Interaction résonnante de particules chargées avec une onde cyclotronique

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Submitted on 1 Jan 1971

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Interaction résonnante de particules chargées avec une onde cyclotronique

R.I. Kovtoune

To cite this version:

R.I. Kovtoune. Interaction résonnante de particules chargées avec une onde cyclotronique. Journal de

Physique, 1971, 32 (4), pp.283-293. �10.1051/jphys:01971003204028300�. �jpa-00207055�

INTERACTION RÉSONNANTE DE PARTICULES CHARGÉES

AVEC UNE ONDE CYCLOTRONIQUE

par R. I.

(*)

^KOVTOUNE

Association EURATOM-CEA

Département

^{de la}

Physique

^{du Plasma et} de la Fusion Contrôlée Centre d’Etudes

Nucléaires,

Boîte Postale ^n°

6, 92, Fontenay-aux-Roses (France)

(Reçu

^{le 14 août}

1970,

^{révisé le 23 décembre}

1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ On discute l’interaction résonnante de

particules chargées

^{avec une onde}

cyclo- tronique d’amplitude

^{constante se} propageant ^{dans un}

plasma illimité,

^{dans le sens du}

champ magnétique

uniforme. Le mouvement des

particules chargées

^{est étudié avec} l’aide de la méthode

asymptotique

où l’on utilise comme

petit paramètre

^le rapport ^du

champ magnétique

^{de l’onde}

au

champ magnétique

^uniforme.

Cela permet ^{d’obtenir sous la forme}

explicite

les variations des vitesses

longitudinale

^{et trans-}

versale avec le temps ; ^{cette dernière reste}

finie,

contrairement au résultat de la théorie linéaire

qui néglige

les variations de la vitesse

longitudinale.

En

conclusion,

^{on montre} que les solutions obtenues ^se réduisent continuement à celles données par la théorie

linéaire, lorsque

l’on fait croître la différence entre la

fréquence Doppler

^{de l’onde}

dans le

repère

^des

particules

^{et leur}

fréquence cyclotronique.

Abstract. ²⁰¹⁴ Resonant interaction of

charged particles

^{with a}

cyclotron

^wave is discussed m a case where the wave propagates ^{in a boundless}

plasma along

^a strong ^uniform

magnetic

^field.

Particle motion is studied with the

help

^{of the}

asymptotic

method where the

amplitude

^{of a relative}

perturbation

of the uniform

magnetic

^field

by

^{the wave is used as a small} parameter.

In this way

explicit expressions

^are found for the time

dependence

^of

particle longitudinal

^and transversal

velocities,

the latter

being always

^finite contrary to

predictions

of the linear

theory

where

longitudinal velocity

variations are

neglected.

In conclusion it is shown that the solutions obtained reduce to those

given by

the linear

theory

when the difference between the

cyclotron

^and

Doppler

^{shifted wave}

frequency

^becomes

large.

Classification :

Physics

^Abstracts 14.20

1. On étudie dans ce travail l’interaction de

parti-

cules

chargées

^avec des ondes

cyclotroniques qui

^se

propagent

^{dans un}

plasma

infini le

long

^d’un

champ magnétique

^uniforme

Ho Il OZ.

^On suppose que

(Ho/Ho)

^{= e «}

1,

^où

Ho

^est

l’amplitude

^du

champ magnétique

^de l’onde. Ainsi _pour un

champ magné- tique donné 1 Ho 1

⁼

Cte,

la valeur e fixe

l’amplitude

du

champ

^{de l’onde}

cyclotronique.

^{On excite l’onde}

de l’extérieur et l’on suppose

Ho

^{constant dans le}

temps

^{et dans}

l’espace

^{car on}

néglige

^ici l’influence des

particules chargées (électrons

par

exemple)

^{sur le}

champ électro-magnétique.

^{Le cas où ce}

champ

^est

excité _par des électrons ^sera discuté

plus

^tard.

A

l’opposé

^{de travaux}

[1]

^et

[2]

^on

applique

^{ici la}

méthode

asymptotique

^en utilisant la

petite

^{valeur de}

s 1

(Ho/Ho).

