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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Defrise, L. (1969). Groupes d'isotropie et groupes de stabilité conforme dans les espaces lorentziens (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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Nous donnons une caractérisation globale nouvelle de la solution de Schwarzschild parmi une classe d'espaces temps statiques du vide.

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

Faculté des Sciences

REÇU le

5 MA11939

Rép;. . . .

BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES

ET D

HHYSIUUE

GROUPES D ' ISOTROPIE ET GROUPES DE STABILITE

CONFORME DANS LES ESPACES LORENTZIENS.

SH P

de diriger ce mémoire et m'en a proposé le sujets

Ses conseils et ses suggestions ont permis l'élaboration de ce travail. J'ai trouvé un grand encouragement dans l'intérêt constant qu'il a manifesté pour le sujet que j'ai traité.

Que Monsieur le Professeur M. CAHEN trouve ici l'expression de ma plus vive reconnaissance pour les nombreuses améliorations qu'il a apportées â ce travail et pour l'enthousiasme avec lequel il l'a suivi.

La collaboration que j'ai pu avoir avec lui au sujet des métriques de type D localement isotropes m'a été fort précieuse.

Je remercie Monsieur J. LEROY pour les nombreuses discussions que j'ai eues avec lui, en particulier sur les corepères canoniques.

J'ai été très sensible à l'intérêt amical que Monsieur R. Mc LENAGHAN a prêté au sujet de ce mémoire. Je lui adresse en particulier mes remerciements pour les suggestions concernant le dernier chapitre.

Ma reconnaissance va également aux Professeurs 6. ELLIS, W. KUNDT et F. PIRANI qui m'ont fait part de plusieurs remarques et suggestions.

Le Fonds National de la Recherche Fondamentale et Collective m'a accordé une bourse de recherche pendant quatre années académiques ainsi qu'une aide matérielle qui m'a permis d'assister au Colloque de Relativité tenu è Paris en 1967 et de participer aux trois séminaires organisés par le King's College et l'Institut d'Astrophysique de Cambridge en 1968 et 1969. Je lui adresse tous mes remerciements.

T^BLF DES MATIERES

INTRODUCTION

p.I

CHA.PITRE I - Groupes de mouvements et groupes de

transformations c^Dtiformes 1

§

.

§ 1. Formalisma vectoriel complexe et

corepères de Petrov 3

§ 2 c Difféomoz phissae 4^ de V - Transport

d’un objet géométrique par » 8 § 3c Groupe continu de transformations

-Théorèmes de Lie 11

§ 4 . Sous-grcupe de G - Sous-groupes d^^^

stabilité 16

§ 5c Invariants de G - Variétés minimales

invariantes 18

§ 6c Dérivées de Lie associées à une trans­

formation infinitésimale 19

§ 7. Groupes de siou\^ement8 22

§ 8 c Groupe J'isotropie 27

§ 9o Le groupe A •> L'existence de I

implique celle de A ^ 30

§ 10< Groupe de transformations conformes 34

CHAPITRE II - Propriétés remarquables liées à

l'isotropie et détermination des espaces lo­

calement isotropes du vide 42

§ 0. 42

S le Résultats obtenus par A.Zc Petrov 45 § 2. Propriétés remarquables liées à l'iso­

tropie 48

§ O. 75 § 1. Métriques de type D localement

isotropes 76

§ 2. Corepère canonique et système 80 § 3, Pronviétés des métriques admettant un

groupe d’isotropie 87

CHAPITRE IV - Espaces de type N admettant un

groupe d’isotropie 101

§ O.

§ le Espaces de type N admettant un

groupe d’isotropie 102

§ 2, Corepère canonique, système |c.I.k}

et construction des métriques du § 1 104 § 3e Propriétés des métriques admettant un

groupe d'isotropie 121

CHAPITRE V - Esp>aces minkowskiens conformes

admettant un groupe d’isotropie 127

§ Oc 12?

§ 1. Espaces de type I 130

§ 2 c Espaces de type II 139

§ 3« Espaces de type III 140

§ 4 c Espaces de type IV 143

CHAPITRE VI - Un théorème sur les transformations conformes dans des espaces confOKméroent

équivalents - Groupes de stabilité conforme 145

§ 0, 145

§ 1. Invariant conforme de poijfids n 147 S 2, Théorème sur les transformations

conformes dans des espaces confor­

152

§ 3, Existence d’invariants conformes dans les espaces lorentziens

§4. Groupes de stabilité conforme pour

les espaces lorentziens 156

§ 5. Espaces à ondes planes à rayons

parallèles 157

APPENDICE 159

L’étude des travaux de GoIoKrouchkovitch ÇOj et de A.ZoPetrov

J27j sur les groupes de mouvements dans les espaces lorentziens

est à l’origine de notre travail sur les groupes d'isotropie.

Dans son livre sur les Espaces d’Einstein , A.ZoPetrov re­

prend les résultats de Krouchkovitch , les complète et présente

un ensemble d’espaces-temps admettant un groupe de mouvements

donné. Pai“mi les espaces admettant un groupe d’isométries, il

nous a paru que les espaces admettant un groupe de stabilité

( ou groupe d’isotropie) présentaient un intérêt particulier.

En effet, de nombreuses solutions des équations d’Einstein sont

localement isotropes s citons, par exemple, la métrique de 6chwar=

sschild et les métriques à ondes planes à rayons parallèles. De

plus, les récents développements de la cosmologie justifient l’in­

térêt porté eux solutions des équations d’Einstein admettant un

groupe d’isotropie, particulièrement lorsque l’ordre de ce groupe

est un. Récemment, plusieurs auteurs ont construit des solutions

localement isotropes, décrivant un fluide parfait [^14 et 523° Le livre de A.Z.Fetrov contient de nombreuses métriques lo­

calement isotropes . Toutefois, à la su5*te d’omissions et d’hypo­

thèses restrictives que nous exposons au Chapitre II, cet ensemble

de métriques est fort incomplet . D'autre part, la méthode suivie

-II

jours une construction explicite deF «"étriqués et ne conduit

pas à une description du groupe d’iâotropieo

Ces différentes raisons nous ont conduit à reprendre le

problème de l’isotropie en suivant une autre méthode»

Nous avons établi un théorème donnant les conditions néces­

saires et suffisantes auxquelles doit satisfaire un espace

riemannien pour être localement isotropes»

L’application de ce théorème , pour les espaces lorentziens,

est particulièrement simple si l'on utilise le formalisme vec —

toriel complexe [3bjetî8al O Nous exposons cette applica

tion en détails au Chapitre II»

Nous avons pu construire explicitement tous les espaces-

temps localement Isotropes »Dans chaque cas, nous décrivons

le groupe d'isotropie par la donnée du sous groupe A du grou-

pe de Lorentz ( ce sous-groupe sera défini au S9 du Chapi -

tre I) que le groupe d'isotropie induit en chaque point de 1’

espace »

L'utilisation du formalisme vectoriel complexe repose

sur le choix d'un corepère isotrope qui est lié au comporte­

ment du tenseur de Weyl çu, lorsque ce tenseur est nul,au com­

portement du tenseur de Ricci» Nous avons donc repris la clas­

sification du tenseur de Weyl de AoZoPetrov et celle du ten -

seur de Ricci que nous avons établie dans [,9al »

