Réponse temporelle : solution de l'équation d'état

Automatique

Réponse temporelle : solution de l'équation d'état

UV Automatique

ASI 3

Cours 9

Contenu

! Réponse temporelle à partir de la fonction de transfert

! Calcul de la réponse temporelle à partir du modèle d'état

" Résolution de l'équation d'état

#

Cas scalaire

#

Cas matriciel

#

Mise en évidence de la matrice de transition

" Calcul de la matrice de transition

# Propriétés de la matrice de transition

# Utilisation de la transformée de Laplace inverse

# Développement en série de Taylor

# Théorème de Caley-Hamilton

# Diagonalisation de la matrice d'état

! Exemple récapitulatif

Automatique

Réponse temporelle à partir de la FT

! Cas de la fonction de transfert

Considérons un système mono-entrée, mono-sortie décrit par une fonction de transfert H(s)

) (

) ) (

( U s

s s Y

H

=

^{y ( t ) = L}

⁻¹

( ^{Y ( s )} ) ^{= L}

⁻¹

( ^{H ( s ) U ( s )} )

avec la transformée de Laplace inverse

_L⁻¹

)

( ) ( )

( s H s U s

Y

=

Ce calcul n'est valable que si les conditions initiales sont nulles Exemple

) 1

)(

1 ( ) 1 (

2 1s T s s T

H = + +

s s

U 1

)

( =

Réponse indicielle

s s T s

s T

Y 1

) 1

)(

1 ( ) 1 (

2

1 +

= +

2 1

2

1 ^{1 2}

1 )

( T T

e T e

t T y

T t T

t

−−

−

=

−

−

d'après les tables de TL

Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état

! Cas scalaire

"

TL de l'équation d'état

"

Evolution de l'état

Condition initiale : (II) )

( )

( )

(

(I) )

( )

( )

(

t du t

cx t

y

t bu t

ax t

x

+

=

+

=

& La connaissance de x(t)

permet celle de y(t)

x(0)

( ^x

^&

^{( t )}

⁼

^{ax ( t )}

⁺

^{bu ( t )} )

L

sX ( s )

−

x ( 0 )

=

aX ( s )

+

bU ( s ) ) ) (

0 ) (

( U s

a s

b a

s s x

X = − + −

$ Rappels

( ) ^e

^at

⁼ _{s −} ¹ _a

L

( ^f

₁

^{( t ) * f}

₂

^{( t )} ) ^{= F}

₁

^{( s ) F}

₂

^{( s )}

L

∫

( )⁻

+

= e

^at

x

^t

e

^{a t}

bu d t

x ( ) ( 0 )

₀ ^τ

( τ ) τ

Régime libre

(u=0) Régime forcé (x(0)=0)

#

#

Automatique

Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état

! Cas scalaire

"

Réponse temporelle

"

Remarque

! Généralisation au cas matriciel )

( )

( )

( t cx t du t

y = + ( ) ( 0 )

^{( )}

( ) ( )

0

e bu d du t

c x

ce t

y =

^at

+ ∫

^{t a t−τ}

^{τ τ} +

Si l'origine des temps est t

₀

≠ 0, les équations précédentes ont la forme générale suivante

( )

( ) ( ) )

( )

(

0

0) 0

(

x t c e bu d du t

ce t

y

= ^{a t−t} +

∫

_t^{t a t−τ}

^{τ τ}

+

∫

( )⁻

− +

=

e

^{a t t}

x t

_t^t

e

^{a t}

bu d t

x

0

0

( ) ( )

)

(

^{( )} ₀ ^τ

τ τ







+

=

+

=

) ( )

( )

(

) ( )

(

t DU t

CX t

Y

t BU t

AX

X

&

A

∈R^n×n

m

B

∈Rn^×

n

C

∈Rp^× m

D ∈ R

p^×

t

n

X ( )

_∈

R t

m

U ( )

∈R

t

p

Y ( )

∈R

t0

t >

Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état

!

