Exercice 8.1 : Rails de Laplace horizontaux

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SERIE 8 : INDUCTION-AUTOINDUCTION ET DIPOLES RL TS 1,2

Exercice 8.1 : Rails de Laplace horizontaux – vitesse limite

Une tige de cuivre glisse sans frottement sur deux rails horizontaux distants de d = 15 cm. Elle est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme vertical vers le bas. Les deux rails sont reliés par un générateur de f.é.m. 4,5 V et l’ensemble du circuit a une résistance de 5 Ω.

1. Quelle est l’expression de la force de Laplace lorsque la tige est immobile si B = 1 T?

2. Pour quelle vitesse de la tige, l’intensité du courant s’annulerait-elle ? 3. Avec ce dispositif, la tige peut-elle atteindre cette vitesse ?

Exercice 8.2 : Rails de Laplace – vitesse limite

Une tige de cuivre de masse m = 10 g glisse sans frottement sur deux rails faisant un angle = 30° avec l’horizontale et distants de d = 15 cm. Elle est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme orthogonal au plan des rails vers le bas de valeur 1 T. Les deux rails sont reliés et l’ensemble du circuit a une résistance de 3Ω. (g = 10 m.s^-2).

1. Indiquer sur le schéma le sens des effets induits lorsque la tige glisse.

2. La tige ayant une vitesse de glissement v, quelle force de Laplace subit-elle ?

3. Ecrire l’équation différentielle de son mouvement. En déduire la vitesse limite atteinte par la tige.

4. La tige est lâchée en x = 0 à la date t = 0 s. On montre que sa vitesse s’écrit sous la forme : v (t) = v0 (1 – 𝑒^{− 𝑡𝜏} ). Déterminer la valeur de v0.

5. En déduire l’équation du mouvement de la tige sur les rails.

Exercice 8.3 : Rails de Laplace verticaux

Une barre conductrice AC horizontale de masse m et de longueur l, de résistance négligeable est lâchée sans vitesse à l'instant initial t = 0. Elle tombe en restant parallèle à elle-même dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme 𝐵⃗ horizontal et perpendiculaire à la barre. La chute de la barre est

guidée par deux fils verticaux conducteurs, de résistance négligeable (voir figure).

On suppose les forces de frottement nulles, bien qu’AC soit à chaque instant en contact

électrique avec les fils. Les extrémités supérieures des fils sont reliées à un résistor de résistance R = 25 Ω. On donne : B = 0,5 T.

1) Les rails sont métalliques.

1.a- Donner l’expression de la f.é.m. induite e qui apparaît dans la tige en fonction de B, l et v.

1.b- Donner l’expression du courant induit.

1.c- Appliquer le théorème du centre d’inertie à la tige puis montrer que la tige atteint une vitesse limite VL que l’on exprimera en fonction de B, l, g et R. Calculer VL.

2) Les rails sont isolants.

2.a- Calculer la différence de potentiel U^AC = V^A – V^C entre les points A et C.

2.b- Appliquer le théorème du centre d’inertie à la tige. Quelle est la nature du mouvement de cette dernière ? Exercice 8.4 : Tension induite dans un solénoïde

Un solénoïde comportant 1000 spires par mètre est parcouru par un courant d’intensité I = 8 A.

1. Calculer le champ magnétique à l’intérieur.

2. On place dans ce solénoïde une bobine comportant 100 spires de rayon R = 3 cm. Cette bobine tourne à la vitesse angulaire = 10 rad.s^-1. A la date t = 0 s, le plan de la bobine est parallèle au champ magnétique. Donner l’expression de la tension à ses bornes.

Exercice 8.5 : Rails de Laplace et ressort

Une barre homogène en cuivre MN de longueur l = 0,15 m et de masse M = 0,1 kg est assujettie à glisser, sans frottement, sur un plan incliné isolant faisant un angle = 30°

avec l’horizontale.

Cette barre est fixée en son milieu G à l’une des extrémités d’un ressort à spires non jointives de masse négligeable, dont la constante de raideur est k = 10 N/m. L’autre extrémité C du ressort reste fixe. On repérera G sur l’axe Ox représentant la ligne de plus grande pente, passant par C, du plan incliné, où coïncide avec la position d’équilibre du centre d’inertie G. On prendra g = 10 m.s^-2.

1. On écarte la barre MN de sa position d’équilibre, vers le bas, de x0 = 5 cm et on

l’abandonne sans vitesse initiale, à l’instant pris comme origine des dates. Etablir l’équation différentielle du mouvement de G. Donner l’équation horaire de son mouvement et l’expression de sa vitesse.

2. Dans l’espace où oscille la barre MN, règne un champ magnétique uniforme, vertical, dirigé vers le haut et de valeur B = 0, 1 T. Expliquer pourquoi il existe une tension entre M et N lorsque la barre oscille dans les conditions précédentes.

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Exercice 8.6 : Courant induit dans un circuit en dérivation On réalise le dispositif correspondant au schéma ci-contre:

1. Quels sont les courants induits dans chaque résistance ? 2. Quelle est l’intensité du courant qui traverse la tige MN ?

3. Quelle force faut-il exercer pour la maintenir en mouvement uniforme ? On donne : B = 0,1 T, v = 3 m.s^-1, R1 = 5 Ω et R2 = 10 Ω.

