tri-dimensionnelle de (S ), la com-posante covariante du tenseur metrique est :

Gij

=

Gji = (o R _oqi_{' oqj}

BR)

_, 7_.,_j

₌

_{1, 2, 3} Montrons main tenant pour i , j

=

1, 2 on a :

En effet,

Gij

=

9ij

+ [ ag+ ( agf Lj

q3

+ ( a:ga:T)

ij q;

OR OR

Ｈｾｫ＠

k)

Ｈｾｳ＠

s)

ｾＭｾ＠

=

v i

+

q3ai r k. v j

+

q3aj r5 uqi uqj (67

+

q3a7) (6j

+

q3aj) r k. r s ｾｫｾｳ＠ , ｛ｾｫ＠ s

+

ｫｾｳ＠

J

+

k s (

)2

ui v j r k. r s-r uiaj r k. r s ai u j r k.rs q3 aiaj r k.rs q3 [ s k ] k s (

)2

r i. r j

+

aj ri. r s

+

ai r k. r j q3

+

ai a 1r k. rs q3 [ s k ] k s (

)2

9ij

+

O!j9is

+

ai 9kj q3

+

ai 9ksaj q3 9ij

+ [(a:gf + a:gL

1 q3

+ (a:ga:r)ij

(q3)

2

et de plus pour i,j

=

3 on a:

G i3 = G3i =

ＨｾＺ

ＬｾＺＩ＠

= ((67+q3a7)rkin) =0 ,

G 33 =

ＨｾＺＬ＠ｾＺＩ＠

= 1 la matrice G s'ecrit done :

(

G11

G=

G;1

G12

G22

0

n

i = 1, 2 (3.5) (3 .6)

(3.7)

(22)

3.2 Particule liee

a

une surface Done on a :

det (G ) = det

(Gij)

avee i,j = 1, 2 Ainsi ,

det (G ) = det ( g + [ag+ (agf]

q3

+ (agaT)

qj)

rapjpelons aussi d'apres (2.26) qu 'on a :

done det (G ) b - 1 a = - g det ( g + [-bg-1g + (- bg-1g)T]

q3

+ (- bg-1g (- bg-1{ )

qj)

det (g + [-b - (b f ]

q3

+ ( -b (-bg-1)T)

qj)

22

(3.8)

(3.9)

det ( g - 2bq3 + b (g-1) T (b f

qj)

,

puisque b est g sont symetriques det (g - 2bq3 + bg-1bqj )

on peut simplifier de plus la derniere relation en eerivons : det (G )

e'est-a-dire

det [ (gg-1 - 2bg-1q₃+ bg-1bg-1qj) g]

det [(I+ 2aq3 + a 2

qj) g] det (I + 2aq3 + a2

qj)

det (g)

det (G ) = g det (I + aq_{3 )}2 si on note det (G)

=

G on a done

VG

=

Jg

det (I +

aq3 )

rest e a calculer l' expression det(I +

aq3)

c'est-a-dire on a finalement la relation

(1

+

｡ｾｱＳＩ＠

(1

+ afo3) -

｡ｩ｡ｾｱｪ＠ 1 ₊( 1 2) ( 1 2 2 1) 2 a1 + a2

q3

+ a1 a2 - a1 a2

q3

1 +

Tr

(a ) q3 + det (a) qj

VG=

Jg

[1

+Tr

(a ) q3 + det (a ) ｱｾ｝＠ (3 .10)

(3. 11)

(23)

a

une surface 23

Tournons notre attention maintenant

a

l'equation de Schrodinger pour la particule de masse

m liee

a

la surface courbe (5 ) au moyen du potentiel depression

Vi

(q

3 ) donne ci-dessus :

n?

-2m V2'1/J

+Vi

(q3 )

'If; =

ｩｮｯﾷｾＧ＠

ot

avec \72 est l'operateur tri-dimensionnel de Laplace-Beltrami donne par (voir Annexe) :

V2?/.1

=

.Jcoi

[ v0Gi18

₁

'lf;]

avec l'abreviation

oi

=

o/ oqi·

Ainsi, on a l'equation:

n,2

1

-2m

.JGoi

[ v0Gi101'1/J]

+

Vi

(

q3) i,b

=

inBtV'

(3.12)

(3.13)

(3.14)

ou la metrique G introduite dans l'equation de Schrodinger est donnee par (3.7) et bien sfu l'indice repete indique une sommation. Du fait de la struct ure de cette metrique, on peut separer le Laplacien en deux parties, une partie surfacique no tee '.D ( q1 , q2 , q3 ) donnee par i, j

=

1, 2 et une partie normale definie par i

=

j

= 3. En effet ,

17,2 1 . .

n,2

( . ')

n,2

..