Généralisation au cas matriciel

"

TL de l'équation d'état

"

Réponse temporelle : généralisation

Conditions initiales : X(t

₀

)

( ^X

^&

^{( t )}

⁼

^{AX ( t )}

⁺

^{BU ( t )} )

L

sX ( s )

−

X ( t

₀

)

=

AX ( s )

+

BU ( s )

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

)

( s sI A

¹

X t

₀

sI A

¹

BU s

X =

_n

−

⁻

+

_n

−

^{− I}_n : matrice identité d'ordre n

( )

( ) ( ) )

( )

(

0

0) 0

(

X t C e BU d DU t

Ce t

Y =

^{A t−t}

+ ∫

_t^{t A t−τ}

^{τ τ} +

∫

( )⁻

− +

= e^{A t t} X t _t^t e^{A t} BU d t

X 0

0 ( ) ( )

)

( ^{( )} ₀ ^τ τ τ

vecteur matricevecteur matrice vecteur

) ( )

( )

( t CX t DU t

Y = +

( ) ( )

( ^{( ) ( )} )

)

( t

¹

sI A

¹

X t

₀

sI A

¹

BU s

X

= L^- _n − ⁻ + _n − ⁻

Automatique

Matrice de transition

"

Remarques

# La réponse temporelle dépend de l'exponentielle de matrice

# Pour U=0, on a . D'où

! Propriétés de la matrice de transition

$

est une exponentielle de matrice.

$

avec I_n : matrice identité d'ordre n

$

$

$

) (t t₀

e

A ⁻

) ( ) , ( )

( )

( t e

^{( 0)}

X t

₀

t

₀

t X t

₀

X

= ^{A t−t} = Φ

) 0

, )

( ⁰

( t t

=

e

^{A t−t}

Φ est la matrice de transition du vecteur d'état initial X(t₀) au vecteur d'état X(t) pour U=0

) 0, ) ( ⁰

(t t = e^{A t−t}

Φ Φ(t₀,t)∈R^n×n

A In

e t

t = =

Φ( ₀, ₀) ^×0

(

^{( )}

)

0, ) ⁰

( e^{A t t}

dt t d

t = ⁻

Φ& ^{( )}

0, ) ⁰

(t t = Ae^{A t−t} Φ&

2

) 1

, 0 ( ) , 0 ( )

, 0

( t₁ +t₂ = Φ t₁ Φ t₂ = e^At e^At Φ

) 0 (

0, ) 1 ( , ) ⁰

(t t ⁻ = Φ t t = e^{−A t−t} Φ

( ) ^{( )}

)

( s sI A

¹

X t

₀

X

= _n − ⁻

) , ( )

,

(t₀ t = AΦ t₀ t Φ&

Calcul de la matrice de transition

! Utilisation de la transformée de Laplace inverse

"

Procédure de calcul

# Former la matrice sI_n−A

# Calculer l'inverse de sI_n−^A

# Prendre la transformée de Laplace inverse de chaque élément de (sI_n−A)⁻¹ La procédure est applicable à la main si l'ordre n de la matrice A n'est pas élevé

( )

¹

1 ⁻

− −

=

sI A e

^At L _n

Soit l'équation d'état

Exemple

) 1 (

) 0 0 (

2 1

3 X t U t

X 



 

 + 



 





−

= −

& Calculer la matrice

de transition

( )

) (

det

) (

comatrice )

( ¹

A sI

A A sI

sI

n n T

n − ⁻ = − −

Automatique

Calcul de la matrice de transition : TL inverse

"

Exemple (suite)

Calcul de la matrice de transition

! Développement en série de Taylor

"

Développement en série d'une fonction exponentielle scalaire

"

Généralisation à une exponentielle de matrice

∑

^∞

+

= =

+ +

+ +

=

0 3

3 2

2

!

! 3

! 1 2

i

i i

at

t

i a t

a t

at a

e

L

∑

^∞

+

= =

+ +

+ +

=

0 3

3 2

2

!

! 3

!