Les espaces de type I,II et III de Petrov ne peuvent

admettre de groupe d'isotropie» Nous avons consacré les Cha­

0 (minkowskiens conformes) ce Petrovo

Nous déterminons parmi tous ces espaces, des solutions par­

ticulières des équations d"Einsteino Plusieurs solutions sont nou­

velles 5 nous retrouvons,par ailleurs , de nombreuses solutions

classiques et nous montrons qu'elles peuvent être entièrement ca--

ractérisées par la dimension et le caractère du groupe d'isotropie

Par exemple, les métriques de Schwarzschild sont les solutions du

vide des espaces qui admettent un groupe d'isotropie d'ordre un ,

opérant dans un 2-plan intégrable et non isotrope o Si ce 2-plan

é'est pas intégrable, les solutions du vide correspondantes sont

les métriques Taub-Nut <,

L'étude de l'isotropie nous a conduit à des résultats re­

marquables que nous exposons au Chapitre IIo Noue avons, en par­

ticulier, montré que l'existence d'un groupe d'ordre q en -

traîne l'existence d'un groupe d'isotropie de même ordre» Cette

relation d'implication avait été établie,pour des espaces par -

ticuliers par GoEllis (_I^b3 et par M»Cahen et moi-même £3&3 °

D'autre part, nous avons construit , dans chaque cas ,un

corepère canoniquement associé au groupe , dans lequel les cor o

ditions d'intégrabilité des équations de Kllling ont une forme

particulièrement simple » La relation entre l'existence d'un tel

corepère et celle d'un groupe d' isotropie a été soulignée,pour le$

espaces du vide, par M»Cahen et R»PoKerr tl9bî ,

-IVo

tioïl de l’étude des eouB“groupes de stabilité dans 3.e cas où

les transformations admises par l’espace ne sont plus des i "

eométries, maie des transformations conformeso

Noiis avons établi un théorème qui donne une réponse

simple au problème de la détermination des espaces lorentziens

admettant un sous-groupe de stabilité conforme» Ce théorème

donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un es-

pace de Hiemann qui admet un groupe de transformations'

conformes , admette un espace qui lui est conformément é~

quivalent pour lequel le groupe est un groupe de mouvements»

L’application de ce théorème permet donc de réduire -

sauf dans certains cas particuliers- l’étude des groupes de

transformations conformes à celle des groupes de mouvements .

Nous avons montré que les seuls espaces de lorentziens

qui ne satisfont pas aux conditions du théorème précédent, sont

les espaces conformes aux espaces à ondes planes à rayons paral­

lèles. L’étude des sous-groupes de stabilité conforme dans les

espaces-temps se réduit donc à l’étude des groupes de transfor -

mations conformes des espaces à ondes planes à rayons parallèles

(§6 du Chapitre VI).

Indiquons que le Chapitre I contient un résumé de résul­

tats classiques sur les groupes de mouvements et de transforma­

tions conformes. Chaque Chapitre est précédé d’un paragraphe d’in­

CHAPITRE 1. Groupes de mouvements et groupes de transformations conformes s Préliminaires »

§ Oc Le cadre de notre travail est celui de la Relativité Géné­

rale : une variété V^, sur laquelle est définie, en tout

point, une métrique régulière de type hyperbolique ; on

suppose, de plus, l'existence d'un champ continu de vecteurs

temps, assurant une orientation "temps” cohérente. Une telle

variété est appelée lorentzienne. En chacun de ses points, on

peut écrire la métrique sous la forme

Jl»"- , . (,w')‘ (u*)‘

-où les w sont un système de formes de Pfaff locales, liné­

airement indépendantes.

On suppose, en général, que les variétés sont de classe

C , C p.m. [voir par ex, [23] ]. Hous n'avons pu nous limiter

à cette hypothèse: comme nous le verrons dans le Chapitre II,

nous sommes amenés à utiliser l'existence et la continuité par

morceaux des secondes dérivées covariantes du tenseur de

Rieroann : . Nous supposons donc les variétés 2 5

de classe C , C p.m.

Le but de ce premier chapitre est d'arriver à la défini­

tion des groupes de mouvements et des groupes de transformations

2.-variété riemannienne générale de tels groupes, et de

sous-groupes de stabilité,

La plupart des résultats que nous exposons sont classiques t

nous nous basons essentiellement sur les livres de P.M,

Cohn {6], L.P. Eisenhart [13], J,A. Schouten [31], et K, Yano

[35}

Notons que nous avons complété le théorème classique

1,7.1 sur l'existence d'un groupe 6^ de mouvements, par le

théorème 1,8.1 sur l'existence d'un groupe d'isotropie

Ce second théorème sera essentiel pour la détermination des

espaces admettant un groupe d'isotropie (voir Chapitres II à V) ,

Pour faciliter l'exposé, nous supposons d'abord et

les champs de vecteurs s fie classe C , Nous indiquerons

ensuite comment les résultats gui nous intéressent restent

valables dans le cas où la variété est supposée de classe

-y 5

C", C p.m.

Au § 9, on voit comment l'existence d'un groupe d'isotro­

pie I^ implique celle d'un sous-groupe de •

R,P, Kerr [19 b] a montfé cette relation d'implication, et

donne l'égalité r » N -1° 9 , où r est le noitûsre de vecteurs

de Killing linérairement indépendants, N le nombre de vecteurs

de Killing indépendants et q la dimension du sous-groupe

Nous commençons ce chapitre par un bref rappel du forma»

lisme vectoriel complexe, que nous utilisons dans ce travail.

S lo Formalisme vectoriel complexe et corepères de Petrov^

Ce formalisme a été décrit en détail dans [3b] et

[8 a]. Nous adopterons les mômes conventions que dans [8 a ],

Rappelons les formules importanteso

En chaque point de nous choisissons dans l'espace dual

T* de l'espace tangent, une cobase 9® (a» O, 1, 2, 3),

tr

telle que la métrique s’écrive :

(la.i) . e^e")

Les formes 6 et 0 ^ sont réelles et 0 ^ ( 6 o

L’orientation est fixée par

(ia.2) 0* A A ©*■ A s i

a û®

Si sont les composantes de u dans un système de coordon» fit

nées locales x , ^ les composantes des vecteurs de base de .a

Tp canoniquement associées aux 0 , l’orientation de temps est

fixée par la condition

(1.1.3) K‘* >o

Désignons par (i =« 1,2, 3) la base de l’espace des

2»forn^s autoduales

4 o“"

Représentons par

(1.1.4) • = ZM* » i

le tenseur métrique de l'espace des 2-formes autoduales.

La connexion riemannienne définie sur par est

déterminée par une l>£orise W à valeurs dans l'algèbre de Lie

du groupe de Lorentz <4!^ (partie connexe de l'identité du

groupe de Lorentz) qui est telle que la torsion soit nulle s

(1.1.5) ûl9^ + h 0** so

Cette connexion peut aussi être déteinainée par une Informe O"

à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe SO^(C) dans l'espace i

Z « et telle que :

(101.

6

)

ciz^

^ "Z. «O

La courbure est déterminée par une 2>£orme à valeurs dans rt

l'algèbre de Lie de oL^

(lolo7) jn_ b B gLik} b ^ u) 6 ^ 00 b

ou encore par une 2~£orme IL à valeurs dans l'algèbre de Lie du

groupe SO^(C) s

(

.

.

)

fe.

Nous utilisons les trois l-formes CT et les trois 2->£ormes

définies respectivement par

(I.lo9)

a-^.

«

U.i.io) \

ai on décompose 21|^ dans la base , on obtient :

(lololl) Z.^ « ( ^ ~ y*ki ^ ^ ^

Le tenseur symétrique, de trace nulle Cij correspond à la

partie auto-duale de tenseur conforme de Weyl, R est la cour<>

bure scalaire, est une matrice hermitienne qui correspond

à la partie sans trace du tenseur de Riccio

Les identités de Bianchi ont la forme %

(loi,12) »0

où O est l'opérateur de dérivation absolue dans l'espace

Nous donnons en appendice le développement des identités de

Bianchi et des équations de courbure (loi,10) (A, I et II),

Les solutions communes des équations

(Iolol3) Cci V 2}

déterminent 4 vecteurs Isotropes caractéristiques associés au

tenseur de Weyl.