- - - (o·G) Gi

3

_{o ·'lf;}

_{- -}

_{8 Gi}

3

_{o w}

_{- - Gi}

3

_o

_·'If; 2m 2G i 3 2m i 3 · 2m

Ji

n

2 1 33

n

2 ( 33)

n

2 33

-2m 2G

(03G) G 03'1/J

-

2m

03

G

03'1/J

-

2m

G 033'1/J

+Vi

(q3)

'If;

inot'l/J

i , j = 1, 2. Mais G33 ₌ _{1, l'equation precedente se reduit}

_a:

n,2 {

1 . . ( . ') . . }

- -

-

(o ·G) GtJo w

- 0 GtJ 0

°1• -

GtJo

01•

2m 2G i 3 • i J '{/ Ji '{/

n,2

1

n,2

-2m 2G

(03G) 03'1/J

-

2m

033'1/J

+Vi,

(q3)

'If;

inot'l/J

(3.15)

Ainsi, on obtient :

n,2

[(03G) ] .

-2m '.D (q1, q2,

q3) 'l/J

-

2m

2Go3'lf;

+

033'1/J

+Vi

(q3)

'If; = 1.r-iJ)(lf,• (3.16) avec

'.D (

ql ,

q2,

q3)

=

Ｒｾ＠

(

oiG) Gij Oj

- oi ( Gij) Oj - Gij Oji

(3.17) Comme on espere d 'obtenir une fonction d 'onde surfacique qui depend seulement des coor-donnees q1 et q2 , on est naturellement amene

a

introduire une nouvelle fonction d 'onde

x

pour

(24)

3 .2 Particule liee

a

u ne surface 24

laquelle, dans la separat ion

x

_{(q1, q2, q}3 )

=

Xt (q1, q2) Xn (q3 ) nous pouvons definir la densite de

probabilite surfacique :

P

=

lxtl

2

j

lxnl

2 dq3 La transformation adequate est :

x

(

q1 ) q2 ) q3) =

J

f (

ql ) q2 ) q3 )

ｾ＠

( q1 ) q2 ) q3 ) (3.18) puisque l'element de volume associe est donne par :

dV

=

VGdq1dq2dq3

=

f (

q1 , q2 , q3 ) dSdq3

avec : dS

=

vgdq1dq2 et du fait :

JG=

,Jg

[1 + T r (a ) q3

+

det (a ) ｱｾｊ＠ (3. 20) ainsi la fonction

f (

q1 , q2 , q3 ) est

J

= 1

+

Tr (a ) q3

+

det (a ) ｱｾ＠ (3.21 )

int roduisons la transformation (3.18) dans (3.16), nous obtenons :

n,2 n,2 [ (8 G) ]

- ₂m TJ

(xi

VJ) -

₂m ₂

3 c

83 (xi

VJ)

+

0 33

(xi

VJ)

+Vi

(q3)

(xi

VJ)=

i li8t

(xi

VJ)

(3.22) multiplions par

VJ

les deux membres , il vient

n,2 n,2 [ (

8 G)

.

]

- ₂m

VJ:n

(xi

VJ) -

₂m

VJ

₂

3

G

83 (xi

VJ)

+

VJ833

(xi

VJ)

+Vi

(q3)

X = ih8tX (3 .23) notons que : 03

(xi

VJ)

833 (xi

VJ)

83 (x )

x83 (J )

=

VJ

-

Ｒｦｾ＠

( 03X)

1 ( X )

= 83 VJ - 283

j3/2 03 (J)

(833X)

(83x)

3 X 2 1 X

= VJ -

j3/2

(831)

+

4

j 5/ 2

[83

(J)] -

2

j3/ 2

833

(J) (3. 24)

(25)

a

une surface 25 et d'aperes (3.10) et (3.21) on a: G

=

gf2 et 83G

=

2g (831) f (3.25) il vient

_!f_/jfJ

(xi /!)