^On

peut

^ainsi étudier des ondes

quelle

que soit leur

fréquence

^{w et obtenir} des solutions sous

forme

explicite

^se réduisant d’une manière continue

aux solutions linéaires

quand

^la différence entre la

fréquence cyclotronique

^des

charges

^étudiées

et la

fréquence

^de

Doppler (co - kvz)

^devient

impor-

tante.

On discute ici le cas de vitesses non relativistes

v ¹

^«

c),

^{mais la}

généralisation

^de

l’analyse

^ci-dessus

au cas

relativiste v ~

^{c ne}

présente

^{aucune difhculté.}

Ce cas sera discuté dans ^un

prochain

^travail.

2.

Equations

^du

système.

^- Nous supposons que pour ^Z 0 les électrons se meuvent le

long

^des

lignes

^{de force du}

champ magnétique

uniforme dans le sens Z > 0 et que leur vitesse transversale est nulle :

En Z ⁼

0,

les électrons

pénètrent

^le

demi-espace rempli

par le

plasma,

^{où une onde}

cyclotronique

stationnaire est excitée avec le

champ électrique

^{nul au}

plan

^{Z = 0. Les électrons sont}

supposés

^{être en réso-}

nance avec une des deux ondes

progressives

constituant (*) Visiteur détaché _par l’Institut de Radiotechnique ^et

d’Electronique d’U. R. S. S. (Moscou).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003204028300

l’onde stationnaire. Etant donné la

petite

^valeur de

e ⁼

Ho/Ho,

les vitesses transversales des électrons

vl(vx, vy)

^restent

^petites

même dans le cas de résonance et c’est ^ce

qui permet

^de

négliger

^en

première approxi-

mation les variations des vitesses

longitudinales

^des

particules chargées Vo

^{et aussi le}

champ électrique longitudinal

^{dû à cette} variation.

Ainsi,

^en

première approximation

^on

peut

^{ne tenir}

compte

^{dans les}

équations

^{du mouvement} que des

composantes

^du

champ cyclotronique

donné par la théorie

linéaire.

Mais en

passant

^aux

approximations

^d’ordre

supérieur

il faut tenir

compte

^{des nouvelles}

composantes

^du

champ

^{dues aux effets non linéaires.}

Toutefois,

^en évaluant la différence

on ne

peut

pas considérer comme constante la vitesse

longitudinale Vo

^{même en}

première approximation, puisqu’à

la résonance cette différence est forcément

petite

^{et ses} variations relatives

peuvent

^être

impor-

tantes même _pour de faibles

changements

^{de la vitesse}

longitudinale Yo.

^De

plus,

^{la valeur de ôm a une}

grande

influence sur le mouvement des électrons. On ^ne tiendra

compte

^{dans les}

équations

^{du mouvement des}

électrons,

que du

champ magnétique

^uniforme

Ho

^et

des

composantes (Ex, Ey, ^H,,, Hy)

^{de l’onde}

^cyclotro- nique qui

^se propage ^vers les Z >

0,

^et pour des valeurs de Z infiniment

grandes.

^Ces

composantes

^sont reliées _par des

équations

^{de Maxwell}

En introduisant ces relations dans les

équations

^du

mouvement d’un électron

On obtient

où comme dans ce

qui précède,

Wc ⁼

eHo/mc

^{et K}

est le vecteur d’onde. En différenciant

l’équation (1)

et en y

portant dv,ldt

^de

l’équation (2)

^{on obtient :}

ou 0 = rot - kZ. En transformant

l’équation (2)

^{de la}

même manière et en

posant

Posons 17

^{= - 1. On} obtient alors _pour les électrons

Rappelons

^ici

quelques

^{résultats bien connus de la}

théorie

(linéaire)

^de la résonance d’un oscillateur har-

monique,

^{soumis à l’action d’une}

perturbation pério- dique d’amplitude

constante. Avec les

équations (3), l’amplitude

^{de la}

perturbation peut

^{être considérée}

comme constante, ^{si l’on}

néglige

^les variations de

fréquence Doppler

^{ro -}

kvZ.

^{Alors on}

peut

poser :

Pour

abréger,

^on

peut

^{mettre le}

système (3)

^{sous la}

forme

Il faut

souligner

encore une fois _que dans les

équa-

tions du mouvement, ^{on ne tient}

compte

^ici que d’une onde se

propageant

^vers la droite. C’est

pourquoi

^des

électrons traversant le

plan

^{z =} 0 à deux instants différents

(tl et t2

>

tl),

y rencontrent des

champs électriques qui

^ne différent que par leur

polarisation.