Si ces 4 vecteurs ne coïncident pas, l'espace est de type I

dans la classification de Petrov [16, 27], Il est de type II,

s'il a un vecteur caractéristique double et 2 vecteurs simples,

de type D s'il possède 2 vecteiirs doubles, de type III s'il

possède un vecteur triple, de type N si les 4 vecteurs

6.-Pour chaque type de Petrcv^ choisissons un corepère

tel que la parti© auto-duale du tenseur de Weyl ait la forrsa

suivante s

v-C.li. (^k ’ï.\^ ^ 2. ^jv X ■*. Z

(loi.14) Type I

(1 = 1.15) Type II ^a(vt,S * C«. (h^V

(1.1.16) Type III

(Iolol7) Type D _{(^** X Z ijS +- X^Zy£ v-Z^Zv^^}

(1.1.18) Type N Z^S

Dans chacun de ces cas^ nous avons choisi le vecteur fu

comme vecteur caractéristique ; est alors nul. Si le

vecteur caractéristique est double « on a « O y s “il est

triple ® ^12 ” ® et s'il est quadruple » ^23* Dans les cas où il existe un second vecteur caractéristique

(I0I0I4, 15^ 16 et 17)P choisissons pour ce second vecteur le

vecteur

22

caractéristique est double (type

On a alors C__^ O et si ce second vecteur

P on a ^23 *

Le corepère est alors déterminé au sous-groupe A (a, b) d’ordre

Les Cij constituent une représentation linéraire du groupe

A(a« b) [AoIII]. En imposant atix Cij, pour les types I, II. III de Petrov, respectivement les conditions :

(1.1.20) C^3 » C23 ; “ ^23 ' ^23 “ ^

on peut déterminer, dans la famille de corepères (Icl.l9}, un

corepère de façon univoque et intrinsèque. En effet, si dans a ^

deux corepères arbitraires de la famille (loldS) et

® {} S"

h. , on impose aux C. . , C. . les conditions (1.1.20),

le nouveau corepère h qui réalise ces conditions, ne dépend

a a

pas du corepère initial h ou h

Le corepère ainsi déterminé est donc formé de 4 vecteurs inva­

riants différentiels [A. IV] du tenseur métrique

(

1

1

21

k

D'après un théorème classique [31], le corepère est un invariant

algébrique du tenseur de Riemann et de ses dérivées successives.

Dans le cas du type D de Petrov, €3^3 ast invariant pour

A (a, b) ; on ne peut donc préciser davantage le corepère avec

la seule connaissance des ba question de savoir si l'on

peut -et à quelles conditions- déterminer un corepère univoque­

ment ou à un sous groupe d'ordre 1 de A (a, b) près est lié à

l'existence d’un groupe d'isotropie, comme nous le verrons au

Chapitre II.

Enfin, dans le cas du type N, le corepère tel que 033 » 1,

s,

( X OI. „2,2)

Nous donnons dans l’appendice [A.IIl] la variance de E.« et

a

i

des coefficients de rotation pour les groupes A(a„b) et

A(^ ), Nous utiliserons dans la suite (Ch.II) le fait que les

constituent une représentation linéaire de ces groupes «

<>s ^ â,

représentation linéaire pour A (a .b) et

et pour AC'^ ) .

t

§ 2. Difféoxnorphiswe ^ de - Transport d’un objet géométrique gar 0- ■ e.

Soit ^ un difféoniorphisme de établissant une corres­

pondance entre les points d’une région R et d'une autre ré­

gion ’Ro Cette correspondance est décrite^ dans un système de

coordonnées locales , par s

(1.2.1) m

ffi A

où les fonctions ^ sont analytiques.

§

Introduisons un nouveau système de coordonnées * tel que y

le transformé P (dans ’R) de P ait les snêmes coordonnées

dans le nouveau systèiiie ( X } que le point P (dans R) dans

l’ancien système ( X.^ ).

Si la transformation inverse de (1.2.1) est :

(

1

.

2

.

2

)

le nouveau système de coordonnées X* est déterminé par :

^ en chaque pto "P* dans le système w (dans R) dans le

Le système de coordonnées { "X* ) est dit "transporté” du

oit i

système ^ par le difféomorphisme y o

Considérons un objet géométrique [voir A.IV) <j)/y défini dans

Rc Définissons le champ dans ’R comme le champ

dont les composantes

( ), sont égales aux composantes de

système ( , au point correspondant P,

On a donc :

(1.2.4) ^4'a'

Le chcunp est dit “transporté” du champ c|>/\ par le difféO'

morphisme

Remarquons qu'on peut introduire, dans le cas où les objets

dont des tenseurs , la notion de "transport” par un difféo­

morphisme, de manière intrinsèque. On trouvera, par exemple,

une présentation détaillée à ce sujet dans la Thèse de 6o

Ellis [14 a].

Notons que le difféomorphisme ^ induit, en tout point fixe P,

une ^plication linéaire de l'espace tangent T .

En effet, l'application t c Tp (Ic2o5) 1 s'écrit, si 'P * P : (1,2 o6) » i**- C

T/

_P

2£i

Si la distance d's entre les deux points transformés

lot­

ies deux points de départ et

le difféoicorphisme est appelé isométrie ou mouvement de V^.

La condition nécessaire et suffisante pour que <|> soit une iso­

métrie est qu’on ait pour tout point x où est défini :

(I.2e7) ^ C»-)

-De (I,2o7)« on déduit l'ensemble des conditions suivantes :

(1.2 o8) a r^y Cx)

i*-') e !

; il " is <•*’’) * •• î,Cx) ^ ...

En effet, si 4Vv objet géométrique, n'est

par un objet géométrique, mais bien l'ensemble 9a 1|[

De la définition du "transport" par ^ d'un objet géométrique,

il résulte qu'on a t

(1.2.9) ^{<j>A,v4>Ai = r<^>A>

Donc si , on en déduit que

(1.2.10) |,4^a > 4^a ^ = i,

Appliqfuant (Io2ol0) à et Oy , on déduit

aisément les conditions (l.,2o8)c

Notons encore que si la distance d's entre deux pointa trans­

formés et 4- dL^x*^ et la distance de entre les

points de départ x**" et x dx*** sont liées par la re­

lation :

où est une fonction de , la difféoxRorphisme <|>

est une transformation conforme.

Si la fonction ^ est constante, la transformation est appelée

homothétie.

La condition nécessaire et suffisante pour que le difféomorphls-

me soit une transformation conforme est qu'on ait

(

1

.

2

.

11

)

§ 3. Groupe continu de transformations - Théorèmes de Lie

Rappelons que l'ensemble 6 est un groupe de Lie si les

trois conditions suivantes sont vérifiées

a) G est un groupe

b) G est une variété analytique

c) L'application (a» a) ^ a. a deGxG G est analytique.

•*-2 12

• iL

Soit a (i 1... r) un systéine de coordonnées au voisinage de

l’élément neutre a^ . On réalise la condition c) par

C /

J

(1.3.1) f ' C'î- ?-) - 9 U t •■■ ?■) >

où les fonctions sont analytiques. Ce sont les fonctions

de composition de 6 dans le système de coordonnées (a^) .

Un groupe de Lie G est un groupe de transformations d'une va­

riété analytique si, à tout couple d'éléments

trols conditions suivantes soient vérifiées ;

a) L*application (x* a) ^ °x > xa de V x 6 dans V

n n

est analytique

b) X g a x pour tout X é Vn

c) (x a ) a » X (a a) pour tout x 4 V « a,, a é G

1 2 12 » 1 2

12o-La dimension r de la variété G est appelée 1 ^ordre du grou­

pe et nous noterons ce groupe par G^, pour indiquer que 6 est

vu comme groupe de transformations de V^.

Si A 3 le seul élément pour lequel on ait xa <■ x pour

tout X» le groupe est dit effectif.