Exercice 8.7 : Dipôle RL : Etude graphique

On considère une bobine assimilable à un solénoïde théorique ayant les caractéristiques suivantes :

• Rayon moyen des spires : R = 10 cm.

• Nombre total de spires : N = 500.

• Longueur de la bobine : L = 1 m.

1) Calculer l’inductance de la bobine.

2) Le courant qui circule dans la bobine est caractérisé, successivement, par les valeurs suivantes exprimées en ampères : i1 = 2 A , i2 = 5t + 2 , i3 = 2 √2

sin(100πt) (t en s)

Calculer la force électromotrice d’auto-induction dans la bobine dans chacun des trois cas.

3) Un courant i(t) traverse la bobine (représentation de la figure ci-contre).

Tracer la représentation graphique de la tension u = VM - VN aux bornes de la bobine sachant que le sens positif sur le conducteur va de M vers N et que la résistance de la bobine est négligeable.

Exercice 8.8 : Bobine et Dipôle RL (Extrait BAC S1S3 2002)

On réalise le circuit comprenant une bobine d'inductance L et de résistance r = 11 Ω, un résistor de résistance R¹ = 100 Ω, un interrupteur, un ampèremètre et un générateur de tension continue dont la f.é.m. est Eo et sa résistance interne est négligeable. (Figure 4) 5.1- L'interrupteur est fermé, le régime permanent étant établi, l'ampèremètre indique I = 0,50 A. Avec un teslamètre, on mesure l'intensité du champ magnétique à au centre de la bobine. On trouve B = 0,31 mT. La longueur de la bobine est l = 40 cm et son diamètre est d = 5 cm. Ces dimensions permettent de considérer la bobine comme un solénoïde.

5.1.1- Représenter sur une figure claire le champ magnétique à au centre du solénoïde et préciser la nature de ses faces. (01 point)

5.1.2- Calculer le nombre de spires N du solénoïde. (01 point)

5.2- Le circuit précédent étant maintenu, on remplace le générateur de tension continue par un générateur basse fréquence délivrant une tension en créneaux (figure 5). Cette tension périodique varie entre 0 et E¹ =6 V (voir figure 6). On désire suivre l'évolution de la tension aux bornes du résistor par un oscilloscope à

mémoire bicourbe.

5.2.1- Reproduire la figure 5 et indiquer les branchements à réaliser pour visualiser sur l'écran de l'oscilloscope la tension aux bornes du générateur à la voie A

et la tension aux bornes du résistor à la voie B.

5.2.2- Établir l'équation différentielle régissant la variation de l'intensité du courant i lorsque t ∈ [0 ; T], T étant la période de la tension délivrée par le générateur.

5.2.3- Vérifier que E1/(R1 + r)[1 - exp (-t/τ)] est une solution de cette équation où τ est une constante que l'on exprimera en fonction de R¹, r et L.

5.2.4

a) Que représente r pour le circuit ? Déterminer à partir du graphe de la figure 7 sa valeur en explicitant la méthode utilisée.

b) En déduire la valeur de L.

c) A partir de cette valeur, vérifier la valeur du nombre de spires N trouvée à la question 5.1.2

Donnée : perméabilité magnétique du vide: μ^o = 4π.10^-7 S.I.

Exercice 8.9 : Dipôle RL (Extrait BAC S1S3 2012)

Afin de déterminer la résistance r d’une bobine et son inductance L, on réalise, comme indique sur le schéma ci-contre, un circuit série comportant cette bobine, un conducteur ohmique de résistance R = 390 Ω, un générateur de résistance négligeable et de force électromotrice E = 4 V et un interrupteur.

On ferme l’interrupteur a la date t = 0.Un dispositif approprie a permis d’enregistrer l’évolution de l’intensité i du courant qui parcourt le circuit au cours du temps t.

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Le tableau suivant indique des valeurs de i à différentes dates t.

4.1 Tracer la courbe de variation de l’intensité du courant en fonction du temps : i = f(t) [courbe II à rendre avec la copie] ; Echelles : 2 cm pour 0,25.10^-3 s : 1 cm pour 10^-3A (0,5 point)

4.2 Quel est le phénomène physique responsable du retard de l’établissement du courant dans le circuit? Expliquer brièvement. (0,5 point)

4.3 Déterminer graphiquement l’intensité I0 du courant traversant le circuit lorsque le régime permanent est atteint. (0,5 point)

4.4 Etablir l’équation différentielle suivante régissant la variation dans le temps de l’intensité du courant :

4.5 Déduire de cette équation l’expression de I0 en fonction de E, R et r. En déduire la valeur de la résistance r de la bobine.

4.6 Vérifier que i = ^𝐸

𝑅+𝑟 (1 – 𝑒^{− 𝑡𝜏} ) est solution de l’équation différentielle ou τ sera exprimé en fonction de L, R et r . (0,5 point)

4.6.1 Définir τ et donner sa signification physique. Déterminer graphiquement la valeur de τ.

46.2 En déduire la valeur de l’inductance L de la bobine.

Exercice 8.10 : Dipôle RL – Bobine résistive (Extrait santé militaire 2009 Exercice 4)