Workshop“Probl`emesInverses”-7Juin2011 GhislainHaine,KimDangPhung,KarimRamdani Observateursit´eratifspourMaxwell

(1)

Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux ´equations de Maxwell Conclusion

1 / 35

Observateurs it´

eratifs pour Maxwell

Ghislain Haine, Kim Dang Phung, Karim Ramdani Institut ´Elie Cartan de Nancy

CNRS - INRIA

(2)

2 / 35

1 Introduction

Les ´equations de Maxwell Le probl`eme inverse

2 Algorithme de reconstruction abstrait Syst`eme du premier ordre

Observateur direct Observateur r´etrograde Un aller-retour

It´erations

3 Application aux ´equations de Maxwell Premier ordre

Existence des observateurs Construction des observateurs Reconstruction des donn´ees initiales 4 _Conclusion

(3)

Les ´equations de Maxwell 3 / 35

1 Introduction

Les ´equations de Maxwell

Le probl`eme inverse

2 Algorithme de reconstruction abstrait

Syst`eme du premier ordre Observateur direct Observateur r´etrograde Un aller-retour

It´erations

3 Application aux ´equations de Maxwell

Premier ordre

Existence des observateurs Construction des observateurs Reconstruction des donn´ees initiales

4 _Conclusion

(4)

On considère Ω un ouvert born´_{e de R}3_{, `}_{a fronti`}_{ere ∂Ω r´}_eguli`_ere, constitué d’un matériau :

1 _{parfaitement conducteur,} 2 _{de permittivit´}_{e di´}_{electrique ε > 0,} 3 _{de perm´}_eabilit´_{e magn´}_{etique µ > 0.}

Le champ électrique E (x , t) et le champ magnétique H(x , t) dans ce matériau vérifient les équations de Maxwell

                     ε∂E ∂t(x , t) − rot H(x , t) = 0, dans Ω × R +_, µ∂H ∂t (x , t) + rot E (x , t) = 0, dans Ω × R +_,

div E (x , t) = 0, div H(x , t) = 0, _{dans Ω × R}+_,

E (x , t) ∧ ν = 0, H(x , t) · ν = 0, _{sur ∂Ω × R}+_,

E (x , 0) = E0(x ), dans Ω,

(5)

On considère Ω un ouvert born´_{e de R}3_{, `}_{a fronti`}_{ere ∂Ω r´}_eguli`_ere, constitué d’un matériau :

1 _{parfaitement conducteur,} 2 _{de permittivit´}_{e di´}_{electrique ε > 0,} 3 _{de perm´}_eabilit´_{e magn´}_{etique µ > 0.}

Le champ électrique E (x , t) et le champ magnétique H(x , t) dans ce matériau vérifient les équations de Maxwell

                     ε∂E ∂t(x , t) − rot H(x , t) = 0, dans Ω × R +_, µ∂H ∂t (x , t) + rot E (x , t) = 0, dans Ω × R +_,

E (x , t) ∧ ν = 0, H(x , t) · ν = 0, _{sur ∂Ω × R}+_,

E (x , 0) = E0(x ), dans Ω,

(6)

Le probl`eme inverse 5 / 35

1 Introduction

Les ´equations de Maxwell

Le probl`eme inverse

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(7)

On mesure le champ ´electrique sur un sous-domaine O de Ω pendant un intervalle de temps [0, τ ], avec τ > 0

y (x , t) = χ(x )E (x , t), dans Ω×[0, τ ].

o`u χ est la fonction caract´eristique

de O. Observation sur O × [0, τ ].

Notre objectif

Le problème inverse que l’on considère est de reconstruire les données initiales (E0, H0) à partir de y .

(8)

On mesure le champ ´electrique sur un sous-domaine O de Ω pendant un intervalle de temps [0, τ ], avec τ > 0

y (x , t) = χ(x )E (x , t), dans Ω×[0, τ ].

o`u χ est la fonction caract´eristique

de O. Observation sur O × [0, τ ].

Notre objectif

Le problème inverse que l’on considère est de reconstruire les données initiales (E0, H0) à partir de y .

(9)

Cela n’est pas pertinent si O et τ ne sont pas correctement choisis !

(10)

Une hypoth`ese suffisante est celle d’observabilit´e exacte en temps τ > 0 : il existe kτ> 0

Z τ 0

ky (s)k2_{ds ≥ k}

τE(E0, H0).

Elle sera vérifiée sous des conditions géométriques de type Bardos, Lebeau et Rauch, démontrées par Phung (2000).