Soit a^ un système de coordonnées au voisinage de a dans G«

J

x*^ un système rie coordonnées dans V o La conditions a) n

est décrite par s

(I.3o2) - f* (5 Okr ■— OL. •)

oû les sort des fonctbns analytiques et telles que ;

ü*fc 1'^

La propriété du G^ d’Ôtre effectif se traduit coimne suit :

on ne peut trouvrer r-1 fonctions A... A des r paramètres 1 r-1

a^ telles qu°on ait

(1.3.3) ^

X JT

Les r paramètres a ..o a sont dit essentiels.

Le premier théorème fondamental de Lie répond à la question de

que doivent vérifier des équations de la forme (Ic3c2^ pour

décrire un groupe de transformations »

Théorème de Lie 1 - 1ère partie :

SiJIes fonctions inversibles (Ic3o2) gavée r paramètres

2

essentiels formant un groupe« il existe r fonctions ^ •

At (ok»*) î ^o et nr fonctions (*-•*)

pour lesquelles n'existe pas d'équation de la foroie U

s O _{à coefficients constants, telles qu'on}

ait £

(1.3.4) = AJ (-") (.'»*) , -tr.H. 1.-1.

oû les fonctions (a) sont telles que :

(Ie3c5) a;, sj

Les nr fonctions définissent en chacpie point de

2

r vecteurs linéairement indépendants, et les r fenc- j i

tiens A£ (a ) r vecteurs contravariants dans 6 qui forment,

au point g du groupe G, l'algèbre de Lie de G, isomorphe

à l'espace tangent à G au point g.

Remarque : r vecteurs sont linéairement indépen­

14

o-Les r vecteurs (.*•) permettent de décrire teutes les

trans-fezmatiens infinitésimales correspondant aux points infiniment “i b *i

voisins de l'élément neutre go Au point g^+ e” A£ (a^) dt

(où e^ sent r nombres arbitraires,^ « correspond la transfonoa-

tion infinitésimale t

(Io3.6) V = ctfe

Pour trouver les transformations finies du groupe 6^ , on

intègre Inéquation différentielle (^cf. 1.3.4)

dL* , 4 . 4, (I = 3o7)

avec la condition pour t =« O.

La solution a la forme :

b X

(I = 3o8) .4 , Où :

(1.3.9)

X

Les r opérateurs sont les opérateurs infinitésimaux du

groupe

L'expression (1.3.8) représente le groupe engendré par

la transfoirmation inifitésimale (1.3.6), notée X.

Le sytèrae (1.3.4) est complètement intégrable : on en déduit que

les r opérateurs X^ de G^ vérifient le système d'équations s

(1.3.10) [X<^ Xtl s CowW Xo ,

c 12

structure du groupe G^. Cela constitue la première partie du

théorème tondaAental de Lie II,

L'algèbre de Lie des opérateurs est isomorphe à l’algèbre de

Lie de G «

La réciproque du théorème fondamental I - 1ère partie s’énonce :

si les transformations (1.3,2), où ^

dépendant de r paramètres essentiels et contenant la transfor­

mation identique solutions d’un

système d’équation de la forme (1.3.4) où les «

font aux conditions énoncées dans la 1ère partie du théorème I,

ces transformations forment groupe.

et A£

satis-Donnons encore la seconde partie du théorème II t

satisfaisant aux conditions (1.3.10), ces opérateurs sont les opé­

rateurs infinitésimaux d'un groupe de transformations (1.3.2).

Dans la suite, par groupe G^ nous entendrons r opérateurs

satisfaisant aux conditions (1.3.10).

sont r opérateurs linéairement indépendants

Le dernier théorème fondamental de Lie concerne les constantes

de structure.

Théorème III - 1ère partie :

Les constantes de structure satisfont aux équations

t

16

c-2ème partie * JL 2

Si J r (r-1) constantes C°j^, telles que « O satisfont

à des équations de la foanne (Ic3.11)« il existe toujours un

groupe 6^ admettant ces constantes conme constantes de structure.

Les formes canoniques des algèbres de Lie des groupes à trois et

quatre dimensions ont été établies par L. Blanchi [2].

§ 4c Sous-groupes de - Sous-groupes de stabilité.

Tout sous-groupe analytique de 6 détermine un

sous-groupe de transformations de 6^. L'algèbre de Lie de 34

est une sous-algèbre de l'algèbre de Lie de 6. Si sont les

opérateurs de et de ceux de 6^« les constituent

une sous-algèbre de l'algèbre

Inversément, pour que q opérateurs linéairement indépendants

soient les opérateurs infinitésimaux d'un spus-groupe

d'ordre q de il suffit qu'ils constituent une sous-algèbre

de l'algèbre X^ âant les opérateurs infinitésimaux de G^o

Considérons, à présent, la matrice

(Io4,l) Ms ( )

des composantes des vecteurs % d'un groupe G , et soit r-q

le rang de M pour les valeurs générales de x. L'ensemble de

les points potir lesquels le rang est ^ r' q sont appelés points

singuliersc

- J

Supposons que le vecteur ^ soit régulier dans le voisinage

d'un point P de V ; on a alors : on

(Ic4.2)

^

On dira que la transformation infinitésimale est d"ordre

zéro en P^, si au moins une des composantes de

(1^),

est différente de zéro ; d'ordre un si tous les sont

nuis mais s'il existe au moins une dérivée

différente de zéro, et ainsi de suite.

Si le rang de M en P^ est r>q<, considérons le système

d'équations x

(1.4.3)

il

®

à r inconnues b , On peut exprimer r-*q inconnues b

en fonction de g autres b arbitraires. Dès lors.- il existe

q transformations linéairement indépendantesï

(1.4.4)

^

d'ordre supérieur à zéro en P^, c'est-à-dire laissant le

point P^ fixe. Ces transformations forment un sous-groupe

d'ordre q de G , appelé le sous-groupe de stabilité de P .

i O

Si pour les points ordinaires le rang do M est r-q, chacun de

ces points admet un sous-groupe de stabilité d'ordre q ; les

points singuliers admettent un sous groupe de stabilité d'ordre

18,-§ 5o Invariants de G - Variétés minimales invariantes. ---r ---

-Une fonction F(x) est invariante pour 6^ si on a :

(Io5,l) »o

pour tous les opérateurs X^.

Si le rang de M est r-q < n , il exi^e n - (r-q) invariants

fonctionnellement indépendants.

Doux points sont équivalents pour s'ils sont transforma­

bles l'un dans l'autre par une« ou plusieurs, transformations

de G^, Un sous-espace V». ée V est une variété invariante

r m n

pour G^ si tous les points équivalents à chaque point de

se trouvent dans V . m

Si le rang de M est r-q, il y a r-q vecteurs indépendants,

et en vertu des conditions (1.3.10) que doivent vérifier les

opérateurs Xj^, ces r-q vecteurs définissent, en chaque point,

une sous variété ^ de V . Il est clair que cette sous-

variété est invariante pour G^ et qu'elle est une sous-variété

minimale invariante.

Un groupe G^ est transitif s'il existe au moins une transfor­

mation permettant de transformer un point quelconque en un

autre point quelconque de V ~ sinon il est intransitif. Pour n '

et le rang de M doit être égal à n. Si r » n» le groupe

est dit simplement transitif, sinon multiplement transitif.

Si r^n et si le rang de M est égal à r, le groupe est

simplement transitif sur les variétés minimales invariantes V^;

si le rang est égal à r-q, le groupe est multiplement tran­

sitif sur les variétés minimales invariantes.

