DEUX PÔLES D'ORTHOGIE SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT
AU CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT
PREMIÈRE PREUVE SYNTHÉTIQUE
Dans le grand théâtre occidental de la société du spectacle de la marchandise, le vrai est le faux, la démocratie est la dictature et la paix est la guerre !
Jean-Louis AYME 1
A
B D C
F
E
D' E' F'
Y X O
Résumé. L'auteur présente une preuve synthétique et originale d'un difficile problème concernant deux pôles d'orthologie. Ce résultat s'appuie sur de nombreux théorèmes relayés par des commentaires et des notes historiques. L'auteur a eu beaucoup de plaisir à écrire cet article.
Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author presents a synthetic and original proof of a difficult problem concerning two poles of orthology. This result lean on many theorems relayed by comments and historical notes The author had a lot of fun writing this article.
The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 18/02/2023 ; [email protected]
Sommaire
A. Récapitulation 3
B. Une chaîne de problèmes 4
Étape 1 : (HHa) est perpendiculaire à (E'F') 5
Étape 2 : H, P et Ha sont alignés 8
Étape 3 : X point de Prasolov de DEF ; (IX) = (HiH) et IX = HiH 10 Étape 4 : DEF et D'E'F' orthologiques de pôles X et Y 12
Étape 5 : (HiH) // (BeY) et HiH = BeY 14
Étape 6 : O est le milieu de [XY] 17
C. Lexique Français-Anglais 19
A. RÉCAPITULATION
Étape 1 : (HHa) est perpendiculaire à (E'F') Étape 2 : H, P et Ha sont alignés
Étape 3 : X Prasolov de DEF et (IX) // (HiH) ; IX = HiH Étape 4 : DEF et D'E'F' orthologiques pôles X, Y
Étape 5 : (HiH) // (BeY) et HiH = BeY Étape 6 : O est le milieu de [XY]
A
B D C
F
E
D' E' F'
H Ha
A
B D C
F
E
D' E' F'
H Ha P
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi
Ni X
Y A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi
Ni X
A
B D C
F
E
D' E' F'
H
Sp Be Hi
Y
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi Be
Y X O Ni
B. UNE CHAÎNE DE PROBLÈMES
ÉTAPE 1
UN LEMME – GERME 2
APPAREMMENT SANS IMPORTANCE Proposed
by Jean-Louis Ayme
Une perpendiculaire à une droite de Steiner
VISION
Figure :
A
B D C
F
E
D' E' F'
H Ha
Traits : ABC un triangle,
H l'orthocentre,
DEF, D'E'F' les triangles de Gergonne, Nagel de ABC
et Ha l'orthocentre du triangle AEF.
Donné : (HHa) est perpendiculaire à (E'F').
VISUALISATION
• Scolie : (HHa) est la droite de Steiner 3 du delta déterminé par ABC et (EF).
2 Ayme J.-L., Two perpendiculars, AoPS du 27/01/2023 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h3003300_two_perpendiculars Ayme J.-L., Deux remarquables perpendiculaires, Les-Mathematiques.net ;
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333110/deux-remarquables-perpendiculaires/p1?new=1
3 Steiner J., Annales de Gergonne, 18 (1827-28) 302-304, proposition 4 ;
reprinted in Gesammelte Werke, 2 volumes, edited by Weierstrass K. (1881) ; Chelsea reprint.
Steiner J., Journal de Crelle 2 (1827) 97
Ayme J.-L., La droite de Gauss et la droite de Steiner, G.G.G. vol. 4, p. 5-7 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
A
B D C
F
E
D' E' F'
H Ha
Q
R
• Notons Q, R les milieux resp. de [BE], [CF].
• Scolie : (QR) est la droite de Newton-Gauss 4 du quadrilatère complet BCEF.
• D'après Jakob Steiner 5, (HHa)⊥(QR).
A
B D C
F
E W V
D' E' F'
H Ha
Q
R
T
• Notons V, W les milieux de [EE'], [FF']
et T le symétrique de F' par rapport à Q.
• D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué
* au triangle F’FT, (FT) // (WQ) et FT = 2.WQ
* au triangle ABE, (WQ) // (AE) et 2.WQ = AE
* par transitivité de // et =, (FT) // (AE) et FT = AE.
• E' étant l'isotome de E relativement à [AB], AE = CE'.