(11)

Id´ee de la m´ethode

(12)

A. Smyshlyaev, et M. Krstic

Backstepping observers for a class of parabolic PDEs (Systems Control Lett., 2005)

D. Auroux, et J. Blum

Back and forth nudging algorithm for data assimilation problems (C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 2005)

K. D. Phung, et X. Zhang

Time reversal focusing of the initial state for Kirchhoff plate (SIAM J. Appl. Math., 2008)

K. Ramdani, M. Tucsnak, et G. Weiss

Recovering the initial state of an infinite-dimensional system using observers (Automatica, 2010)

(13)

Syst`eme du premier ordre 11 / 35

1 Introduction

2 Algorithme de reconstruction abstrait Syst`eme du premier ordre

Observateur direct Observateur r´etrograde Un aller-retour

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(14)

Consid´erons le syst`eme

˙z(t) = Az(t), ∀ t ∈ (0, τ ), z(0) = z0,

et son observation

y (t) = Cz(t), ∀ t ∈ (0, τ ).

1 _{X et Y sont deux espaces de Hilbert,} 2 A ∈ L(D(A), X ) est anti-adjoint, 3 C ∈ L(X , Y ),

(15)

Consid´erons le syst`eme

˙z(t) = Az(t), ∀ t ∈ (0, τ ), z(0) = z0,

et son observation

y (t) = Cz(t), ∀ t ∈ (0, τ ).

1 _{X et Y sont deux espaces de Hilbert,} 2 A ∈ L(D(A), X ) est anti-adjoint, 3 C ∈ L(X , Y ),

(16)

Observateur direct 13 / 35

1 Introduction

Syst`eme du premier ordre

Observateur direct

Observateur r´etrograde Un aller-retour

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(17)

On suppose qu’il existe H+ ∈ L(Y , X ) tel que A+ _{= A + H}+_{C soit le} g´en´erateur d’un C0-(semi-)groupe exponentiellement stable etA

+

sur X : il existe M+_{> 0 et β}+_{> 0 tel que}

ketA+_zkX _{≤ M}+_e−β+_t kzkX, ∀ t ≥ 0, z ∈ X . Observateur direct ˙ w+(t) = A+w+(t)−H+_{y (t)}_, _{∀ t ∈ (0, τ ),} w+(0) = w₀+∈ X .

(18)

On suppose qu’il existe H+ ∈ L(Y , X ) tel que A+ _{= A + H}+_{C soit le} g´en´erateur d’un C0-(semi-)groupe exponentiellement stable etA

+

sur X : il existe M+_{> 0 et β}+_{> 0 tel que}

ketA+_zkX _{≤ M}+_e−β+_t kzkX, ∀ t ≥ 0, z ∈ X . Observateur direct ˙ w+(t) = A+w+(t)−H+_{y (t),} _{∀ t ∈ (0, τ ),} w+(0) = w₀+∈ X .

(19)

Le terme observateur direct signifie que l’on approche l’état du système observé quand τ, t → ∞. En effet, posant e+= w+− z, on obtient

˙e+(t) = A+e+(t), ∀ t ∈ (0, τ ), e+(0) = w₀+− z0,

et etA+ est exponentiellement stable.

Erreur d’observation directe

Pour toutes donn´ees initiales w₀+, z0∈ X , kw+_{(t) − z(t)k}

X ≤ M+e−β

+_t

kw+

(20)

Le terme observateur direct signifie que l’on approche l’état du système observé quand τ, t → ∞. En effet, posant e+= w+− z, on obtient

˙e+(t) = A+e+(t), ∀ t ∈ (0, τ ), e+(0) = w₀+− z0,

et etA+ est exponentiellement stable.

Erreur d’observation directe

Pour toutes donn´ees initiales w₀+, z0∈ X , kw+_{(t) − z(t)kX} _{≤ M}+_e−β+_t

kw+

(21)

Observateur r´etrograde 16 / 35

1 Introduction

Syst`eme du premier ordre Observateur direct

Observateur r´etrograde

Un aller-retour It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(22)

On suppose qu’il existe H− ∈ L(Y , X ) tel que A− _{= −A + H}−_{C soit le} g´en´erateur d’un C0-(semi-)groupe exponentiellement stable etA

−

sur X : il existe M−> 0 et β− > 0 tel que

ketA−_zk

X ≤ M−e−β

−_t

kzkX, ∀ t ≥ 0, z ∈ X . On définit un observateur rétrograde du système observé par

˙

w−(t) = −A−w−(t)+H−y (t), ∀ t ∈ (0, τ ), w−(τ ) = w_τ−∈ X .

Erreur d’observation r´etrograde

Pour toutes donn´ees finales wτ−, z(τ ) ∈ X , kw−(t) − z(t)kX ≤ M−e−β

−_{(τ −t)}

(23)

−

ketA−_zk

X ≤ M−e−β

−_t

˙

−_{(τ −t)}

(24)

−

ketA−_zk

X ≤ M−e−β

−_t

˙

−_{(τ −t)}

(25)

Remarque

Notons que dans notre cas A anti-adjoint

C born´e

(A, C ) exactement observable

On a un candidat naturel

H+= H−= −C∗.