§ 6. Dérivée de Lie associée à une transformation infinitésimale,

soit une transformation infinitésimale :

(I.60I) 'x* * i. ^

La transformation inverse est :

(1.6.2) - 1*^ olfc

A la transformation (1.6.1) correspond un nouveau système de

,1 .

coordonnées x. transporté de x** t

(1.6.3) *-*' . X*_ I* tit

Si 4^ est un champ d'objet géométrique, le "trans­

porté" de <j);y par (1.6 .1) est défini par s

(1.6.4) 2=

oû (|>A^ désigne les composantes de <3ans le système

Définissons la dérivée de Lie d'un objet par rapport au

champ par s

c^)

dit (Z.6.5) oC.<1>aS»

La dérivée de Lie vérifie la règle de Leibniz ^ si et

sont deux objets géométriques« on a s

(Io6«6)

% * \ %

On peut Btontrer que la dérivée dd lie d'une sosmie d'objets géo»

métriques est égale à la somme des dérivées de Lie de ces objets

géométriques (dans le cas où la somme des objets géométriques

est encore un objet géométrique^et que la dérivée de Lie d°un

tenseur d'ordre (p, q) est un tenseur d'ordre (p« q) , La dérivée

d'un tenseur (1,2) a la forme :

(1.6.7) Xt^» , V - r

20o-et se généralise aisément pour tout tenseur (p, q)»

Notons, en particulier; les dérivées des vecteurs et covecteurs £

(1.6.8) ‘f' V

(1.6.9) c£ + «-A

Il faut remarquer que si c|)^ est un objet géométrique,

est un objet géométrique de même espèce, ce qui n'est plus vrai

pour Jl . Par exemple, la dérivée de Lie de la connexion

I

est un tenseur d'ordre (1, 2) :

(

.

.

)

X r

g-S

5 î/ky -■ K %

Considérons en effet l'objet géométrique ^ 3

d'après la définition de , on a

(1.6.11) «£ [<t>A, V= {‘^^A?'V

D'autre part, on a aussi que

(1.6.12) X {<()A,'y <(>a] « {*1

On a donc bien, en composant (1.6.11 et 12), que JL et

commutent.

La règle de coxmnutation des opérateurs et est décrite,

pour un tenseur d'ordre (2, 1), par :

(I.60I3)

X V,

'*\ . V. X

I"* . T'-'s X c 1- T'‘'r X r.*, . T«, £ r.f

I

^

I

5

et se généralise de façon évidente à tout tenseur d’ordre (p,q) .

Remarquons qu'on peut, dans l'expression de la dérivée de Lie

d’un tenseur associée au chcunp , remplacer les dérivées

du tenseur et de ^ peu: des dérivées covariantes. C'est cette

forme des dérivées de Lie que nous utiliserons dans la suite.

Noua aurons, par exemple :

22

e-On peut» en utilisant la dérivée de Lie» remplacer les conditions

(1,3.10) que doivent vérifier les opérateurs d'un groupe

par les conditions équivalentes :

(1.6,1?) ^ ^ ‘

^ • c.

où C^(, sont les constantes de structure du groupe.

Enfin si

(1.6.18)

est la transformation finie engendrée par l'opérateur infini­

tésimal X » » on a

(1.6.19) <{)/^ • e * <Pa

OÙ désigne le "transporté" de pour la transforma­

tion (1.6,18).

§ 7. Gioupe de mouvementso

Nous avons donné la condition nécessaire et suffisante

pour qu'un difféomorphisme soit une isométrie (ou mouvement).

On en déduit que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un

groupe 6^ soit un groupe de mouvements est qu'on ait

(1.7.1)

Les équations (Io7.1) sont appelées équations de Kllling» et

tout vecteur les vérifiant, vecteur de Killing.

Les équations (1.7.1) peuvent s'écrire sous la forme équivalente

(1.7.2) +■ «O

Pour déterminer les conditions d'intégrabilité des équations

de Killing, considérons le système d'équations aux dérivées

1 C.^

partielles en les inconnues 5 , l'on

tient compte des équations (1.7.2), le ncxnbre d'inconnues

se réduit en effet à j îî(n-l) );

(1.7.3) a) îitif!

r

^

r^j

b) lit . W;, - rj,

Les équations (1.7.3) a. sont obtenues en différenciant

les équaticns de Killing : on trouve alors que

(1.7.4) r*y ,0

*

ce qui conduit, en vertu de (1.6.10) à z

(1.7.5)

d'où (1.7.3) a).

Les premières conditions d'intégrabilité du système (1.7.3)

ont la forme :

24

O-Les conditions d*intégratilité d'ordre supérieur sont obtenues

en prenant les dérivées covariantes successives de -£ ®o

(I.7o7) ^ ^

---5

Mais les équations (1,7.3) a. expriment que la dérivée de Lie

de la connexion i est nulle « d'où l’on déduit « en vertu

de (1.6.13), que e£ et coxmmitent. On peut donc remplacer

(Io7,7) par les conditions équivalentes

(Io7.8) cL a J t, ... «O

4. ou, en développant en fonction de ^ et

A

^ ... -i- R

+-N-

l,i---Ns l,t )

Le système complet des conditions d ' intégreüt>ilité des équations

de Killing est donc constitué par l'ensemble des équations :

(1.7.6) et (1.7.8). C'est un système linéaire et homogène en

les ^ n (n+ 1) inconnues *

Désignons par .^C.I.K.^ l'ensenüsle des conditions d’ intégrabi-

lité des équations de Killirg ; par ^C.I.K., p^ l'ensemble

des conditions d'intégrahilité (1.7.6) (1,7.8) pour N prenant

1^ valeurs de 1 à p. Les conditions (1.7.6) sont désignées par

[ C.I.K., O\ .

Enfin, désignons par |^C.I.K. ^ s o^ le système des condi­

tions d*intégrabilitê des équations de Killing dans lequel on

Pour que le système Î^C.IoK,^ admette une solution» il faut

qu’il existe un nonû>re entier p, tel que le système

^C.I.K» p-fl y dépende algébriquement du système C.l.K» p ^

et que le rang de ce dernier système soit ^ n (n+1) -r,

r>0. La solution dépend alors de r constantes arbitrairës

w « « O W «

(I.

7

9

Il y a donc r vecteurs linéairement indépendants

(«»».• i---solution des équations de Killing.

ç JL c.^

Si les deux vecteurs % et 5 sont solutions

des équations de Killing» on peut aisément montrer que le

vecteur (1.7,10) l’est aussi.

I I ^

système ^ ^ ^ aussi solution du système

et donc combinaison linéaire à coefficients «.A

constants des r vecteurs Ç (1.7.9),

Ces derniers vecteurs forment un groupe 6^ et on a le théo­

rème suivant t

^ On peut montrer que si cette hypothèse est satisfaire, le système p-t-j ’l avec j>l, dépendra aussi algébriquement du

26o-Théorème I„7ol :

Pour qu'un admette un groupe de mouvements, il faut et

il suffit qu'il existe un entier p, tel que le système

|CeIoK, P + Ij dépende algébriquement du système ^CdoK., p ^ ,

et que le rang de ce dernier système en les ^ n (n 4-1) inconnu e s

J J n (n + 1) - r =

L'ordre maximum d'un groupe 6^ de mouvements est donc

(n + 1) et d'après un théorème classique ; par ex. Î13].

Théorème 1.7.2 :

Pour qu'un espace admette un groupe de mouvements d'ordre

maximum ^ n (n+ 1) , il faut et il suffit que ce V soit

un espace à courbure constante.

D'autre part, G. Fubini [15 a] a démontré le théorème suivant s

Théorème 1.7.3 :

Un espace j n > 2, ne peut admettre un groupe de mouvements

complet d'ordre j n (n + 1) - 1.

I.P. Egorov [il] précise :

Théorème I„7c4 :

L'ordre maximum d'un groupe de mouvements G^, pour un qui

n'est pas à courbure constante, est au plus ^ n (n - 1) +2 ,

et l'ordre maximum d'un groupe de mouvements pour un qui

n'est pas un espace d'Einstein [x s ^ ^

§ 8O Groupe d'isotropie.