4 Ayme J.-L., La droite de Gauss et la droite de Steiner, G.G.G. vol. 4, p. 1-4 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
5 Steiner J., Annales de Gergonne 18 (1827-28) 302-304, proposition 7
Ayme J.-L., La droite de Gauss et la droite de Steiner, G.G.G. vol. 4, p. 7-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
• Le quadrilatère TCE'F' étant un parallélogramme, R est le milieu de [TE'].
• D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux''
appliqué au triangle TE'F', (QR) // (E'F').
• Conclusion : (HHa) est perpendiculaire à (E'F').
Scolie : un point remarquable sur (HHa)
A
B D C
F
E
D' E' F'
H Ha
P
• Notons P le pied de la D-hauteur de DEF.
• Conclusion : d'après Autour du cercle inscrit 6 68. 1. Problème 6, H, P et Ha sont alignés.
6 Ayme J.-L., Autour du cercle inscrit, G.G.G. vol. 50 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
ÉTAPE 2
UN SIMPLE PARALLÉLOGRAMME
VISION
Figure :
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Ha
P Hi
Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons I, Hi le centre de ABC, l'orthocentre de DEF.
Donné : le quadrilatère DIHaHi est un parallélogramme.
VISUALISATION
• D'après Autour du cercle inscrit 7
* 68. 1. Problème 2, Ha est le symétrique de I par rapport à (EF).
• D'après Autour du triangle orthique 8
* 2, Problème 2, Lazare Carnot, (DHi) // (IHa) et DHi = IHa.
• Conclusion : le quadrilatère DIHaHi est un parallélogramme.
7 Ayme J.-L., Autour du cercle inscrit, G.G.G. vol. 50 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
8 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 2, G.G.G. vol. 49 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
Scolie : le milieu de [IHi]
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Ha
P Hi Ni
• Notons Ni le milieu de [IHi].
• Par définition, * I est le centre du cercle circonscrit à DEF
* (IHi) est la droite d'Euler de DEF
* Ni est le centre du cercle d'Euler de DEF qui passe par P.
• Conclusion : D, Ni et Ha sont alignés.
ÉTAPE 3
LE POINT DE
VIKTOR VASIL'EVICH PRASOLOV RELATIVEMENT
AU
TRIANGLE DE GERGONNE
VISION
Figure :
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Ha
P Hi Ni
X
Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons X le symétrique de Hi par rapport à Ni.
Donné : X est le point de Prasolov de DEF.
VISUALISATION
• Conclusion : d'après Victor Prasolov 9, X est le point de Prasolov de DEF.
9 Ayme J.-L., Le point de Prasolov, G.G.G. vol. 1 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
Scolies : (1) X pôle d'orthologie
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Ha
P Hi Ni
X
• Par symétrie de centre Ni, (DX) // (HHa) et (DX)⊥(E'F').
• Dans une vision triangulaire, X est le pôle d'orthologie de D'E'F' relativement à DEF. 10
• Conclusion : par définition, D'E'F' est orthologique à DEF de pöle X.
(2) Un résultat essentiel A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi
Ni X
• Conclusion : par symétrie de centre Ni, (IX) // (HiH) et IX = HiH.
10 Ayme J.-L, Le point de Prasolov comme pôle d'orthologie, Les-Mathematiques.net ;
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333128/le-point-de-prasolov-comme-pole-dorthologie/p1?new=1
ÉTAPE 4
LES TRIANGLES DE
GERGONNE ET NAGEL 11
VISION
Figure :
A
B D C
F
E
D' E' F'
Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment.
Donné : DEF et D'E'F' sont orthologiques.
VISUALISATION
11 Bouzar, Triangles orthologiques, Les-Mathematiques.net ;
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/897719/triangles-orthologiques#latest
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi
Ni
X
Y
• D'après 3. scolie 1, D'E'F' étant orthologique à DEF de pôle X.
• D'après Jakob Steiner ''Deux triangles orthologiques'' 12, DEF est orthologique à D'E'F'.
• Conclusion : DEF et D'E'F' sont orthologiques.
• Notons Y le pôle d'orthologie de DEF relativement à D'E'F'.
12 Ayme J.-L., A propos de deux triangles orthologiques, G.G.G. vol. 6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
ÉTAPE 5
UN REMAQUABLE MILIEU
VISION
Figure :
A
B C
I
D F
E
U D'
E' F'
H Hi
Ni X
Sp Y
Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons U le milieu de [DD']
et Sp le point de Spieker 13 de ABC.
Donné : Sp est le milieu de [HiY].
VISUALISATION
• D'après ''Le cercle de Spieker'' 14, (USp) est parallèle à (AI).
• Conclusion partielle : (DHi), (USp) et (D'Y) sont parallèle entre elles.