Puisque

^la vitesse transversale initiale des électrons est

nulle,

^la

polarisation

^ne

joue

^{aucun rôle}

important

sur leur mouvement

ultérieur,

^on

peut

^donc supposer que les électrons considérés traversent le

plan

^{z = 0}

à l’instant

to

^{= 0. Dans ce cas, le}

système (4)

^admet

les solutions bien connues :

d’où ^en

posant

ou

Il est bien évident _que

lorsque

y ^-. 0 on obtient la croissance uniforme de v 1. ^{au cours} du

temps.

^Pour des _y

petits

^devant Wc, cette croissance

peut

^être considérée comme linéaire dans la mesure où

yt

^1.

Pour

(y/wc)

^{1 on}

^peut remplacer

dans les seconds membres des

équations (3), w - kvz

par Wc et poser

On obtient alors :

c’est-à-dire,

et

3. Méthode

asymptotique.

^{- Pour résoudre}

l’équa-

tion

(6)

^on

peut

^{utiliser la méthode}

asymptotique,

élaborée par N.

Bogolioubov

^{et Ju.}

Mitropolski

^pour

le cas de l’excitation résonnante d’un

système

^harmo-

nique ^ayant

^des

paramètres

lentement variables

[3].

Dans notre cas, la

fréquence

de l’action extérieure

renferme le

paramètre

Vz,

qui

^est forcément lentement

variable, puisque lorsque

^{8 -}

0,

Vz devient constant

(vz

^---.

Vo

⁼

Cte).

^On

peut

^donc

employer

^le

procédé

de résolution

(décrit

^Réf.

^{[4], § 13, Chap.} III),

^en

remarquant

que les variations de ce

paramètre

^vérifient

l’équation indépendante

^de

premier

^ordre

(vz

⁼

s...),

obtenu par

projection

^de

l’équation

^{de mouvement de}

l’électron sur la direction oz. Mais il n’est pas absolu- ment nécessaire de

procéder ainsi,

^{il est en effet aisé}

de se convaincre _{que Vz}

peut

^{être mis sous la forme} d’une fonction de a

= ! 1 v 1. 1.

^En

effet,

^le

champ

^élec-

trique

^{d’une onde}

cyclotronique

^est tourbillonnaire et il

disparaît

^{dans un}

repère

^{où l’onde est} stationnaire.

Dans un tel

repère

il n’existe _que le

champ magnétique

stationnaire

qui

^ne

peut changer l’énergie cinétique

totale d’une

particule chargée.

^{Dans ce}

repère qui

^se

déplace

^avec

^l’onde,

c’est-à-dire à la vitesse de

phase w/k,

^{nous avons}

où,

^{comme dans ce}

qui précède, Vo

^est la vitesse

longitudinale

^initiale

lorsque

^{z 0 et} v 1. ⁼ 0. Ainsi

(8)

^{donne :}

Puisque vi -

⁰

lorsque B -+ 0, la

^valeur v J. est

petite.

^D’autre

part,

^à la résonance

et il est naturel de supposer que

ce

qui

^{donne :}

autrement dit

On utilise la méthode

asymptotique

pour résoudre

l’équation (6),

^{la solution est de la forme}

où S

= tf¡ - 0

^{est la} différence entre la

phase

^de

rotation d’un électron et la

phase

^{0 du}

champ

^élec-

trique

^{de l’onde.}

On doit

déterminer vl

^{et 9 en} fonction du

temps

^à l’aide des

équations

suivantes :

où

Al(v,, 8)

^et

Bi(vi, S)

^{sont définis} par les

équa-

tions

(14, 34)

^en

[3].

^On voit aisément

quefo(a,8, #)

^dans

ces

équations,

^{est le second membre de}

l’équation (6).

Après quelques

^calculs

élémentaires,

^{on obtient :}

[Appendice 1]

On introduit ici les

grandeurs

^{sans dimensions}

On obtient au lieu de

(9) :

Comme v.l

^{= 0 dans le}

plan

^{z =}

0,

^{la valeur initiale} de la différence 3-

= tf -

^{0 est aussi}

nulle,

^{car le}

déplacement

transversal initial d’un électron est

forcément

parallèle

^au

champ électrique.