Dans ce paragraphe, nous supposons que admet un groupe

G de mouvements % (a = l.cor). Si pour tout point

ordinai-o>,

re le rang de la matrice M ^ est r-q, nous avons vu que

chaque point P (ordinaire) admet un sous-groupe de stabilité;

nous dirons, dans ce cas, que l’espace admet un groupe

d'isotropie Iq

Remarquons qu'un mouvement est nécessairement d'ordre zéro ou

un» En effet; si en un point , les y n (n + 1) composantes

sont nulles, le vecteur ^ est nul, en vertu

de (1,7.5).

Démontrons le théorème suivant :

Théorème 1.8.1 î

La condition nécessaire est suffisante pour qu'un V^, admettant

un groupe de mouvements G^, admette un groupe d’isotropie 1^,

est que le rang du système i|^C.I.K,, 1^= o][ soit égal à

J n (n - 1) - q.

En vertu de l'hypothèse, le système peut s'écrire

sous la forme

(I.8ol)

C I* >

où les seconds membres sont des fonctions linéaires en les

f

28o

e( désigne n ~ r + q valeurs distinctes de l’indice «L

{ at désigne les r-q valeurs restantes de oL ) o îî* n^n ""D

désigne —- q valeurs distinctes du couple )

avec désigne les q valeurs restantes de ) ) .

Remplaçons, dans le système d'équations (Io7„3), les inconnues

ï >

V a pour les seconds membres de (I080I). On obtient

alors un système d'équations complètement intégrable en les

r inconnues ( f) • ba solution dépend donc de r cons­

tantes arbitraires :

(1.8.2) 1'^ .

fi

Les valeurs des inconnues § , s'obtiennent en remplaçant

dans les seconds membres de (I08.I) ^ et- fâîp fonction

de (Io8o2),

Annulons , en un point P(x) arbitraire, les composantes du

vecteur de Killing s

(I08.3) O a c‘... c**)

Comme le rang de la matrice | (pour j = looo r) est

égal à r-q, le système (I.8o3) permet d'exprimer r-q des r

•ï 1 •

constantes c** en fonction des g autres constantes c oco c

Il existe dont transformations linéairement indépendan­

(Io8,4) )

laissant le point P(x) fixe, L‘espace admet bien un

groupe d'isotropie Ig,

On montre facilement» par l'absurde» que l'hypothèse sur le

rang du système |CoI,Kc o^ est aussi nécessaire. Nous

pourrons» du reste» montrer qu'elle est suffisante pour les

espaces lorentziens (voir chapitre II),

i^uktrgues ; 1) Nous appliquerons» dans la suite, les deux théorèmes

(I»7«îî et d.8.1) à une variété lorentzienne V^, De plus,

nous travaillerons dans un corepère isotrope ^h° , h^ , h^ ,h

que nous avons défini au § 1, Les 10 inconnues seront alors

définies par :

(1.8,8) r

-I «

_{^ U ;}

Les théorèmes restent applicables, en vertu du fait que le rang

d'un système d'équations linéaires :

(1.8.9)

X s O

=

1

1

,

est invariant pour toute substitution linéaire non singulière s

X^' . A^u

Or, la substitution (1,8,8), qui exprime les nouvelles variables

en fonction des anciennes

est bien non singulière

9

30,-2) Nous verrons, dans les chapitres suivants, que

l’hypothèse, pour un V^, de l'existence d'un groupe d'isotropie

1^, implique que le nombre p intervenant dans l'énoncé des

théorèmes 1.7,1 et 1,8.1, est ^ 2 : c'est-à-dire que le sys­

tème ^ Cel.K., p^ pour P^2, dépend algébriquement du système

vS ; fc ■ O

J t/. »o

On peut restreindre l'hypothèse de l'analyticité de à celle

de |c , p-m J .

3) Dans la suite, nous remplacerons le système

des R)t» .i s O , par le système constitué

I par les équations

R j il iji) —®

et leurs complexes conjuguées .

§9, Le groupe - L'existence de 1^ implique_____celle de -Ag°

Nous allons montrer que pour des variétés lorentziennes,

l'existence d'un groupe d'isotropie 1^ implique l'existence,

en chaque point P (ordinaire), d’un sous-groupe A (]^ du

groupe de Lorentz (partie connexe par arc de l’identité

Le groupe

q o d"ordre q en P ^ o est défini comme le sous-groupe de , laissant invariant le tenseur de Riemann et

toutes ses dérivées covariantes en P . o Le groupe A (P )

q ' o' est donc réalisé par une matrice A 1

a

(Ic9.1)

telle que

(Io9«2)

) dépendant de q paramètres essentiels

o

L'

.**' a A |k

^

^

K'

Ké.^'fS « Ai Aj

yf i tj--- o a*---^ »tv|

En appliquant à la transformation (1.9.1) les théorèmes fonda­

mentaux de Lie vus au § 4» il est facile de voir que (P^)

définit en q bivecteurs linéairement indépendants

t qui sont les transformations infinitésimales du

groupe A^ (P^) s

(1.9.3) dx* c (^fjL i- Ajfc Sou* ^ dxf^

A

les sont q paramètres infinitésimaux indépendants.

Les bivecteurs forment une algèbre de Lie :

ta

et les sont les constantes de structure du groupe.

Des conditions (1.9,2) « on déduit que les bivecteurs

32

o-(Io9.4) + _{+- «O}

P»- MfSji, ...trt A(TA •♦•--- •*- ^A|kîîS;t, Aj-É^iaO

L'expression :

(1.9.5) r\fi,

A4 ? (" donne A en fonction des q transformations

infinitésimales.

Inversement, q bivecteurs au point , linéairement

indépendants et formant une algèbre de Lie, engendrent un sous~

f

groupe d'ordre q ‘ de la partie connexe par arc o£ ^'

de l'identité du groupe de Lorentz [29 Pol32]°

Si, de plus, les A^ (xo) vérifient au point le système

d'équation (1.9.4), le groupe A (P ) laisse invariant le

ten-q O

seur de Riemann et toutes ses dérivées covariantes successives.

On peut remarquer que l'ensemble des bivecteurs solutions du

système d'équations linéaires (1.9.4) forment une algèbre de Lie<

L'existence d'un groupe d'isotropie implique que pour tout

point ordinaire P^ , le rang du système d'équations (1.9.4) est

r-^, si l'on considère comme inconnues Ier composantes

du bivecteur. Il exiâte donc en tout point ordinaire P^, q

bivecteurs linéairement indépendants solution du

système (1.9.4) et qui engendrent donc un groupe A^ (Pq)«

sont isomorphes en tous les points ordinaires» et si nous nous

limitons à une région de ne contenant pas de points singu­

liers» nous pourrons parler du groupe A au lieu de A (P )«

q

q O

On voit donc que l'existence d'un groupe d'isotropie 1^ défi­

nit- en chaque point, un groupe A^ de transformations linéaires

de l'espace tangent.

Voyons plus concrètement comment le groupe I induit en P

un groupe A^ (P^> . Désignons par ( .... ) les q

4 O I

vecteurs de Killing» linéairement indépendants» qui s'annulent

au point P^ . Les q transformations infinitésimales

(I.9o6) 'x* - X* + ^i = 1 ... q

t

définissent au point P^. fixe» q transformations infinitési­

males s

(1.9.7)

de l'espace tangent. Les q bivecteurs :

(Io9c8) * C'^Ujp*)©

satisfont en P^ au système d'équations linéaires (1.9.4) et

34o-§ lOc Groupe de transformations conformes.