2

_i

i i

At n

t

i A t

A t

At A I

e

L

n n

At

A

e avec

∈R ^×

n n

e

At ∈R ^×

La matrice de transition est une somme pondérée des termes de puissance de la matrice A. On suppose que la somme est convergente

n n i

i

A A A

A

= 1×424×L43×4 ∈R ^×

fois

Le calcul est simplifié si A est nilpotente

Définition : la matrice carré A est dite nilpotente d'ordre k s'il

existe un entier k ≥ ¹ tel que pour tout entier r > k, A

^r

= 0

_n

= [0]

Automatique

Calcul de la matrice de transition : dvl de Taylor

Soit le système caractérisé par l'équation différentielle Jz&&(t) =u(t)

2

) 1 (s Js

H = Double intégrateur )

( )

1(t z t

x =

$

Etats : x2⁽t⁾ = z&⁽t⁾

$

Equation d'état ^u X J

X 



 

 + 



 



= 

1 0 0

0 1

& 0



 



= 

0 0

1 A 0

$

Calcul de la matrice de transition



 



= 



 







 



= 

0 0

0 0 0

0 1 0 0 0

1

2 0

A 2

0 0

0

0  ∀ ≥



 



=  n

Aⁿ

2 2 + +0

= I At e^At

Par conséquent _e^At _t



 

 +



 



= 

0 0

1 0 1

0 0

1 



 



= 

1 0 1 t e^At

$

Solution de l'équation homogène X& = AX(t)

) ( )

(t e ^{( 0)}X t₀

X = ^{A t−t} 



 







 



 −

= ( )

) ( 1

0 ) 1 (

0 2

0 0 1

t x

t x t t t

X

[

^{x t x t}

]

^T

t

X( ₀) = ₁( ₀) ₂( ₀) Conditions initiales



 



 + −

= ( )

) ( ) (

) ) (

(

0 2

0 2 0 0

1

t x

t x t t t

t x X

Exemple

Calcul de la matrice de transition

! Théorème de Caley-Hamilton

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Son équation caractéristique est

∑

^∞

+

= =

0 !

i i i

At t

i e A

Si la matrice A n'est pas nilpotente, le calcul est fastidieux. Le théorème de Caley-Hamilton permet de limiter ce calcul à un nombre fini de termes

Développement de Taylor

$ Equation caractéristique d'une matrice carrée

0 )

det(

)

( = I − A = + a ₋₁ ⁻¹ + +a₁ + a₀ =

P_A λ λ λⁿ _n λⁿ _L λ

Théorème de Caley-Hamilton

Toute matrice carrée A satisfait son équation caractéristique c'est-à-dire

0 )

( = ⁿ + _n−1 ⁿ⁻¹+ + ₁ + _{0 n} =

A A A a A a A a I

P L

On déduit du théorème la relation suivante

n n

n an A a A a I

A = − ₋₁ ⁻¹ −L− ₁ − ₀ ^{An = −n}

∑

^−1a_i^Ai

Automatique

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

! Interprétation du théorème

Cette relation peut alors se mettre sous la forme suivante

Toute puissance k de A c'est-à-dire A^k tel que k>n−1 peut s'écrire comme la combinaison linéaire des n−1 premières puissances de A.

∑

⁻

− =

= ¹

0 n i

i i

n a A

A

∑

⁻

= + = × = − ¹

0

1 n

i i i n

n A A a AA

A

∑ ∑

= −

−

=

+

+ = − = − ⁿ

i i i n

i i i

n a A a A

A

1 1 1

0

1 1

n n n

i i i

n a A a A

A ₁

1 1 1 1

−

−

= −

+ = −

∑

−

∑ ∑

⁻

− =

−

= −

+ = − + ¹

0 1 1

1

1 1 n

i i i n

n i

i i

n a A a a A

A

∑

∑

⁻

− =

−

−

= −

+ = − + + ¹

1 1 0

1 1

1

1 1 n

i i i n

n n

n i

i i

n a A a a I a a A

A ¹ _{1 0} ⁰

1

1

1 (a 1a a )A a a A

A _n

n i

i i i n n

−

−

= − −

+ =

∑

− +

0 avec

)