^{On doit donc}

résoudre le

système (11)-(12)

^{avec les conditions}

initiales.

En résolvant le

système (11)-(12)

^{il est} facile de ^se convaincre que le second membre de

l’équation (12)

est

petit

^même pour a -

0, malgré

^la

présence

^{de a}

au dénominateur du second membre de

(12),

^{ainsi le}

changement

^{de a et 9 est lent} pour toutes les valeurs

de s,

^ce

qui

^{constitue la} condition fondamentale de validité de la méthode

asymptotique.

En divisant

l’équation (12)

par

(11),

^on

peut

^mettre le résultat sous la forme d’une

équation

par

rapport

^à la variable sin 9 :

d’où on déduit sin

9,

^{en tenant}

compte

^de

(10) :

En substituant ce résultat dans

(12),

^{on obtient :}

Comparons

^ce résultat à la solution

(5)

^du

problème linéaire,

que l’on

peut

^{mettre sous la forme}

en introduisant en

(5)

^les

grandeurs

^{sans dimensions}

(10).

On constate que la

grandeur 1/2

^{As en}

(16)

^{est la}

différence de

phase

^entre la rotation d’un électron et le

champ

^{de l’onde.}

Toutefois

l’équation (15)

^montre

qu’au

^{début de}

l’interaction, quand a

^{est encore très}

petit

L1 >

a2, la

différence de

phase v

^{est aussi}

égale à làs.

^{Aussi au}

début de

l’interaction, quand As « 1,

^{on a}

approxi-

mativement :

Dans ce cas,

l’équation (11)

^{donne : a = es. On}

peut

constater que l’on

peut

obtenir le même résultat _pour de faibles valeurs de v directement à

partir

^de

l’équation (16).

Le

comportement

initial des fonctions

a(s)

^et

0(s), pour a’ «

^{L1 est} absolument

identique

^dans

la

^théorie

linéaire

(éq. (16))

^{et dans le cas non linéaire}

(éq. ⁽¹¹⁾

et

(12)).

^{Ce résultat est}

^naturel, puisqu’en négligeant a2

devant

on ne tient _pas

compte

des variations de la vitesse

longitudinale ;

^cette

approximation

^est

également

utilisée dans la théorie linéaire.

Il est facile de définir les limites de validité de la théorie linéaire. Il est évident _que cette théorie est valable si l’on

peut négliger

^le

terme ï a2 dans l’équation (15)

^{sur toute la}

période

de variation

de a, laquelle d’après (16),

^est

égale

^{à T =}

4n/A. L’équation (11)

montre que même dans le cas d’une forte non-linéarité le

terme -i a2 _ 1 a2

^ne

dépasse

pas la valeur

En tenant

compte

^de

(15)

^on voit donc que la théorie linéaire est valable dans la mesure où

c’est-à-dire :

Ainsi, lorsque

^{s est} suffisamment

petit,

^{la condition}

peut

^être satisfaite en même

temps

que la condition Li «

1, qui

^est

indispensable

pour utiliser la méthode

asymptotique.

^Autrement

dit,

^{dans le domaine :}

on

peut

^{utiliser les deux}

approximations ci-dessus ;

;

ce

qui explique

^la transition continue entre les solutions linéaires et non linéaires

lorsque

^{la différence}

varie. C’est ce

qu’on

^va démontrer ci-dessous.

Passons maintenant à la détermination de la fonc- tion

a(s).

^En

premier

^lieu il faut noter, que

(14)

^nous

permet

de calculer d’une manière

directe,

^{la valeur} maximale de

l’énergie

^{de rotation} de l’électron

(m/2) a2

pour ^un d donné. En

effet,

^{en mettant}

(14)

^{sous la}

forme suivante :

on

peut vérifier,

que la valeur

a2

est

maximale,

(a2

⁼

am) quand

^{sin 9 = 1. On}

^peut

déterminer

am

^à

partir

^de

l’équation

l’équation (20)

^{donne :}

On voit

d’après (21)

que pour ^e

petit, A. prend

^de

grandes

^valeurs aussi bien

positives

que

négatives

même pour de

petites

^{valeurs de}

Pour étudier les racines de

l’équation (22)

^{en fonction}

de

dn

^{il est} commode de tracer la courbe de

dn

^en

fonction de x,

compte

^{tenu de}

(22)

^{on a} pour

dn :

où x > 0. On voit que

J,, -->

⁺ oo,

lorsque x -

^0.