-

!f_ { (

331) 83

(x)

- [

33

(Z)J

2

x

2m 2m

f

2j

( 83x) 3

x

2 1

x

}

.

+

(833X)

-1

-

(83!)

+

4 f2

[83

(!)] -

27

833 (J)

+Vi.

(q3)

x

=

irwtx

(3.26) c'est-a-dire

- -/ffJ

Jt2

(xi/J)

- -

Jt2 { (833X)

+ - -

1 (8 1)2 3

- x

2m 2m 4

f2

1

x

}

.

- 27

833 (J)

+Vi.

(q3 )

x

=

irwtx

(3.27) qui s'ecrit aussi comme

17,2 17,2{ 1 } -2m

/jfJ

(xi /J)

-

2m 833X

+

4]2 [(83 f ) 2 - 2f833

(!)]

X

+Vi.

(q3 ) X

=

i11BtX (3.28) on est maintenant pret pour tenir compte de l'effet du potentiel depression

Vi.

(q

_{3). A la limite}

A

-+ oo la fonction d'onde voit deux barrieres de potentiel sur les deux cotes de la surface.

Comme on ne s'interesse qu'a la surface, on peut prendre la limite q3 -+ 0 c'est-a-dire

f

-+ 1

et par suite, on a :

lim 83j =Tr (o ) et _{lim 833}(J) = 2det (o )

q3->0 q3 -> 0 de plus on a : lim G

=

g q3->0 et on a d 'apres (3.6) 1. G -im

ij

- gij

et 1. im

Gij

-

g

ij

q3->0 q3->0 Done la partie surfacique (3.17) se reduit a :

f)

Ｒ

ｾ＠

_{(8ig) l j8j}

_{- 8i}

(lj)

_8j

_{- lj8ji}

1 ( .. )

(26)

a

une surface 26

Par consequent !'equation (3.28) a la forme :

n2 1 . . n2 2 n2

- -?

1nai(V§g

2J8jx)

-8

{ [Tr (a )] -4det (a )}x--833X+Vi(q3)x = i!t8tx (3.30)

ｾｭｹｧ＠ m 2m

avec i, j = 1, 2. Cette derniere equation peut maintenant facilement separee en partie normale et tangentielle :

X = Xt (q1, q2,

t)

Xn

(q3 ,

t )

pour laquelle on a les deux equations

n2 a2xn - 2m 8q2

+Vi

(q3 )

Xn ｾＲ＠ 3 _ _ n _1

j__

(

ij aXt)

n2 2 2mvgfJqi Jgg fJqj - Sm { [Tr (a )] - 4det (a )}Xt fJxn

in

fJt fJ'K.t

in at

(eq. normale)(3.31 ) ( eq. tangentiel)8}12 ) !'expression (3.31) est juste !'equation de Schrodinger pour une particule confinee par le potentiel transversal V>. ( q3 ). L'equation (3.32) est la plus interessante en raison de la presence du potentiel

de surface qu' on note par :

n,2

Vs(q1 , q2 )

= - Sm { [Tr (a )]2- 4det (a )} (3.33) notons en premier lieu que ce terme peut s'ecrire, en ut ilisant les relations (2.43) et (2.44) , de la fac;on suivante : n2

Vs

(q1 , q2 ) = -2m (H 2 - "') (3.34)

ou H et K sont respectivement la courbure moyenne et la courbure de Gauss. Il est important de

noter aussi que ce potentiel depend de la geometrie du probleme, plus exactement de la courbure intrinseque et extrinseque de la surface. En effet , ce terme n 'est pas le meme pour deux surface isometriques. Comme a ete expliquer dans la reference source [1] ceci est en desaccord avec le resultat de la mecanique classique ou le Lagrangien d'une particule libre sur une surface £ (q1, q2,

q

1,

iJ.2)

= (1/ 2)

m (ds/ dt )

2 = (1/ 2)

m

I :ij

9ij qiqi

depend uniquement de la metrique.