13 Ayme J.-L, Le cercle de Theodor Spieker, G.G.G. vol. 13, p. 3 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
14 Ayme J.-L, Le cercle de Theodor Spieker, G.G.G. vol. 13, p. 13-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
A
B C
I
D F
E
U V
D' E' F'
Hi Sp
Y
• Mutatis mutandis, (EHi), (VSp) et (E'Y) sont parallèle entre elles.
• Conclusion : par intersection de deux bandes et de leur axe médian,
* Hi, Sp et Y sont alignés
* Sp est le milieu de [HiY].
Scolies : (1) une égalité inattendue A
B D C
F
E
D' E' F'
H
Be Hi Sp
Y
• Notons Be le point de Bevan 15 de ABC.
• D'après William Gallatly 16, Sp est le milieu de [HBe].
• Par construction deY, le quadrilatère HHiBeY ayant ses diagonales se coupant en leur milieu Sp, est un parallélogramme.
15 Ayme J.-L, Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 22-23 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
16 Gallatly W., Note sur le cercle des neuf points, Educational Times (juillet 1908)
Ayme J.-L, La voilette de la Dame, G.G.G. vol. 73, p. 24-25 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
• Conclusion : (HiH) // (BeY) et HiH = BeY.
(2) la droite de Bevan-Gob A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H
Be Sp
Hi
Y O
• Notons O me centre du cercle circonscrit à ABC.
• D'après
* la ponctuelle de Benjamin Bevan 17, I, O et Be sont alignés et O est le milieu de [IBe]
* la ponctuelle d'Antoine Gob 18, Hi, I et O sont alignés.
• Conclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia, Hi, I, O et Be sont alignés.
17 Ayme J.-L, Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 24-25 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
18 Ayme J.-L., Droite de Simson de pôle Fe relativement au triangle de contact, G.G.G. vol. 7, p. 12-16 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
ÉTAPE 6
THE VERY HARD PROBLEM 19 A curios midpoint
VISION
Figure :
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi Be
Y O X Ni
Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment.
Donné : O est le milieu de [XY].
VISUALISATION
19 Bouzar, Triangles orthologiques, Les-Mathematiques.net ;
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/897719/triangles-orthologiques#latest A curios midpoint, AoPS du 26/01/2023 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h3002614_a_curios_midpoint
A
B C
I
D F
E
D' E' F'
H Hi Be
Y O X Ni
• D'après Étape 3 scolie 2, (IX) // (HiH) et IX = HiH.
• D'après Étape 5 scolie 1, (HiH) // (BeY) et HiH = BeY.
• Par transitivité de // et =, (IX) // (BeY) et IX = BeY.
• Le quadrilatère IXBeY étant un parallélogramme, ses diagonales [IBe] et [XY] se coupent en leur milieu.
• Conclusion : d'après Étape 5 scolie 2, O est le milieu de [XY].
Scolie : une généralisation de François Rideau 20
20 Bouzar, Triangles orthologiques, Les-Mathematiques.net ;
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/897719/triangles-orthologiques#latest
C. LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS
A
aligné collinear
annexe annex
axiome axiom
appendice appendix
adjoint associate
a propos by the way btw
acutangle acute angle
axiome axiom
B
bissectrice bisector
bande strip
C
centre incenter
centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle
cévienne cevian
colinéaire collinear
concourance concurrence
coincide coincide
confondu coincident
côté side
par conséquence consequently
commentaire comment
D
d'après according to
donc therefore
droite line
d'où hence
distinct de different from
E
extérieur external
F
figure figure
H
hauteur altitude
hypothèse hypothesis
I
intérieur internal
identique identical
i.e. namely
incidence incidence
L
lemme lemma
lisibilité legibility
M
mediane median
médiatrice perpendicular bissector
milieu midpoint
N
Notons name
nécessaire necessary
note historique historic note
O
orthocentre orthocenter
ou encore otherwise
P
parallèle parallel
parallèles entre elles parallel to each other
parallélogramme parallelogram
pédal pedal
perpendiculaire perpendicular
pied foot
point de vue point of view
postulat postulate
point point
pour tout for any
Q
quadrilatère quadrilateral
R
remerciements thanks
reconnaissance acknowledgement
respectivement respectively
rapport ratio
répertorier to index
S
semblable similar
sens clockwise in this
order
segment segment
Sommaire summary
symédiane symmedian
suffisante sufficient
sommet (s) vertex (vertice)
T
trapèze trapezium
tel que such as
théorème theorem
triangle triangle
triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle
