Lycée militaire de saint-Cyr DS n°4 405
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation de la copie. Tous les résultats devront être soulignés.
Exercice 1
ABCD est un trapèze tel que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
A tout nombre réel 𝑘, on associe le point 𝑀 tel que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. Exprimer en fonction des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ chacun des vecteurs suivants : a) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. Pour quelle valeur de 𝑘 les points B, C et M sont alignés ? 3. Construire une figure dans ce cas.
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
On considère la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ par 𝑢𝑛=2𝑛+1𝑛+1. 1. Déterminer le sens de variation de (𝑢𝑛).
2. Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛< 2.
3. Déterminer le plus petit entier 𝑛 tel que 1,99 < 𝑢𝑛
Exercice 5
1. Questions de cours
a) Soit 𝑆𝑛 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛.
Donner la formule de la somme 𝑆𝑛 puis démontrer-là.
b) Soit (𝑣𝑛) une suite arithmétique de raison 𝑟 et de premier 𝑣0. Donner la formule de la somme 𝑊𝑛= 𝑣0+ 𝑣1+ ⋯ + 𝑣𝑛 . 2. Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique de raison 3 et de 1er terme 𝑢0.
Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 et de 𝑢0. 3. On pose 𝑇𝑛= 𝑢0+ 𝑢1+ ⋯ + 𝑢𝑛.
Montrer que 𝑇𝑛=𝑛+1
2 (2𝑢0+ 3𝑛).
4. Calculer 𝑇30 avec 𝑢0= −20.
Exercice 6
Soit la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ définie par 𝑢0 et pour tout entier naturel 𝑛 par al relation 𝑢𝑛+1=𝜋
2−1
2𝑢𝑛.
Barème indicatif /30 : Ex 1 : 4 Ex 2 : 6 Ex 3 : 6 Ex 4 : 5 Ex 5 : 5 Ex 6 : 4 BONUS !