C'est un peut etrange ! Cependant , ce resultat n 'est pas inattendu, car , independamment de la petitesse supposee de q3 , l'onde se propage toujours dans une portion tridimensionnelle de

l'espace, de sorte que la particule est 11 _{au courant}11 _{des proprietes externes de la surface}_{(S ).}

Pour bien comprendre les proprietes de

Vs

_{(q1, q2), considerons l'exemple, d 'une surface en} forme de "couverture d'un livre" obtenue en pliant un plan autour de la surface laterale d 'un cylindre de rayon a (voir figure ). Selectionner comme parametres l'arc s et la coordonnee car-tesienne z perpendiculaire au plan de la figure .

(27)

a

une courbe plane

c

__,..,...,.---ｾｾ＠ S>O

.

_', '.

_{.... ...}

.

9)\

"

'. ｾＮ＠

__

{

.

A \ .. ,---:- Cl ' •

--i

e ...

.J

.

' , '

.

' '

FIG. 3.2 - Particule confinee sur une surface cylindrique

L'equation de Schrodinger pour la partie laterale s'ecrit :

7i2 (a2x

a2x

)

7i2

ax

- - _ t

+

_ t - - ( H2 - K,) X = in - t

2m

as

2

az

2 _2m _t

at

Puisque la courbure moyenne H et la courbure de Gauss K, pour le cylindre sont : 1

H

= - -

K,

= 0.

2a' '

on retrouve bien !'equation suivante :

t t . t

n2

(a2x

a2x

)

n2

ax

- 2m 8s2

+

8z2 - 8ma2 Xt

=

in at

27 (3.35) (3.36) (3.37)

si on considere la solution de (3.37) independamment de z, on obtient une equation de Schrb-dill!ger unidimensionnelle pour une particule dans un puits carre de la forme

s S)

=

- -

8ma2 Sl

v. (

{

Vo - li2 0 Sl

Isl (

ae

Isl ;

ae

3.3 Particule liee

a

une courbe plane

(3 .38)

Dans cette section, on va discuter en detaille le mouvement d 'une particule de masse m. confinee le long d'une courbe plane ( C) du point de vue de la mecanique quantique [3]. Cette particule est soumise

a

un potentiel de confinement (de pression) qui limite le mouvement au voisinage tres proche de la courbe (C). Pour commencer, on considere !'equation parametrique de ( C) donnee par le vecteur de position :

(28)

a

une courbe plane i" ｾ＠ (! R'fs.1.: i

/

I / .I I

,.

.I ; ; ( I

FIG. 3.3 - L'espace voisinage d 'une courbe plane (C)

28

ou exet ey sont des vecteurs unitaire le long des axes cart esien et s est la longueur de l'arc (C). bans le but de decrire l 'es pace voisinage ( N ) de ( C ), on va introd uire un systeme de

coor-donnees curvilignes (

s, u)

defini comme suit :

R (s,

u)

=

r (s )

+

un (s)

(3.40) ou R est le vecteur position d'un point arbitraire de

(N).

Alors que n est un vecteur unitaire nortnale de ( C) et la distance u est supposee tres inferieure au rayon de la courbure de ( C) ( voir figure).

Soit le vecteur unitaire t tangent en un point

a

la courbe ( C) oriente dans le sens positif et

n, est la courbure. Il est commode d 'utiliser le repere de Frenet, ce referentiel est locale, mobile

et de base orthonormee (n , t , b) ou:

• n est le vecteur unitaire porte par la normale

a

la courbe et oriente vers l'interieur de la coutbure.

• b est appele la binormale de la courbe et forcement perpendiculaire

a

t et

a

n.

Prenons comme parametre l'arc s. Ainsi, on a:

or

as

=t(s) (3.41)

ou l'ecriture

t(s)

indique que test une fonction des. Puisque t2

_{= 1, nous obtenons done par}

derivation :

( )

dt(s)

=

0

ts

. ds

et comme t(s).n(s)

= 0, on a par derivation:

dt(s)

.n(s)

+

t(s) .

dn(s)

=

₀

ds

(3.42)

(29)

3.3 Particule liee

a

une courbe plane

D'autre part, nous avons par definition :

l'egalite (3.43) devient : c'est-a-dire dt(s)

=

K(s) n (s)

ds

K(s) n (s). n (s)

+

t (s). dn (s)

=

o

ds

dn(s)

K(s)

+

ｴＨｳＩＮｾ＠ =

0

En multipliant scalairement par

t (s),

il vient :

dn (s)

=

-K(s)t (s) ds

Compte tenu des equations (3.40) , (3.41 ) et (3.47), on a :

oR(s , u) oR(s; u)

OS

.