Ainsi _{pour x}

petit

nous avons deux branches de la fonction

An(x).

^Nous

désignerons

^celles-ci

puisque lorsque x, A’-’ , -

^oo

etd’+’ , + oo.

Pour x ⁼ 1 la branche

négative

s’annule.

Lorsque x -

oo, les deux branches tendent

vers la

courbe y

^{= x} d’une manière

asymptotique.

En différenciant

l’équation :

on établit bien aisément que la courbe

A(+) (x)

passe par ^un minimum

(Min A+) (x) = Acr = ! -J2 au

point

^{où x =}

xcr - §#2.

^{On vérifie de même}

que la branche

négative prend

^{la même valeur}

au

point

FIG. 1. ^- Courbe représentative de l’inverse de la fonction

Xr(,An) permettant d’obtenir les racines réelles de l’équation X(dn - X)2 ^{= 1 en} fonction de dn.

Ainsi

lorsque An der

⁼

f §2 l’équation

^admet

une seule racine réelle _pour

chaque

^{valeur de x.}

Lorsque A.

>

Aer l’équation (23)

admet trois racines

réelles,

^{et deux racines}

quand

^A=

Aer

⁼

3 3/ 2.

En mettant

(19)

^{sous la forme}

on voit _{que la}

grandeur proportionnelle

^à

(m/2) V 2

varie entre zéro

(pour

^{sin 1). =}

0)

^{et la}

plus petite

racine de

(22).

Si l’on fait croître

An

^à

partir

d’une valeur

négative grande,

^la

quantité x

^{= Max}

(g)

^croît continûment

jusqu’à xcr(-)

^{= 2}

3 /2 pour 4

⁼

dcr

^{= +}

2 3/-2 après

^x

retombe

brusquement

^{à une valeur}

quatre

^fois

plus petite (de xcr

^à

xcr(+) = § $/2)

^{et diminue ensuite de}

façon continue,

^{en tendant vers 0}

quand A,, -->

^oo

(Voir Fig. 1).

Il est facile maintenant d’évaluer

l’énergie

^maximale

du mouvement de rotation des électrons dans un

champ cyclotronique

donné. En effet

d’après (10), (21)

^et

(27)

ou

La valeur

correspondante

^{de Max}

(V.1-)

^{est :}

4. Solution

asymptotique.

^{- Passons maintenant}

à la résolution du

système (11)-(12).

En utilisant

(27), remplaçons (a) dans ⁽¹¹⁾

^et

⁽¹²⁾

^{par g =}

(a/281/3)2

et cos 8 _par

Jl-sin S = .J1-g (dn - g)2. Après

^avoir

séparé

les variables on obtient

Pour effectuer

l’intégration

^{de cette}

équation

^on

doit la mettre sous la forme suivante :

où x, ^est la

plus petite

racine réelle de

(23) lorsque Jn > Acr-

Dans ce cas on a : Xl > x2 > x3.

Lorsqu’au

^contraire

dn dcr, x1

^{est la seule racine}

réelle de

(22).

^{Il est alors} commode d’introduire des notations :

Alors

(x2 - g) (x3 - g) = (g - M)2

⁺

^{n2 et}

pour

(28)

on a

Pour obtenir les racines _{xi de}

l’équation (22),

^mise

sous la forme

on

introduit,

suivant la méthode de

Cardan,

l’équation (30)

^{s’écrit :}

où

Les racines de

(32)

^{sont :}

où

On sait _{que le} nombre des racines réelles de

(30) dépend

^du

signe

^du

discriminant 0 = q’ + p’.

En substituant

ici p et q

^donnés par

(33)

^{on écrit :}

Examinons d’abord le cas où :

1)

^D > 0

(une

seule racine réelle

xi).

