3 Espaces L

3 Espaces L

3.1 D´ efinition et exemples

SoitX = [a, b] muni de la tribu bor´elienne et d’une mesure sur (X,B^X). Pour 1 ≤p < ∞, on note L^p(X, µ) l’ensemble des fonctions mesurables f :X →R telles que

�f�^p:=

��

X|f|^pdµ

�1/p

<∞.

Il est clair queL¹(X, µ) est un espace vectoriel. Pour obtenir un r´esultat similaire dans le casp >1, on aura besoin du th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3.1. Soient p, q ∈]1,∞[ tels que ¹_p + ¹_q = 1. Alors pour toutes fonctions mesurables f, g:X →Ron a

��

��

�

X

f gdµ

��

��≤ �f�^p�g�^q (H¨older), (3.1)

�f+g�^p≤ �f�^p+�g�^p (Minkowski). (3.2) D´emonstration. On d´emontre d’abord l’in´egalit´e de H¨older. Sans perte de g´e- n´eralit´e, on peut supposer que�f�^p=�g�^q= 1. Pour tous x, y≥0 on a

xy≤x^p p +y^q

q . Il s’ensuit que

��

��

�

X

f gdµ

��

��≤

�

X|f g|dµ≤

�

X

�|f|^p p +|g|^q

q

�

dµ= �f�^pp

p +�g�^qq

q = 1.

Montrons maintenant l’in´egalit´e de Minkowski. En utilisant (3.1), on obtient

�f+g�^pp=

�

X|f+g|^pdµ≤

�

X|f+g|^p−1�

|f|+|g|� dµ

≤

��

X|f+g|^pdµ

�^(p−1)/p���

X|f|^pdx�1/p

+��

X|g|^pdx�1/p� .

Cette in´egalit´e implique imm´ediatement le r´esultat cherch´e.

Corollaire 3.2. L’ensemble L^p(X, µ) est un espace vectoriel, et la fonction f �→ �f�^p est une seminorme surL^p(X, µ).

On d´efinit ´egalement l’espaceL^∞(X, µ) comme l’ensemble des fonctions me- surables f :X →Rtelles que

|f(x)| ≤M pour presque toutx∈X, (3.3) o`u M >0 est une constante qui d´epend def. C’est un espace vectoriel, et on note�f�∞la constante minimaleM pour laquelle (3.3) a lieu. Il est facile `a voir que la fonctionf �→ �f�∞ est une seminorme surL^∞(X, µ).

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Sauf certains cas exceptionnels,�f�^p n’est pas une norme sur L^p(X, µ) : la relation �f�^p = 0 n’implique pas que f = 0. Mais si on identifie les fonctions qui sont ´egales presque partout, on obtient un espace vectoriel, not´e L^p(X, µ), pour lequel�f�^p est une norme.

Exemple 3.3. Consid´erons le cas o`uX = [1,∞[ etµ=�

k≥1δk. AlorsL^p(X, µ) est isomorphe `a l’espace�^p des suitesx = (xk)k≥1telles que

�x�^�p:=

��∞ k=1

|xk|^p

�1/p

<∞.

De mˆeme, L^∞(X, µ) est isomorphe `a l’espace �^∞ des suites born´ees avec la norme�x�∞= sup_k|xk|. Ce sont des espaces complets.

3.2 Th´ eor` eme de Riesz–Fischer

Th´eor`eme 3.4. L’espace L^p(X, µ)est complet pour toutp∈[1,+∞].

D´emonstration. Le cas p = ∞ est presque ´evident, donc on va supposer que p <∞. Soit {fn} ⊂L^p(X, µ) une suite de Cauchy. Alors il existe nk → ∞tel que

�fnk−fnk+1�^p≤2^−k pour toutk≥1.

donc la s´erie�

k�fnk−fnk+1�^p converge. On a besoin maintenant de la propo- sition suivante.

Proposition 3.5. Soit1≤p <∞et {gk} ⊂ L^p(X, µ)une suite telle que

M :=

�∞ k=1

�gk�^p<∞. Alors la s´erie �

kgk converge presque partout, sa somme G est une fonction appartenant `a l’espaceL^p(X, µ), et

Nlim→∞

��

�

�∞ k=1

gk−G���_p= 0.

D’apr`es ce r´esultat, il existe une fonctionG∈ L^p(X, µ) telle que

��

�

�N

k=1

(fnk−fnk+1)−G���_p→0 quandk→ ∞.

d’o`u on conclut que

�fnk−(fn1−G)�^p→0 quandk→ ∞.

Comme{fn}est une suite de Cauchy, on voit quefn→fn1−GdansL^p(X, µ).

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D´emonstration de la proposition 3.5. Soit

FN(x) =

�N

k=1

|gk(x)|.

Alors{F_N^p} ⊂ L¹(X, µ) est une suite croissante,

�

X

F_N^pdµ≤��^N

k=1

�gk�^p�p

≤M^p.

D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, {FN} converge presque partout vers une fonctionF ∈ L^p(X, µ). Il s’ensuit que la s´erie�

kgk converge presque partout vers une fonction mesurable G(x). Soit

GN(x) =

�N

k=1

gk(x).

Alors|GN| ≤F,|G| ≤F, et en utilisant le th´eor`eme de convergence domin´ee, on conclut que �

X|GN −G|^pdµ→0 quandN → ∞.

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