OU

(

dr (s)

dn (s) )

( )

ｾＫｵｾ＠

.n s

[1 -

K.(s)it] t (s). n (s)

=

0 29 (3.44) (3.45) (3.46) (3.47) (3.48)

Maintenant, on considere l'equation de Schrodinger pour la particule 11_confinee11 _{a la courbe}

par un potentiel de pression V (

u, s)

:

ft2

-2m 'V

2

'l/J

+

V

(u, s)

'l/J

=

E'l/J

(3.49) Rappelons !'expression du Laplacien en coordonnees curvilignes donnee par :

2 ₁

o (

hu

o )

1

o (

hs

a )

'V

=

hshu

OS

hs

OS

+

hshu

OU

hu

au

(3 .50)

OU

h s

=

oR/os

' h u

=

oR/ou

et h s

=

lhsl

' hu

=

lhul.

Done

I (

dr

( s)

dn ( s) )

I

hs =

JoR/ os l

=

ｾ＠

+

ｵｾ＠

= l[ l - K(s)u] t (s)I =

1 - Ku

hu

= JoR / oul =In (s)I =

1

ou on suppose 1 -

KU

>

0 puisque u

< < .

Ainsi,

v2

=

1

o

(

1

o)

1

a

(

a)

(1 - KU) OS

+

(1 - KU)

au

(l - KU) OU

-

+ -

ln 1 -

KU

-1

o (

1

o )

0

2 (

o

) a

(30)

3.3 Particule liee

a

une courbe plane 30

Ce qui nous permet d'ecrire l'equation de Schrodinger (3.49) en coordonnees curvilignes sous la forme :

- -

n

-

+ -

+

- ln l - 1w -2 { 1

a

(

1

EJ'lfJ)

EJ 2 '1/J (

a

)

EJ'l/J }

2m (1 - K,U)

as

(1 - K,U)

as

au

2

au

(

) au

+V(u , s) 1f; = E 'ljJ

(3.52)

La question maintenant est comment choisir le potentiel V (

u, s)

? la situation ici est beau-coup plus compliquee qu'en mecanique classique, car en plus de maintenir le mouvement de la particule le long de la courbe (C), les forces de contraintes doivent egalement empecher l'etalement transversal de la fonction d'onde. La premiere etape pour trouver la bonne reponse est de se rappeler qu'en mecanique classique, la reaction doit etre dirigee selon les normales de ( C), sinon sa composante tangentielle perturbera le mouvement confine, rendant le resultat dependant du type particulier des forces employees dans le processus de confinement. Puisque en mecanique quantique nous ne pouvons plus predire la position de la particule avec une preci-sion ponctuelle, il est naturel de generaliser cette idee en considerant uniquement des forces de contraintes orthogonales a la courbe ( C) en tous points du plan ou la particule peut se trouver. P our satisfaire a cette exigence, nous considerons des potentiels qui ont des valeurs constantes sur ( C) mais augmentent tres rapidement pour chaque petit deplacement selon les normales de ( C) . Il est facile de voir que ce resultat peut etre obtenu en choisissant le potentiel V (u) c'est-a-dire independant de s. On peut imaginer ainsi le processus de confinement conm1e une famille de potent iels Vi, ( u) , ou ,.\ est un parametre de pression , definie d' une semblable a celle donnee dans la section precedente.

lim Vi, ( u) = { constante

.A-+oo

00

si u

= 0

si u

#

0

(3.53)

un choix possible, par exemple, est le confinement harmonique Vi,(u) =

(1/ 2)

m>.2u2 .

Avant d 'aller plus loin, nous devons se rappeler que

'ljJ

est une fonction d 'onde definie dans un voisinage plan de (C), de sorte que la probabilite

dP

de trouver la part icule dans l'element de surface

dA

dP

=

l'l/J(s, u)l

2

dA

ou l'element de surface associe est donne en coordonnees curvilignes par :

(31)

a

une courbe plane 31

c'est-a-dire

dA

=

(1 - K,U) ds du (3.54)

Cependant, nous ne sommes pas vraiment interesses par 'lf;( s, u), mais d'obtenir une fonction

d'onde unidimensionnelle <p(s), telle que la probabilite de trouver la particule dans l'intervalle

[s, s

+

ds] (pour toutes les valeurs de u) serait donnee par

lc,o(s)l

2 ds. Mais , selon (3.54), !'element

de surface dA qui contient l'element arc [s , s

+

ds] n'est pas le meme pour toutes les valeurs

de

s.