Oe la condition nécessaire et suffisante (Io2,ll) pour

qu'un difféomorphisme soit une transformation conforme « on déduit

que pour qu'une transformation infinitésimale soit une

transformation conforit», il faut et il suffit qu'on ait

(IolO«l)

où est une fonction de . Si est constante la trans*°

formation est une homothétieo

L'enseoible des vecteurs % (a « 1®«. r) qui vérifient la rela~

tion (1010.1) forme un groupe de Lie. En effet, pour tout

couple de vecteurs ^ ^ satisfaisant aux équations (I.lO.l),

on a t

(iao.2) ' "I V'*’ (‘ê'J

-OÙ

^ c.

c. défini par

(I.10o3)

r - f

et où if et ^ sont les fonctions qui apparaissent dans C'A (I.lO.l), associées respectivement aux vecteurs Ç et ^

0^ P

On voit donc, d'après (1.10.2) que le vecteur 1*^ est solution c

de (I.lOcl) et est donc une combinaison linéaire à coefficients

constants des vecteurs Ç (a = l...r) solutions de (I.lO.l);

De plus, les fonctions ^ (a =» l.o, r) vérifient les rela­

tions :

O -t

(Iol0,5) f ^ X

JL

où les Co,b sont les constantes de structure du groupe con­

forme, que nous désignons par C^o

Rappelons brièvement comnent on établit les conditions d'intégra-

bilité des équations (I,10ol) [vo par ex, 35], Ces équations

s'écrivent sous la forme équivalente

dolO.6) |a-,ju

4-Comme dans le cas des équations de Killing on obtient, en diffé-

rentiant (1.10.6) un système d'équations aux dérivées partielles

en un certain nondsre d'inconnues. Dans ce cas, ce nombre d'in­

connues est J (n + 1) (n + 2) , à savoir n inconnues

^ n (n - 1) inconnues » 'i**® inconnue ^

et n inconnues (remarquons, en effet, que si l'on prend

Ip comme inconnue et si l'on tient compte des équations (1.10.6),

2 1

les n* inconnues réduisent à ^ ^ (n-1) incon­

nues indépendantes) .

Le système d'éqfuations obtenu est le suivant :

36

O-où

(

1

.

10

,

8

)

~ A ^_{JL (-«v- » ) '}

Les premières conditions d*intégrabilité du système (1.10.7)

sont $ (1.10.9) a) oC» y « O e I f ç®° f ^ ,}< 0" «")4 •*" Ca|^y a O ^ ^

où le tenseur est défini par s

(1.10.10)

--- -»■

r ^ Sf g

C4|Sy î

^ % l-M»

De (I.10olO)« on déduit que :

(I. 10.11)

i/vV CJL,

Avant d'établir les conditions d*intégrabilité d°ordre supérieur<

remarquons que dans le cas d'une transformation conforme les

opérateurs

V

I

Remplaçons^y et ^*p>v respectivement par

^ s

I

inconnues, qui peuvent apparaître, par leur expression déduite du

système (1,10.7),

Après ces substitutions, il vient :

(1.10.14)

VS r ^ ^ i*

i î «• « ’ffb

Si nous posons, dans (1.10.14) , nous retrouvons les

équations d'intégrabilité (1.10.9) (b) ; ces dernierJ9 ne sont

donc qu'une partie des conditions d*intégrabilité des équations

(1.10.9) (a)

Procédons de môme pour les équations (1.10.9) (b) ; nous en

déduisons la seconde partie des conditions d*intégrabilité

<3 ordre 2 s

(1.10.15)

-Cif^ («jyA Q-fiiy Ca*-y

Les conditions d*intégrabilité d'ordre supérieur s'obtiennent

par le même procédé, L'ensemijle complet des conditions d'inté­

grabilité est un système d'équations linéaires et homogènes en

les J (n+1) (n+2) inconnues ^ ^ *

Désignons ce système par et désignons par |^C.I.C,p^

le système des conditions d'intégrabilité obtenu en prenant

38„-»

et jusqu’à l'ordre p. I*** g O ^ désignera

le système des conditions d’intégrabilité obtenu en annulant les

composantes dans le système ^C.IoC^.

On a le théorème suivant s

Théorème 1.10»1.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace

admette un groupe de transformations conformes d'ordre r,

est qu’il existe un entier p tel que le système |^C.IoC,

dépende algébriquement du ^stème |^CeIcC« p | et que le rang de ce

dernier système soit égal à ^ (n+1) (n+2) -r.

Remarque sur le système des C. I oC »

Le système | C.IcCo^ consiste en un ensemble d'équations

tensorielleso

Pour établir certains résultats sur les transformations confor­

mes (voir ch O VI), il est utile de remarquer que chaque équation

tensorielle peut s'écrire sous la forme t

(

1

.

10

.

16

) ,

I

En effet, les conditions (I.lo.S) et (I,lOol4) sont bien de la

foirme (1.10.16) et pour vérifier qu'il en est de même des

conditions (1.10.15), il suffit de remarquer que le premier terme

du second membre de l'équation tensorielle (X.10.15) peut s'écrire:

(1.10.17)

On vérifie aisément que les C.I.C. d'ordre supérieur peuvent

également s'écrire sous la forme (1.10.16).

De plus., remarquons que tout système d'équations équivalent au

titué par un ensemble d'équations tensorielles de la fonce

(1.10.16),;, auxquelles pourront s'ajouter des équations de la (1.10.9, 14, 16 etc... ^ sera également

cons-forme : (1.10.18) { î

où U ^ V

oH U a V ^

^

sont des invariants et W des vecteurs

Nous dirons qu'un espace, qui admet un groupe admet un

groupe de stabilité conforme (noté s ) d'ordre q, si tout c,q

point ordinaire P adsfôt un sous-groupe de stabilité d'ordre

q. Nous dirons que le sous-groupe de stabilité est homothétique

(noté ) si pour tout point ordinaire P, le sous-groupe

40

Le théorème suivant donne les conditions nécessaires et suffi»

santés pour qu'un admettant un C , admette un sous-groupe

n ir

s O Nous ne donnons pas ici la démonstration« qui est analo»

C 9 Cj

gue à celle du théorème I»8,l.

Théorème 1,10,2,

Pour qu'un gui admet un groupe de transformations conformes

C . admette un sous-groupe de stabilité S (q<r), il faut

i C »q

et il suffit gue le rang du système |cj.Co O soit égal à

^ (n+1) <n+2j -n -qo

Nous verrons, au chapitre VI, que -concine pour les mouvements-

l‘hypothèse d'existence d'un groupe dans l'énoncé du théo­

rème Iol0o2 est superflue»

L'ordre maximum d'un groupe de transformations conformes est,

en vertu du théorème lolOol égal à j (n+1) (n+2) » Le théorème

suivant a été établi simultanément par S» Sasaki, A»H. ïaub

et Ko Yanos

Théorème I »10,3.

Pour qu'un espace V^, avec n^^» 3, admette un groupe de trans­

formations conformes C d'ordre maximum h (n+1) (n+2), il faut

et il suffit que V^ soit conformément plat (c'est-à-dire que

Terminons par un résultat concernant les groupes de transforina-

tions confon&es dans des espaces conforn^ment équivalents [22 ] o

Rappelons que et sont dits conforxnément équivalents

si( dans un même système de coordonnées , les tenseurs

mêtri<^es respectifs H et sont liés par la relation :

(leioae)

où G" est une fonction arbitraire de »

Supposons que le vecteur ^ définisse, dans une trans­

formation conforme O On a alors :

(1.10.17)

Des relations (1.10.16 et 17), on déduit :

(1.10.18) ®

où

(I.10ol9) ^ ijf ^ «£<r

On voit donc que définit aussi une transformation confor­

me dans l'espace et on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème 1.10.4

Si et sont deux espaces conformément équivalents et

si admet un groupe de transformations conformes,

admet ce même groupe

comme groupe de transfo3rmations

42

o-CHftPITRE II. Propriétés remarquables liées à l’isotropie et détermination des espaces localement isotropes du vide.