(26)

Un aller-retour 19 / 35

1 Introduction

Syst`eme du premier ordre Observateur direct Observateur r´etrograde

Un aller-retour

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(27)

Si l’on choisit w_τ−= w+(τ ), on v´erifie facilement

Erreur de reconstruction pour un aller-retour

Pour toutes donn´ees initiales w₀+, z0∈ X , kw−_{(0) − z0kX} _{≤ M}−_e−β−_τ

kw−_{(τ ) − z(τ )k} ≤ M−_M+_e−(β−_+β+_)τ

kw+ 0 − z0k.

Pour τ suffisamment grand, il existe une constante 0 < α = α(τ ) < 1 telle que

(28)

Si l’on choisit w_τ−= w+(τ ), on v´erifie facilement

Erreur de reconstruction pour un aller-retour

Pour toutes donn´ees initiales w₀+, z0∈ X , kw−_{(0) − z0kX} _{≤ M}−_e−β−_τ

kw−_{(τ ) − z(τ )k} ≤ M−_M+_e−(β−_+β+_)τ

kw+ 0 − z0k.

Pour τ suffisamment grand, il existe une constante 0 < α = α(τ ) < 1 telle que

kw−(0) − z0kX ≤ αkw+

(29)

Remarque

Ramdani, Tucsnak et Weiss (2010) ont montr´e que dans le cas A anti-adjoint, C born´_{e et (A, C ) exactement observable en temps τobs > 0}

keτ A+_k

L(X )< 1 et

keτ A−_k

L(X )< 1 pour tout τ ≥ τobs.

On choisit dor´_{enavant τ ≥ τobs et on pose α = ke}τ A+

eτ A−_k

(30)

It´erations 22 / 35

1 Introduction

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(31)

On pose pour tout n ∈ N    ˙ w+ n(t) = A+wn+(t)+C∗y (t), ∀ t ∈ (0, τ ), w₀+(0) = w₀+, n = 0, w+ n(0) = w − n−1(0), n ≥ 1, ˙ w_n−(t) = −A−w_n−(t)−C∗y (t), ∀ t ∈ (0, τ ), w_n−(τ ) = w+ n(τ ), n ∈ N. On v´erifie facilement kwn−(0) − z0kX ≤ αnkw0+− z0kX, ∀ n ∈ N. Comme α < 1 (τ est choisi suffisamment grand), on obtient

kw−

(32)

On pose pour tout n ∈ N    ˙ w+ n(t) = A+wn+(t)+C∗y (t), ∀ t ∈ (0, τ ), w₀+(0) = w₀+, n = 0, w+ n(0) = w − n−1(0), n ≥ 1, ˙ w_n−(t) = −A−w_n−(t)−C∗y (t), ∀ t ∈ (0, τ ), w_n−(τ ) = w+ n(τ ), n ∈ N. On v´erifie facilement kwn−(0) − z0kX ≤ α n kw₀+− z0kX, _{∀ n ∈ N.} Comme α < 1 (τ est choisi suffisamment grand), on obtient

kw−

(33)

Premier ordre 24 / 35

1 Introduction

It´erations

3 Application aux ´equations de Maxwell Premier ordre

4 _Conclusion

(34)

Soit (E , H) une solution aux ´equations de Maxwell                      ε∂E ∂t(x , t) − rot H(x , t) = 0, dans Ω × R +_, µ∂H ∂t(x , t) + rot E (x , t) = 0, dans Ω × R +_,

E (x , t) ∧ ν = 0, H(x , t) · ν = 0, _{sur ∂Ω × R}+_, E (x , 0) = E0(x ), dans Ω, H(x , 0) = H0(x ), dans Ω. En posant z =E H , z0= E0 H0 , A = 0 ε−1rot −µ−1_rot ₀ , z v´erifie formellement ˙z(t) = Az(t), ∀ t ∈ R+_, z(0) = z0.

(35)

Soit (E , H) une solution aux ´equations de Maxwell                      ε∂E ∂t(x , t) − rot H(x , t) = 0, dans Ω × R +_, µ∂H ∂t(x , t) + rot E (x , t) = 0, dans Ω × R +_,

E (x , t) ∧ ν = 0, H(x , t) · ν = 0, _{sur ∂Ω × R}+_, E (x , 0) = E0(x ), dans Ω, H(x , 0) = H0(x ), dans Ω. En posant z =E H , z0= E0 H0 , A = 0 ε−1rot −µ−1_rot ₀ , z v´erifie formellement ˙z(t) = Az(t), ∀ t ∈ R+_, z(0) = z0.

(36)

Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux ´equations de Maxwell Conclusion Premier ordre 26 / 35 En posant C = χ 0 , on a l’observation y (t) = Cz(t) = χ(·)E (·, t), ∀ t ∈ (0, τ ).