Ainsi, afin de prendre en compte cet effet, nous sommes amenes a introduire la nouvelle fonction d 'on de

l

'lf;( s, u)

=

(1 - K,U)-2 x (s, u) (3.55) Remplac;ons (3.55) dans (3.52) et V ( u, s) par Vi. ( u) , on obtient :

!i2 { 1

0 (

1

0 x

)

l

o

2

x

- -

-

+

(1 - K,U )2 - -

--2m (1- ＢＧｵＩｾ＠ os l - K,UOs (1 - ｋＬｕＩｾ＠ ou2 (1-ｋＬｕＩｾ＠

ＫＨｬＭｋＬｵＩｾ＠Ｈｾ＠

ln(l-K-u))

ｾ＠

X ₁

}+Vi. (u) x

uU uU

(l _ K,U) 2

Ex

calculons chaque terme explicitement. En effet,

! 02 x K, ox 02 x 3/),2

(1 - K,U) 2 _-

=

-

+ -

+

_X

ou2 _{(1 _}_{ｋＬｕＩｾ＠} _{(1 -} _{K,U) ou} _ou2 _{4 (1 -} _K-u)2

et

! ( EJ )

0 x

K,

ox

K,

2

(1 -

K,U) 2 -ln(l -

K,U) - 1 = - - ?X

OU OU (1 - K,U)2 (1 - K,U) OU 2 (1 - K,Ut

on aboutit done a l'equation :

r,,2 1

o (

1

a

x

)

n,2

0

2

x

ＲｭＨｬＭｋＬｵＩｾＸｳ＠ｬＭｋＬｕｏｓＨｬＭｋＬｵＩｾ＠ 2m8u2 n,2 K,2

- - 2X+Vi.(u)x

8m (1 - K,U) Ex (3.56)

A la limite n ｾ＠ 0, l'equation precedente se reduit a :

- n,2

o2x -

!!..__

o2x

n,2 2

2m os _{2m 01}L2 - 8m"' X +Vi. (u) X =Ex (3 .57) Cette equation peut etre separee en deux equations en decomposant la fonction d'onde en une partie tangentielle Xt (

s)

et une partie normale Xn (

u)

comme suit :

(32)

a

une courbe plane 32

En effet , on obtient le systeme d'equations ci-dessous :

n,2

a2xn

- ₂m Bu2

+Vi

(u) Xn = EnXn (3.59)

n,2

a2x

n,2

t 2

E

- - - K X

=

tX

2m

os

8m t t (3.60)

avec E

=

En

+

Et . On peut done tire les conclusions suivantes :

i) La probabilite de t rouver la particule dans l'element de surface dA donne par (3 .54) peut,

a

la limite >.. ---+ oo, s'ecrire

l'l/i(s, u)l2 dA

=

IXt (s)l2 IXn (u)l2 dsdu

si on suppose que Xt ( s) et Xn (

n)

sont normalisees, la probabilite de trouver la particule dans l'element arc ds est simplement donnee par :

( / 11/i(s, u)l2

[1 -

Ku] du ) ds

(/ lxn

(u)l2 du) IXt (s)l2 ds

lxt(s)l2ds en accord avec le resultat bien connu

a

une dimension.

ii ) Puisque le comportement (3. 53) est necessaire pour les potentiels

Vi

(u), l'energie En sera infinie

a

la limite >.. ---+ oo , Ce fait n 'affecte cependant pas l'equation tangentielle (3.60) qui est independante de

Vi

(

u).

iii ) L 'equation (3.60) differe de l'equation habituelle de la particule libre

a

une dimension en raison de la presence du potentiel tangentiel

n,2 vt(s)

=

- - K2

Sm (3.61)

Il est important de noter ici que ce potentiel n 'a pas d'analogue classique ( notons d 'ailleurs qu 'il depend de !i ). De plus, si nous essayons, par exemple, d 'obtenir l'equation de Schrodinger d 'une particule qui se deplace sur (C) par rapport au lagrangien classique £

=

(1/ 2) m (ds / dt)2 , il n'y a pas de moyen convaincante d 'introduire l'energie potentielle (3.61) puisque la courbure est une grandeur extrinseque qui peut etre calcule par rapport

a

un observateur dans le plan et non pas sur la courbe elle-meme.