§ Oe Dans ce chapitre, nous rappelons d'abord (§1) certains

résultats relatifs aux groupes de mouvements, en particu­

lier ceux obtenus peu: A .Z. Petrov, qui donne une solution par­

tielle au problème de la détermination des espaces lorentziens,

admettent un groupe d'isotropie ; nous exposons les raisons

pour lesquelles nous avons repris le problème de l'isotropie.

Au § nous exposons quelques théorèmes remarquables

aiixquels nous a conduit l'étude des espaces localement isotro­

pes. Nous nous bornons à énoncer ces théorèmes çpii sont démon­

trés séparément poiu: chaque type de Petrov, dans les chapitres

III, IV et V.

Le résultat essentiel est que l'existence d'un groupe A^

entraîne l'existence d'un groupe d'isotropie I . Il existe

d'autre part un corepère canonique, déterminé à un sous-groupe

A^ près de , dans lequel l'ensemble des composantes du

tenseur de Riemann et de ses dérivées covariantes ^ ^abcd*

Rabcd* forme un système complet d'invariants

scalaires. Dans ce corepère, le système |c.I.K^ a une forme

très simple et on montre aisément que le système |^C.I.K,3^

dépend algébriquement du système |c.I.K, 2^ , ce qui justifie

l'hypothèse que nous avons faite sur la classe de (voir

Rappelons que R .P. Kerr [ 19 b] détermine, pour les espaces

lo-rentziens du ^de, le corepère canonique défini ci-dessus.

Il est possible de démontrer que, de façon générale pour tout

espace riemanrien, l'existence d'un corepère canonique

déter-P f

miné au sous-groupe de près, entraîne l'existence

d'un groupe d'isotropie I .

La méthode que nous avons suivie pour déterminer les espaces

localement isotropes est essentiellement basée sur l'applica­

tion du théorème 1.8.1, dans le formalisme vectoriel complexe

défini au § 1 du chapitre I. Nous exposons cette méthode en

détails dans les paragraphes 3, 4 et S. Pour simplifier l'ex­

posé. nous avons considéré dans ces paragraphes uniquement le

cas des espaces du vide.

Au § 3, nous donnons la forme canonique du système |c.I.Kj

pour les espaces I, Il et III de Petrov. On en déduit que ces

espaces n'admettent pas de groupe d'isotropie t ce résultat

est classique [voir, par ex., [19 b] ].

Les espaces de type D (§ 4) peuvent admettre un groupe d'iso­

tropie I^ opérant dans un 2-plan de genre temps ou de genre

espace. Si ce 2-plan est intégrable, les métriques sont celles

de "Schwarzschild" et "Anti-Schwarzschild" ; si le 2-plan est

44

et celles que nouq désignons par "Anti-Taub-Nut”.

On volt donc que les raôtriques "Taub-Nut”, établies par A.H.

Taub [34] et E» Newman, L» Teuhburino et Td unti [24] sont carac** térisées par l'existence d'\m groupe d'isotropie, opérant dans un

2-plan non intégrable.

Nous avons construit les espaces "Anti-Taub-Nut" dans [9 c]o

Les espaces de type N (§ 5) localement isotropes sont les

espaces à ondes planes à rayons parallèles t ce résultat a été

établi dans [3.el. Nous avons pu montrer que l'ordre du groupe

d'isotropie est nécessairement 2.

R.P, Kerr donne dans [19.b] les conditions aiaxquelles doivent

satisfaire les espaces du vide de type N et D de Petrov

localement isotropes. Nous montrons que ces conditions peuvent

être simplifiées et se ramener à des conditions algébriques sur e

k les coefficients de rotation

-Le § 6 est consacré aux espaces du vide admettant un groupe

maximum de mouvements. Nous complétons les résultats connus

[ [27] et [8.b] ] pêir l'examen des types II et III de Petrov.

C.D. Collinson et D.C. French [7] ont construit une métrique de

type III du vide qui admet un groupe de mouvements 6^. Cette

métrique est donc un contre exemple d'un théorème de Petrov

[27] affirmant que l'ordre du groupe nmximum pour un espace du

de C.D, Collinson et O.C. French est la seule istétrique de type

III admettant un groupe maximum C ^.

SI® Résultats obtenus par A.2. Petrov.

Reprenons tout d'abord les théorèmes indiqués à la fin du

§ 8, ch. I, dans le cas où la variété V est une variété n

lorentzienne V^. Nous aurons :

L'ordre maximum de 6^ est 10 et si un espace admet un

groupe cet espace est àosurbure constante ; l'ordre du grou­

pe complet ne peut être égal à 9 et si l'ordre du groupe com­

plet est 8, est un espace d'Einstein :

C.I. Krouchkovitch [20.c] complète ces résultats : l'ordre du

groupe complet ne peut être égal à 8, et si cet ordre est

r » 7 , les espaces sont des espaces de Kagan (résultat que

nous retrouvons au ch. V).

On trouve, dans le livre de A .Z. Petrov [27], une réponse

partielle au problème de la détermination, pour chaque type de

Petrov, des groupes d'isotropie Iq et des métriques correspon­

dantes. A.Z. Petrov établit, en effet, toutes les métriques

admettant un groupe donné 6^ de mouvements. Chaque fois que

46c-lainimales invariantes^, l’espace adxnet (’s chd) un groupe d'iso­

tropie. Petrov indique pour chaque métrique les vecteurs de

Killing correspondants, il n'est donc pas difficile de déterminer,

parmi toutes ces métriques, celles qui admettent un Z^.

La méthode de Petrov consiste à déterminer, tout d'abord,

les espaces admettant un groupe G2 ou 6^ de mouvements :

différents cas se présentent suivant la forme de l'algèbre de

Lie du groupe et la dimension et la nature des variétés minima­

les invariantes. Le système de coordonnées est adapté aux vec­

teurs de Killing et la méthode suivie est, sauf dans le cas où

les veiriétés minimales invariantes sont isotropes (voir

A. V), celle qui est proposée par G. Fubini [15 a et b]. Ce

dernier détermine toutes les définies positives, admettant

un groupe de mouvements.

C.Ic Krouchkovitch [20 a et b] a étudié, plus particulièrement,

le cas des variétés minimales invariantes isotropes, et A.Z,

Petrov reprend les résultats de celui-ci.

Ayant déterminé tous les espaces admettant un C2 ou un

G^ , Petrov les paurticularise ensuite, en imposant l'existence

d'un quatrième vecteur de Killing, les cas se différenciant

d'après l’algèbre de Lie du groupe et la nature des variétés mini­

males invariantes, et ainsi de suite pour les groupes d'ordre

Le travail de Petrov comporte, toutefois, de nond>reuses

erreurs et omissions» Citons, par exemple, les dexuc points sui­

vants :

- Dams tous les cas, où V est isotrope, C.I» Krouchkovitch

fait implicitement l'hypothèse suivante : si un opérateur X

du groupe est singulier (voir A»V) sur une variété (P) ,

il reste singulier sur toutes les variétés minimales invariantes

voisines (P*)» <3 ■

Cette hypothèse, explique le fait que Petrov ne donne qu'un

cas particulier des métriques de type N (pour ^ O)

admettant un groupe d'isotrpie (voir ch. IV) »

- Pour les métriques de type D localement isotropes, Petrov

n’envisage pas le cas où le 2-plan dans lequel opère le groupe

est non intégrable» Il n'obtient donc pas les métriques

"Taub-Nut" et "Anti-Taub-Nut".

Mais les deux raisons principales pour lesquelles nous avons

repris le problèn» de l'isotropie sont les suivantes x

d'une part, dans le travail de Petrov, le système de coordonnées

est adapté aux vecteurs de Killing : ces derniers ont donc une

forme très simple ; par contre la forme des métriques correspon­

dantes est compliquée, les fonctions qui apparaissent dans ces

métriques sont soumises à des équations différentielles qui