Enfin, on prend en compte les conditions de divergence et aux bords en posant

X = {(f , g ) ∈ (L2(Ω))3× (L2(Ω))3|g · ν = 0sur ∂Ω,

div (f ) = 0dans Ω \ O, div (g ) = 0dans Ω}, D(A) = {(f , g ) ∈ X | (rot (f ), rot (g )) ∈ (L2_(Ω))3_{× (L}2_(Ω))3_,

f ∧ ν = 0sur ∂Ω}. Y = (L2(Ω))3.

(37)

Introduction Algorithme de reconstruction abstrait Application aux ´equations de Maxwell Conclusion Premier ordre 26 / 35 En posant C = χ 0 , on a l’observation y (t) = Cz(t) = χ(·)E (·, t), ∀ t ∈ (0, τ ).

Enfin, on prend en compte les conditions de divergence et aux bords en posant

X = {(f , g ) ∈ (L2(Ω))3× (L2(Ω))3|g · ν = 0sur ∂Ω,

div (f ) = 0dans Ω \ O, div (g ) = 0dans Ω}, D(A) = {(f , g ) ∈ X | (rot (f ), rot (g )) ∈ (L2_(Ω))3_{× (L}2_(Ω))3_,

f ∧ ν = 0sur ∂Ω}. Y = (L2(Ω))3.

(38)

Existence des observateurs 27 / 35

1 Introduction

It´erations

Premier ordre

Existence des observateurs

Construction des observateurs Reconstruction des donn´ees initiales

4 _Conclusion

(39)

On montre que A : D(A) → X est anti-adjoint et C ∈ L(X , Y ).

Sous des conditions géométriques de type Bardos, Lebeau et Rauch, et si ∂Ω est connexe, Phung (2000) a montré que le système (A, C ) est exactement observable sur X .

Alors H+_{= H}−_{= −C}∗ _{conviennent pour la stabilisation de A et} −A respectivement. Remarquons que C∗=χ 0 ∈ L(Y , X ), C∗C =χ 0 0 0 ∈ L(X ).

(40)

(41)

(42)

(43)

Construction des observateurs 29 / 35

1 Introduction

It´erations

Premier ordre

Existence des observateurs

Construction des observateurs

Reconstruction des donn´ees initiales

4 _Conclusion

(44)

Construction des observateurs 30 / 35

L’observateur direct s’´ecrit                      ε∂E + n ∂t (x , t) − rot H + n(x , t)+χ(x )E + n(x , t)=y (x , t), Ω × (0, τ ), µ∂H + n ∂t (x , t) + rot E + n(x , t) = 0, Ω × (0, τ ), div H+ n(x , t) = 0, Ω × (0, τ ), E+ n(x , t) ∧ ν = 0, H+n(x , t) · ν = 0, ∂Ω × (0, τ ), E+ n(x , 0) = E − n−1(x , 0), E + 1(x , 0) = 0, Ω, H+ n(x , 0) = H−n−1(x , 0), H + 1(x , 0) = 0, Ω, et l’observateur r´etrograde                      ε∂E − n ∂t (x , t) − rot H − n(x , t)−χ(x)E − n(x , t)=−y (x, t), Ω × (0, τ ), µ∂H − n ∂t (x , t) + rot E − n(x , t) = 0, Ω × (0, τ ), div H−_n(x , t) = 0, Ω × (0, τ ), E− n (x , t) ∧ ν = 0, H−n(x , t) · ν = 0, ∂Ω × (0, τ ), E− n (x , τ ) = En+(x , τ ), Ω, H− n(x , τ ) = H+n(x , τ ), Ω.

(45)

Reconstruction des donn´ees initiales 31 / 35

1 Introduction

It´erations

Premier ordre

Existence des observateurs Construction des observateurs

Reconstruction des donn´ees initiales 4 _Conclusion

(46)

Reconstruction des donn´ees initiales 32 / 35

Th´eor`eme

Supposons que le triplet (Ω, O, τobs) satisfait les conditions d’optique géométrique et que ∂Ω est connexe. Alors pour toutes données initiales E0, H0∈ (L2(Ω))3telles que

div E0(x ) = div H0(x ) = 0 dans Ω, H0(x ) · ν = 0 sur ∂Ω, et tout τ ≥ τobs, il existe un 0 < α < 1 tel que pour tout n ≥ 1 ε Z Ω E0− E_n−(0) 2 +µ Z Ω H0− H−_n(0) 2 ≤ αn ε Z Ω |E0|2_{+ µ}Z Ω |H0|2 .

(47)

Remarques et Perspectives 33 / 35

1 Introduction

It´erations

Premier ordre

4 _Conclusion

(48)

Remarques :

Connexit´e du bord ∂Ω de Ω.

Le cas de l’observation fronti`ere.

Perspectives :

Analyse num´erique.

(49)