Pour

simplifier

le calcul introduisons

On voit que la condition

ç2

^{= D} > 0

signifie

que

ou

On ^a

d’après (37)

^et

(38)

En

portant (33)

^{et ensuite}

(38)

^dans

(35)

^et

(36)

on obtient :

Pour

simplifier

^{le résultat final il est commode}

d’exprimer

^{toutes les}

grandeurs qui

^nous intéressent

en fonction de u et v. Par

exemple

^en

portant

^{u et v} donnés _par

(40)

^dans

(39)

ensuite dans

(31)

on obtient :

Ensuite en substituant

(34)

^dans

(31)

il vient :

ou,

compte

^{tenu de}

(42),

En

comparant

^{le résultat avec}

(29a)

^{on voit} que

On

peut

maintenant

évaluer,

^à l’aide de la formule

(3.145, 2)

^Réf.

[5], l’intégrale (29).

^Alors

Ici

F{ }

^est

l’intégrale elliptique

^de

première espèce,

de module

où

Pour obtenir x en fonction de s on doit évidemment déterminer d’abord l’inversion de

(44) (Appendice II) :

où sn tP est le sinus

elliptique (Jacobi),

^dont

l’argu-

ment

En résolvant

(47)

par

rapport

^{à u =}

a2m/4 ^e2/3

on obtient

(Appendice III) :

où cn 0 est le cosinus

elliptique.

^{On voit}

ainsi,

que la

grandeur x proportionnelle

^à

^a2 (ou V-L),

^{est une}

fonction

périodique

^du

temps

^de

période 4 k(x)

par

rapport

^à

^4l,

^où

k(x)

^est

l’intégrale elliptique complète

^de

première espèce.

^{En tenant}

compte

de

(48)

^{on obtient la}

période

^{de x en} fonction du

temps

^sans dimension s ⁼ _Wc t :

Pour

simplifier

le résultat

(49)

^{et rendre}

plus

^clair

sa

dépendance

^{en w et}

k,

^{il est} commode d’introduire la

grandeur

Puisque

dans le domaine considéré pour les valeurs

de dn (Voir (38)),

^la

grandeur c

^{varie de zéro à} + oo, nous avons pour

tl : - 1 il + 1.

^Nous

allons,

maintenant démontrer _que tous les

paramètres figu-

rant à la solution

(49)

ainsi que les

expressions (45), (46),

^et

(43) s’expriment simplement

^{en fonction}

de

r(c).

^{On voit}

d’après (38)

^et

(21)

que :

D’abord on trouve pour

ç,

^{en tenant}

compte

^de

(40),

En

reportant

^dans

(52)

^{et en résolvant} par

rapport

à _u, on obtient :

Maintenant il résulte directement de

(42), (43)

^et

(46),

que

avec u, déterminé _par

(54).

^Par

exemple

Introduisons maintenant les notations :

En mettant ces

9(il)

^et

H(17)

^dans

(49)

^et

(45)

^{on a}

FIG. 2. ^- Courbes représentatives ^des paramètres G(n), H(n), rJ.(11), 1/L1(11) intervenant dans la solution finale (59). ^Ces quantités

sont données en fonction du paramètre 11 qui ^{est lié à la} fréquence ^co

et au vecteur K par les relations (52) ^et (53).

On calcule

simplement

les valeurs

numériques

^de

en fonction

de 11

^et l’on vérifie _que toutes ces fonctions décroissent continûment

(quand il

^{croît de - 1 à +}

1)

en restant dans les intervalles suivants :

Les courbes

représentatives

^{de ces fonctions sont}

données

figures

^{2 et 3.}

Ainsi pour trouver ^une solution

correspondant

à des valeurs données _{de wc,} ⁸ et w -

kVo,ilfautd’abord définir ç

^en

partant

^de

(53), porter

^{cette valeur}

de ç

dans

(52)

pour

trouver il

^et

ensuite,

connaissant _il, déterminer toutes les autres

grandeurs

^à

partir

^de

(54)-(60)

^et

(48).

Examinons maintenant le cas limite

Iii n 1

^{- oo,}

lorsque j -

^oo

et ’1 -+

¹

d’après (53)

^et

(52).

^{Il est}

absolument évident _que

lorsque liin 1 (ou ç) croît,

on

s’éloigne

^du

régime

de résonance. Il est clair _que dans ce cas la solution

(59)

^se réduit continûment à

(16),

c’est-à-dire à la solution obtenue dans

l’appro-

ximation linéaire.