Comme un exemple, soit une particule liee

a

un arc circulaire de rayon a definie par 0 ::;

e

::;

8

0 . Le potentiel tangentielle dans ce cas est un puits carre negatif qui a l'expression

V.(s)

= { h2 Vo= - 8ma2 0 si s

<

aeo Sl S ｾ＠ a8o

(33)

Chapitre

4 Particule confinee sur une surface

courbe en presence des champs

magnetique et electrique

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va considerer !'equation de Schrodinger pour une particule chargee confinee dans une surface courbe et en presence d'un champs electromagnetique [4]. En suivant la procedure de R. da Costa presentee dans le chapitre precedent , G. Ferraril and G. Cuoghi Ont reussi

a

introduire l'effet des champs electromagnetiques Sur la dynamique du probleme. Les resultats importants de cette etude est qu'il n'y a pas de couplage entre les champs et la courbure de la surface, et que, avec un bon choix de la jauge, la dynamique de la surface et celle de la partie transversale sont exactement separables.

4.2 Equation de Schrodinger correspondante

On commence par ecrire l'equation de Schrodinger qui decrit la dynamique d 'une particule chargee de masse

M

liee

a

une surface bidimensionnelle courbe

(S)

au moyen du potentiel de pression

Vi

(

q3)

:

Pi Pi

(34)

4 .2 E quat ion de Schrodinge r correspon d ante 34

ou Pi= !l\li avec \7i est la derivee covariante. On considere egalement le couplage minimal avec _j. le champ electromagnetique au moyen de la prescription

Pi --+Pi - qAi

(4.2)

ou q et la charge de la particule et Ai est le potentiel vecteur. En coordonnees curvilignes, l'introduction du champ electromagnetique dans l'equation (4.1 ) s'obtient en remplac;ant la derivee covariante \7 i par :

iq

\7 · --+ _t \7 · _t-

- A

_ri _t

cela revient a remplacer dans l'operateur de Laplace-Beltrami suivant

\72 = _{JGoi .,/GGij 81)}1 (

(4.3)

( 4.4)

la derivee ordinaire oi par Oi --+ oi - i *Ai c'est-a-dire d 'ecrire l'equation de Schrodinger corres-pondante comme :

'/i

2

1 (

-2M JG oi - i*Ai) .,/GGij ( oj - i*Aj ) ?./,'

+

qV'lj1

+Vi

(q3) 'ljJ

］ｩｮｾｾ＠

(4.5)

ou Gij est le tenseur metrique, Gi1 son inverse et le potentiel scalaire est A0

=

- V. L'equation

( 4.5)

s'ecrit aussi :

'/i 2

1 (

- 2111 JG Oi - i*Ai) .,/GGij ( 8j - i*Aj) 'ljJ

+Vi

(q3) 'l/J

=

inDo'l/J

(4.6)

avec

D

0

=

8t

-

i*A0 . L'equation ci-dessus est invariante sous une transformation de jauge de la forme:

A i --+ ａｾ＠

=

Ai

+

on , Ao --+ ａｾ＠ = Ao

+

80

(4.7)

/

('/,q

)

'ljJ --+ 'ljJ = exp

r;,1

'ljJ

ou / est une fonct ion scalaire. Explicitement, le developpement du premier terme peut s'effec-tuer comme suit :

Mais

_ l

(a

-

ig_ A) .,/GGij

(a

-

ig_ A ·) 01'

JG i

n,t

J n J 'f'

1 { ( r;:; . . ) q ( r;:; . . ) q r;:; . . q2 r;:; . . }

- o· vGGi1_{8 ·}01_{1 - i-8· vGGi}1_{A ·}_01• _{- i - AvGGi}1

ao1i -

_{- AvGGi}1_{A ·"'!}

JG t J '+ ri t J 'f' ri t J 'f fi2 t J '+

,q ( r;:; i ) .q ( r;:; i ) .q ( r;:; i' )

- ir,,oi vGG1_A1'ljJ

=

- ir,,oi vGG1

A1 'l/J - ir,, v GG1