1 Université Claude Bernard Lyon 1
Licence STS Année 2010-2011
Math I Analyse
Interrogation écrite, le 21 janvier 2011, de 8heures à 10 heures
Question de cours
Enoncer le théorème des accroissements finis (Théorème de Lagrange).
Correction
Soit une fonction [ ] , avec . On suppose que est continue sur [ ] et dérivable sur ] [. Alors il existe ] [ tel que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) Exercice
Trouver l’unique fonction dérivable telle que ( ) et telle que ( ) ( )
Pour tout . Correction exercice
Il faut d’abord résoudre l’équation homogène
( ) ( ) ( )
( ) | ( )|
La solution générale de l’équation homogène est :
( )
Ensuite on cherche une solution particulière de l’équation avec second membre de la forme ( ) ( )
On dérive
( ) ( ) ( )
( ) ( ) Ce que l’on remplace dans
( ) ( )
( ) ( ) ( ) Comme prévu, les termes en ( ) s’éliminent
( ) Puis on simplifie par
( ) Comme on cherche une solution particulière
( ) Ce que l’on remplace dans
( )
2
La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière :
( ) ( )
Il reste à déterminer la constante à l’aide de la condition initiale ( ) ( ) ( ) La solution recherchée est
( )
Problème
Soit un entier naturel supérieur ou égal à . On définit la fonction [ [ par
( )
En particulier on a ( ) , ( ) et ( ) . 1. Etudier les variations de sur [ ].
2. (Question indépendante de la suite de l’exercice) Montrer que est une bijection de [ ] dans [ ( ) ( )] et montrer que [ ( ) ( )] [ ] est dérivable.
3. Démontrer qu’il existe un unique réel ] [ tel que ( ) . 4. Calculer et .
5. Démontrer que, pour tout et pour tout ] [, on a
( ) ( )
6. En déduire que ( ) et que la suite ( ) est strictement décroissante.
7. Montrer que ( ) est convergente.
8. Notons la limite de la suite ( ) . Montrer que .
Dans la suite du problème on va calculer la valeur de la limite . On définit la fonction [ [ par : ( )
9. Montrer que ( )
10. Montrer que ( ) ( ) et en déduire que, pour tout [ [, on a : ( ) ( )
( ) 11. Sachant que , pour tout , calculer
( ) ( )
( ) 12. Démontrer que est racine de l’équation .
13. Calculer la valeur de . Correction du problème
1. est définie, continue et dérivable sur [ ], pour tout
( ) ( ) Donc est strictement croissante sur [ ]
2. est strictement croissante donc elle est injective, son ensemble d’arrivée est [ ( ) ( )] donc elle est surjective, par conséquent est une bijection de [ ] dans [ ( ) ( )].
Comme ( ) est strictement positif, la bijection réciproque de est dérivable.
3. ( ) et ( ) ( ) En fait peu importe la valeur de ( ), l’essentiel est de s’apercevoir que ( ) , comme est une bijection de ] [ dans ] ( ) ( )[ et que ] ( ) ( )[, admet un unique antécédant
] [ c’est-à-dire tel que : ( ) .
3 4.
( )
( )
Admet comme racine et donc
5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donc
[ ] ( ) ( ) 6. D’après 5. Comme ] [ :
( ) ( ) On en déduit que
( ) ( ) Car ( )
Pour tout , est strictement croissante donc, pour tout :
On en déduit que ( ) est strictement décroissante.
7. ( ) est strictement décroissante et minorée par , ( ) converge.
8. La suite ( ) est décroissante donc pour tout , , on en déduit que . D’autre part donc .
9. Pour tout , ce qui est le cas puisque [ [.
( )
10. Pour tout [ [
( ) ( ) ( ) On en déduit que
( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
11. Il s’agit, à chaque fois, de forme indéterminée, mais c’est la fonction puissance qui l’emporte sur (et . On rappelle aussi que entraine que
( ) ( ) ( )
( )
( ) 12. Ce qui montre que : vérifie
13. à pour discriminant
( √ ) Les solutions sont
√
√
4 Et
√
√
Comme , , on vérifie facilement que , donc √
