Enseignement des fonctions au collège et au lycée
Sylvie Coppé
Fonction
!
Première idée de dépendance : variable
!
Relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi
!
Approche ensembliste :
correspondance terme à terme des éléments de deux ensembles
L’analyse épistémologique nous a conduit à poser que c’est l’idée de dépendance qui fonde les concepts de fonction et de variable.
Rappelons seulement que chez Leibniz (1646- 1716), le mot «! fonction! » désigne une relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi. L’approche ensembliste de la notion de fonction par une mise en correspondance terme à terme des éléments des deux ensembles modélisés par un graphe, évacue cette idée de contrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005, p. 38)
Programme 6ème
!
Proportionnalité en lien avec les
grandeurs!
Organisation et représentation de données
– Lecture de graphiques
– Passage d’un type de représentation à un autre
Programme 5ème
!
Proportionnalité
« des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue. »
!
Activités graphiques
!
Représentation et traitement de données
Programme 4ème
!Utilisation de la proportionnalité
« Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent de mettre en oeuvre un coefficient de
proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. »
!Proportionnalité
!Traitement des données
« …usage du tableur ou de la calculatrice » Calculer des distances parcourues, des
vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt.
Programme 3ème
!
Notion de fonction
!
Fonction linéaire, fonction affine
Programme 2nde
!
Le programme est divisé en trois parties
! Fonctions
!
géométrie
!
Statistiques et probabilités
Programmes 2nde 2009
! Lʼobjectif est de rendre les élèves capables dʼétudier :
– un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects dʼune fonction ; – un problème dʼoptimisation ou un problème du
type f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentialités de logiciels,
graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction.
Programmes 2000 et 2009
!Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule
– Identifier la variable et, éventuellement son ensemble de définition ;
– déterminer lʼimage dʼun nombre ; – rechercher des antécédents dʼun nombre.
Accompagnements des programmes
!
Doc Fonctions
Evolution des programmes
!
Appauvrissement du travail algébrique au collège
!
Entrée dans l’analyse repoussée en 1
ère!
Nouvelle place pour les fonctions en classe de 2
nde!
Nouvelles tâches
!
Usage accru de la calculatrice
graphique et des TICE
Un nouveau contexte
! L’importance accrue de la statistique, l’usage des calculatrices graphiques et la nécessité d’ouvrir les mathématiques sur les autres disciplines et le monde extérieur sont autant de facteurs qui doivent nous conduire à nous interroger sur la nécessité de faire travailler les élèves sur les différents modes de représentation des fonctions, y compris pour les élèves qui ne poursuivront pas des études scientifiques.
Conclusions
!
Introduction des fonctions plus intuitive, moins formelle
!
Ouverture sur les autres disciplines et le monde extérieur
!
Usage des nouveaux outils TICE
!
Affirmation de la prise en compte des différents modes de représentation
Différents modes de représentations d’une fonction
!
Fonction plus seulement représentée par une formule algébrique
!
Graphique
!
Tableau de valeurs
!
Tableau de variations
Mais …
!
Liens entre ces représentations ?
!
Spécificité, partialité de chacune ?
!
Comment accéder à l’objet fonction au delà de ses représentations ?
Registres de représentation sémiotique (Duval)
!
[…] les représentations sémiotiques [sont] des productions constituées par l’emploi de signes appartenant à un système de représentation qui a ses contraintes propres de signifiance et de fonctionnement.
Registres
!
Une fonction peut se représenter dans différents registres :
– Algébrique (formule)
– Graphique (courbe représentative) – Tableau (de valeurs ou de variation – Langage commun
Activités de traitement
!
Dans chaque registre, on peut résoudre certains problèmes plus ou moins facilement mais on reste dans le registre
Activités de conversion
!
On résout un problème en changeant de registre de représentation
(explicitement demandé ou pas)
!
Ex tracer la courbe représentative d’une fonction à partir de l’expression
algébrique
Par rapport au cadre de Duval
!
Pour que courbes et tableaux de valeurs jouent effectivement le rôle de représentations sémiotiques de l’objet fonction de façon adéquate, il est nécessaire que leur place dans leur registre respectif soit mieux identifiée, par rapport à la spécificité qu’ils ont quand ils représentent des fonctions.
!
Produire quelques activités pour des élèves de 2nde dans le cadre des programmes actuels
Questions pour le professeur de 2nde
!Les modes de représentation utilisés sont-ils questionnés (mode de codages, conventions, etc…) ou sont-ils considérés comme transparents et laissés à la charge de l’élève ?
!La nature des représentations est-elle soulevée (unicité, exhaustivité, …) ?
!Des tâches permettant de faire le lien entre les différents modes de représentation sont-elles proposées ? Quels en sont les enjeux ?
Sur les tableaux/courbes
!Initier une réflexion des élèves sur les rapports (dans les deux sens) entre courbes et tableaux de valeurs et de variations
!Aider à dépasser l’idée de la représentation point par point et faire entrevoir la spécificité d’une relation numérique prenant en compte une variation continue de la variable ?
!Apports et limites d’un tel travail pour l’apprentissage de la notion de fonction numérique ?
Courbe
! Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde – Dans d’autres disciplines
– En mathématiques
! Codage particulier : travail sur la construction et la lecture de courbes
MAIS
! Pas forcément liée aux fonctions
! Courbes particulières en 3ème (droites)
Tableau de données
!
Représentation partielle de la
correspondance entre la variable et son image
!
Choix arbitraire des valeurs
!
Correspondance non univoque avec la fonction
Tableau de valeurs (données) (2)
!Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde – Dans d’autres disciplines
– En mathématiques : tableau de proportionnalité
!Pas de codage particulier
!Techniques de remplissage particulières ? MAIS
!Pas forcément lié aux fonctions
!Tableaux particuliers en 3ème (fonctions linéaires et affines)
!Usage des calculatrices
Tableau de variations
!Condense par un codage adapté toutes les informations sur les variations d’une fonction
!La construction nécessite des connaissances mathématiques spécifiques
!À une fonction correspond un seul tableau de variations
!Mais à un tableau de variations correspondent plusieurs fonctions
Tableau de variations (2)
! Objet nouveau pour les élèves de 2nde
! Codage particulier
! Depuis 2000 tâches moins classiques en classe de 2nde : construire un Tvr à partir d’une courbe
MAIS
! Peu d’enseignement explicite de sa construction et du codage
! Objet transparent laissé à la charge de l’élève
Exercice majoritairement rejeté
! Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-2 ; 14]
dont on connaît les valeurs suivantes :
! Quelle est, à votre avis le plus petite valeur prise par g sur l’intervalle [-2, 14] ?
34 7
41 -7
g(x)
14 8
3 -2 x
Exercice atypique : il manque la courbe !
Soit f une fonction définie sur un intervalle [-2, 2]
dont on connaît les valeurs suivantes.
1-Donner un tableau de variations possible pour f.
2- Est ce qu’on pourrait en donner un autre ? Si oui lequel ? Si non expliquer.
3 1 -1 -3 -5 f(x)
2 1 0 -1 -2 x
Test élève
!83% des élèves arrivent facilement, à partir d’un tableau de valeurs, à tracer une courbe mais 55% ont des difficultés pour donner un tableau de variations
!11% des élèves arrivent à donner une autre courbe (et encore sans changer les variations) et 3%, un autre tableau de variations, correspondant à un même tableau de valeurs
La courbe ci-dessous représente une fonction f de [-4 ; 4]
dans IR. Vous devez donner, sur un seul transparent, des informations (tout sauf une courbe), de sorte que vos camarades tracent une courbe qui ressemble le plus possible à celle-ci.