( ₁

1 0

1

1 = ⁻ 1 − ₋ =

= − −

+

∑

^{a a a A a}

A

n i

i i i n n

) (

avec _{1 1}

1 0

1 − −

−

=

+ =

∑

i = n i − i

n i

i i

n b A b a a a

A

On constate que Aⁿ⁺¹ est une combinaison linéaire de Aⁱ (i=1, …, n−1)

De façon similaire, on peut calculer Aⁿ⁺², … en fonction des n−1 premières puissances de A

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

! Corollaire du théorème

Formule de Sylvester

On peut trouver des fonctions α_i^(t) dépendant du temps telles que

∑

∑

⁻

=

∞ +

= =

= ¹

0 0

)

! (

n i

i i i

i i

At t t A

i

e A α

Cette formule permet de limiter le calcul du développement de Taylor à un nombre fini de termes. Si on connaît les fonctions α_i^(t) , on obtient

e

^At

Justification du corollaire

D'après le théorème =

∑

⁻ = ∞

=

, , avec

1 0

L n k A

b A

n i

i i k

On en déduit =

∑

⁻ = ∞

=

, ,

! avec

!

1 0

L n k k t

b A k t

A ⁿ _k

i

i k i

k

D'où ^{+ +} ₂²_!^{2 + +} ₍ ⁻₋¹ _1)!^{−1 +} _! ^{+ = n}

∑

⁻¹ i^{( ) i} n

n n

n

n t A

n t A n

t A t

At A

I _{L L} α

A^k tel que k>n−1 s'écrivant comme la combinaison linéaire des n−1 premières puissances de A, e^At est aussi une combinaison linéaire des n−1 premières puissances. Les coefficients sont dans ce cas des fonctions du temps

Automatique

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

! Calcul des fonctions α

_i

^(t)

"

Cas 1

On suppose que la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres distinctes

λ_j ^j =^1,_L^,n

On montre que les fonctions sont solutions du système de n équations

1 , , 0 )

(t i = n−

i L

α















+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

− −

− −

− −

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1 1 1

0

1 1 1

2 0

1 1 1

1 0

2 2

1 1

t t

t e

t t

t e

t t

t e

n n t n

n n t

n n t

n

n α λ α λ α

α λ α

λ α

α λ α

λ α

λ λ λ

L M

L L

La méthode nécessite la détermination préalable des valeurs propres

de la matrice A. On associe une équation à chaque valeur propre.

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

) 1 (

) 0 5 (

1 2

2 X t U t

X 



 

 +



 





= −

&

Exemple

Calculer la matrice de transition

$

Valeurs propres de A : λ₁ = 3 et λ₂ = 4

$

Détermination des fonctions α_i^(t)







+

=

+

=

) ( )

(

) ( )

(

1 2 0

1 1 0

2 1

t t

e

t t

e

t t

α λ α

α λ α

λ λ







+

=

+

=

) ( 4 ) (

) ( 3 ) (

1 4 0

1 3 0

t t

e

t t

e

t t

α α

α

α 



 







 



= 













) (

) ( 4

1 3 1

1 0 4

3

t t e

e

t t

α α











 



 



= 



 



 ⁻

t t

e e t

t

4 1 3 1

0

4 1

3 1 )

( ) ( α α















 





−

= −



 





t t

e e t

t

4 3 1

0

1 1

3 4

) (

) ( α α







+

−

=

−

=

t t

t t

e e

t

e e

t

4 1 3

4 0 3

) (

3 4

) ( α α

A t I

t

e^At =α₀( ) ₂ +α₁( )

$

Matrice de transition



 



 + −



 



= 

5 1

2 ) 2

1 ( 0

0 ) 1

( ₁

0 t t

e^At α α



 − − +

= ^{t t t t}

At e e e e

e

4 3

4

3 2 2

2

Automatique

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

! Calcul des fonctions α

_i

^(t)

"

Cas 2 : la matrice A a des valeurs propres non distinctes

Soit λ_j une valeur propre simple. On lui associe l'équation )

( )

( )