Examinons d’abord les valeurs limites de x

lorsque

’1 -+ 1 on voit

d’après (56)

^et

(52),

que

Alors

Mais on voit

d’après (38),

^{que pour}

IA. 1 -->

^oo

En

reportant ç

^dans

(62),

^{on obtient}

La même valeur

approchée

^{de la}

plus petite

^racine

(pour IA,, 1 --> oo) peut

être obtenue directement

partir

^de

(23).

^{En vertu de}

(57)

^et

(58)

^{on a dans ce}

cas

et

d’après (60)

^{on voit} que

k2(r) -->

^{0. Alors}

et

(59)

^{nous montre} que :

Examinons

l’expression

^{limite de la}

phase

(Voir (48)).

^{En vertu de}

^{(55) p et q}

^{tendent dans ce cas}

vers 3 u et

D’autre

part

et

compte

^{tenu de}

(61)

^et

(63)

^{on obtient}

d’où

En revenant aux

grandeurs an

^et

d,

^{et en utilisant}

(21)

nous obtenons

qui

^{est en} effet la solution

(16),

^{obtenue dans}

l’appro-

ximation linéaire.

Passons maintenant au cas où :

2)D

⁰

(trois

^racines

réelles).

Utilisons encore une fois les relations

(31)-(37)

pour résoudre

l’équation (22).

^Maintenant

et au lieu de

(38)

^{il est}

préférable

d’introduire :

et

d’après (37)

On voit alors

d’après (35)

^et

(36)

que :

De

plus,

^{en vertu de}

(64)

^{on a :}

En tenant

compte

^de

(31)

^{on obtient alors :}

Portons maintenant

(66)

^dans

(34)

pour définir _yi.

Après quelques

transformations nous écrivons

(Appen-

dice

IV) :

Où l’ordre des

racines xi

^est

changé

par

rapport

^à

(34)

de sorte que maintenant : _{xi x2 X3.}

Ici

l’angle

ç est déterminé à

partir

^de

l’équation

où

Les formules

(67)-(70)

^{sont obtenues en utilisant}

la méthode

trigonométrique

habituelle _pour résoudre

une

équation algébrique

^{de 3 e}

degré.

Pour définir une solution

particulière

^du sys- tème

(11)-(12)

^{il faut} d’abord calculer

dn

^en

partant

de (21),

substituer

ce dn

^dans

(64)’pour obtenir c

^{et ensuite}

ç, ^en

partant

^de

(70).

Connaissant _ç, on trouve immé- diatement les trois racines _{xl ;} en

portant

^ce ç dans

(67)-(69).

^La connaissance de ces racines ^nous

permet d’intégrer l’équation (28),

^{en utilisant la for-}

mule

(3.147.2)

^dans

[5], qui

^{nous donne :}

où le module T est

égal

^{à :}

Comme dans ^ce

qui précède,

l’inversion de

(71)

donne :

cette

équation peut

^{être résolue} par

rapport

^{à :}

ou

FIG. 3. ^- Variation du carré du module de l’intégrale ellip- tique ^{K en fonction du} paramètre q.

Dans ce cas x est encore une fonction

périodique,

mais cette fois la

période

^{en 4Y est}

égale

^{à 2}

K(ç).

Par

rapport

^{à s =}

cvo t

^cette

période s’exprime :

Revenons au cas limite où

An ->

^{+ oo}

et j -

^oo

en vertu de

(64)

^et

(70)

ç -

n/2.

Introduisons

a ⁼

(n/2) -

^{p. On voit que a} --> 0

lorsque j -

^oo.

D’après (70),

^on voit dans ce cas que :

c’est-à-dire _{que :}

En substituant _ç ⁼ 90~ 2013 a dans

(67)

^{nous obtenons}

pour xi

compte

^{tenu de}

(75)

^et

(64)

^on

peut remplacer

^{ici a} par

ce

qui

^donne

immédiatement x1 --> 1/dn .

Ce résultat est en

parfait

^{accord avec}

l’équation (23).

De la même

façon,

^{on obtient} pour les deux « gran- des » racines _{x2 et} x3 :

En somme

lorsqu’on s’éloigne

^de la résonance on a :

(72)

^montre que le module F - 0 et la solution

(65)

devient :

où

c’est-à-dire

En

reportant (77)

^dans

(76)

^{et en}

remplaçant x

^par

(a/2 61/3)2

^{nous arrivons de nouveau à la solution}

(16) déjà

^{obtenue dans}

l’approximation

^linéaire.

