Lycée militaire de saint-Cyr DS n°2 de mathématiques 405
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation de la copie. Tous les résultats devront être soulignés.
Exercice 1
On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; + ∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1
𝑥
1. Démontrer que 𝑓 admet un minimum atteint en 1 2. Comparer alors √𝑓(𝑥) , 𝑓(𝑥), (𝑓(𝑥))²
Exercice 2
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥3
1. Démontrer l'égalité suivante 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 − 𝑎) ((𝑎 +1
2𝑏)2+3
4𝑏2) 2. En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓
Exercice 3
Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. |2𝑥 − 3| = 5
2. |𝑥 + 4| < 2 3. |2𝑥 + 7| > 6
Exercice 4 Soit 𝑓𝑐(𝑥) =1
2𝑥2− 2𝑥 + 𝑐, avec 𝑐 un entier.
1. Tracer sur la calculatrice la courbe de la fonction 𝑓𝑐 pour 𝑐 = 0, 𝑐 = −3, 𝑐 = 2.
Comment trace-t-on la courbe de 𝑓𝑐 à partir de 𝑓0 ? 2. Conjecturer les valeurs de 𝑐 pour que :
𝑓𝑐 n’ait pas de racine
𝑓𝑐 ait une racine unique
𝑓𝑐 ait deux racines distinctes
𝑓𝑐 ait deux racines distinctes positives
3. Démontrer algébriquement les conjectures précédentes.
Exercice 5
Soit ABCD un rectangle tel que 𝐴𝐵 = 1 et 𝐴𝐷 = 2.
Soit 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵].
Soit 𝑀 un point de [𝐴𝐷]. On note 𝑥 = 𝐴𝑀.
Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑀𝐼2+ 𝑀𝐶2.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour 𝑥 ?
2. Exprimer 𝑓(𝑥) en fonction de 𝑥 et montrer que 𝑓(𝑥) = 2𝑥2− 4𝑥 +21
4. 3. Pour quelles valeurs de 𝑥, le triangle IMC est-il rectangle en M ?
Exercice 6 Partie A
Soit la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) =𝑥2+4𝑥+2𝑥+1 . Soit 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal (𝑂; 𝐼, 𝐽).
1. Donner l’ensemble définition de 𝑓 que l’on appellera 𝐷𝑓. 2. Résoudre l’inéquation 𝑓(𝑥) ≤ 0.
3. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 + −1
𝑥+1. 4. Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur 𝐷𝑓. Justifier.
5. Déterminer les points d’intersection de 𝐶𝑓 avec les axes du repère.
6. Tracer la courbe 𝐶𝑓 dans le repère orthogonal (𝑂 ; 𝐼, 𝐽).
Partie B
Soit 𝐴(−1 ; 2) et 𝐵(2 ; 5) deux points du repère orthogonal (𝑂; 𝐼, 𝐽).
1. Donner l’équation réduite de (𝐴𝐵).
2. Déterminer les points d’intersection éventuels de la droite (𝐴𝐵) et de la courbe 𝐶𝑓. 3. Etudier la position relative de la droite (𝐴𝐵) et de la courbe 𝐶𝑓.
4. Tracer dans le même repère la droite (𝐴𝐵).
Barème indicatif /40 : Ex 1 : 4 Ex 2 : 4 Ex 3 : 4.5 Ex 4 : 7 Ex 5 : 5 Ex 6 : 15.5 BONUS !
Etudier les variations de la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ |2𝑥2− 8𝑥 − 10| sur ℝ.