( ₁ ¹ ₁

0 t t t

e ^t _j ⁿ _n

j

j =α +λ α + +λ − α −

λ L

Soit λ_k une valeur propre multiple, d'ordre de multiplicité r On lui associe les équations suivantes

( )

( )















+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

− −

− −

− −

) ( )

( )

) ( ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1 1 1

0

1 1 1

0

1 1 1

0

t t

d t d d

e d

t t

d t d d

de

t t

t e

n n r k

k r k r

r t

n n k k

k t

n n t k

k k

k k

k k

α λ α

λ λ α

λ

α λ α

λ λ α

λ

α λ α

λ α

λ λ λ

L M

L L

En procédant ainsi pour toutes les valeurs propres simples ou multiples, on établit un système de n équations duquel on déduit les fonctions α_i^(t)

Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton

) 0 (

) 1 2 (

1 1

0 X t U t

X 



 

 +



 





−

= −

&

Exemple

Calculer la matrice de transition

$

Valeurs propres de A : λ₁ = −1

$

Détermination des fonctions α_i^(t)

( )







+

=

+

=

) ( )

( ) ( )

(

1 1 1 0

1

1 1 0

1 1

t d t

d d

de

t t

e

t t

α λ λ α

λ

α λ

λ α

λ







=

+

=

) (

) ( )

(

1

1 1 0

1 1

t te

t t

e

t t

α

α λ α

λ λ

A t I

t

e^At =α₀( ) ₂ +α₁( )

$

Matrice de transition



 





− + −



 



= 

2 1

1 ) 0

1 ( 0

0 ) 1

( ₁

0 t t

e^At α α













−

−

= + ₋^{− −} ₋

t t

t At t

e t te

te e

e t

) 1 ( )

1 (

valeur propre double







= +

=

−

− t

t

te t

e t t

) (

) 1 ( ) (

1 0

α α







=

−

=

−

−

) (

) ( )

(

1

1 0

t te

t t

e

t t

α

α α

Automatique

Calcul de la matrice de transition

! Matrice diagonale

! Matrice diagonalisable

Si la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable c'est-à-dire

−1

=TDT

A

avec

















=

n

D

λ λ

0

1 0

O

T : matrice des vecteurs propres de A

On montre que

e^At ₌Te^DtT⁻¹

Si la matrice carrée A d'ordre n est diagonale on a

















=

n

A

λ λ

0

1 0 O

















=

t t

At

e n

e e

λ λ

0

0

1

O

Réponse temporelle : exemple

Exemple



[ ]





=



 

 +



 





−

= −

) ( 1 0

) 1 (

) 0 0 (

2 1 3

t X y

t U t

X X&

Calculer la réponse indicielle du système

Automatique

Linéarisation du modèle d'état

! Linéarisation autour du point

^{(X,U )}

On réalise un développement de Taylor au 1

^er

ordre de f et g















∂ + ∂

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂ + + ∂

≈ +

+

=

∂∂ +

∂∂ +

∂∂ + +

∂∂ + +

≈ +

+

=

U m X p U

X p U

n X p U

X p p

p p

U m X U

U X n X U

X

U g U

g X

g X

U g X g t

u U t x X g Y

U g U

g X

g X

U g X g t

u U t x X g Y

, 1 ,

, 1 ,

, 1 1 ,

1 ,

1 1 ,

1 1 1

1

) , ( ))

( ),

( (

) , ( ))

( ),

( (

L L

M

L L

$ Equations d'état

$ Equations de sortie











∂∂ +

∂∂ +

∂∂ + +

∂∂ + +

≈ +

+

=

∂∂ +

∂∂ +

∂∂ + +

∂∂ + +

≈ +

+

=

U m X n U

X n U

n X n U

X n n

n n

U m X U

U X n X U

X

U f U

f X

f X

U f X f t

u U t x X f X

U f U

f X

f X

U f X f t

u U t x X f X

, 1 ,

, 1 ,

, 1 1 ,

1 ,

1 1 ,

1 1 1

1

) , ( ))

( ),

( (

) , ( ))

( ),

( (

L

& L M

L

& L