Conclusion. ^- On a examiné le mouvement de

particules chargées

^{dans le}

champ

^{d’une onde}

cyclo- tronique d’amplitude

constante, ^se

propageant

^le

long

du

champ magnétique uniforme,

confinant le

plasma.

On a démontré que dans le ^cas

résonnant,

c’est-à-dire pour des faibles valeurs de

Ibw 1

⁼

Iwc -

^{w +}

kVo 1,

^,

les vitesses transversales et

longitudinales

^des

parti-

cules

chargées

varient d’une

façon périodique

^au

cours du

temps.

On a aussi démontré _{que la} croissance indéfinie de la vitesse transversale d’une

particule chargée,

donnée par la théorie linéaire dans le cas

résonnant,

c’est-à-dire

lorsque

est due

au fait que dans cette

approximation

^on

néglige

les variations de la vitesse

longitudinale Vo

de la

particule.

^{Mais si}

Vo varie,

^{la condition}

(78)

n’est

plus

^valable

qu’à quelques

^{instants déterminés}

et c’est ^ce

qui

entraîne la variation

périodique

^{de la}

vitesse

transversale,

^limitée par la valeur

(27a)

pro-

portionnelle

^à

^81/3.

^Mais

lorsque Ibw 1 croît,

^on

s’éloigne

^du

régime

de résonance et les solutions

(59)

et

(73)

^se réduisent à celles de la théorie

linéaire,

^où

l’amplitude

^de v 1. est

proportionnelle

^{à 8. On}

peut

dire

qu’en

^{ordre de}

grandeur,

^les variations _{de vl} sont

8-2/3

fois

plus petites

^{dans ce cas,} que dans celui de la résonance.

On

peut

^se convaincre sans difficulté que la même méthode

asymptotique

^est utilisable pour traiter le mouvement de

particules

relativistes ainsi que le

cas d’une onde

cyclotronique

excitée par ^un faisceau

de

particules chargées possédant

^{donc une}

amplitude

variable.

Ces cas

plus généraux

^feront

l’objet

de communi- cations ultérieures.

Je remercie très vivement M. C. Etievant _pour m’avoir

posé

^ce

problème

et pour l’intérêt

qu’il

a voulu

porter

^{à ce travail.}

Appendice

^{I. - Sans entrer dans tous les détails}

du calcul élémentaire conduisant aux

équations (9)

^à

partir

^de

(6),

^on

peut

établir immédiatement le _sys- tème

(9)

^en

comparant l’équation

^de

départ (15,1)

^{de la}

Réf.

[3]

^{avec les}

équations correspondantes

^du

premier

ordre

(15,7).

^{Si on} compare notre

équation

^de

départ (6)

^avec

(15,1)

^Réf.

[3],

^{on voit aisément} que dans notre cas,

Introduisons ces valeurs dans

(15,7).

^{On a}

d’après ,(15,5) [3]

puisque f

⁼

fo

^{= 0.}

Remplaçons

^d’ailleurs

car au

voisinage

de résonance on

peut négliger

^la

petite

différence dans les termes

multipliés

par ^8. On obtient immédiatement le

système (9).

Appendice

^{II. - En effet}

Appendice

^{III. -} En élevant

(47)

^{au carré et}

multipliant

le résultat _par

(px

⁺

^{q(xl -} x))

^{on obtient}

quelques

transformations

En écrivant la solution de cette

équation

^on doit choisir le

signe (-)

de la racine du discriminant _pour que X ⁼ 0

quand 4Y

^{= sn 4Y = 0.}

Malgré l’aspect compliqué

^de

l’équation ^(A),

^{sa solution}

(49) peut

^être obtenue facilement

puisque

le discriminant de

(A)

^{se réduit}

après quelques simplifications

^{évidentes à un}

seul terme :

(pqx,

^cn

q,)2.

Appendice

^{IV. - Il} faut d’abord mettre u et v sous la forme

avec

et

porter (B)

^dans

(34),

^ce

qui

^donne

En

ajoutant i

^{= 2}

B/1/4 + ç2

^à yi et ^en

changeant

^{l’ordre des racines de sorte} que x1 x2 X3, ^on trouve enfin

où l’on a tenu

compte

^de

(C).

Les deux autres racines

X2

^et

X3

^sont calculées de la même manière.

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