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Instructions au candidat(e)

Important : Le candidat est invité à lire et suivre attentivement ces recommandations.

Le

document que vous avez entre les mains est de 5 pages

:la première

est réservée aux

recommandationsr les pages

2 et3

sont réservées au sujet en langue arabe et les pages 4 et 5 au sujet en langue française. Choisissez une des deux langues

pour répondre

aux questions.

o _Il

vous est suggéré de répondre aux questions du sujet avec précision et soin _;

o _Il

vous est autorisé

d'utiliser

Ia calculatrice scientifique non programmable _;

o

Vous devez iustifïer les résultats ( Par exemple :

lors du calcul des limites

,lors

^{du calcul des} probabilités,

...)i

o

Vous pouvez répondre aux exercices selon

I'ordre

que vous choisissez , mais veuillez numéroter les exercices et les questions tels qu'ils le sont dans le sujet;

o

Veillez à la bonne présentation de votre copie et à une écriture lisible;

o Il

est souhaitable que les pages soient numérotées pour faciliter la correction;

o L'écriture

au stylo rouge est à éviter;

o

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0.5

0.75

on considère

la

suite numérique (r,),.* ^{définie pari}

^u0

=2et un*1=*3 ^pour tout n deN 1.a. Calculer uret

u,

1.

b.

Vérifier que u*r-t=*i puis montrer par récurrence que ^pour tout n deN . u,)l

1.c. Montrer que pour tout n deN i u,*r-", =r(ffi)

1.d.

En

déduire QUê(r,),.* est décroissante et qu'elle est convergente.

2.On considère la suite(v,),.^ définie pourtout n deN pari ÿn =",

^..!,

u, ⁺

^I

2.a.

Vérifier que pour tout n deN ^.

^vn

+l

2.b. Calculer

^ÿo

2.c

.

Montrer que (r,),.* est une suite géométrique de raison

^I

=-

5

2.d. Calculer

v,

en fonction de

ⁿ

3.a. Montrerque pourtout z deN :

^ez,

ice noi

^:

3.b.

En

déduire que pourtout n deN

^:

3.c. Calculer lim

u,

0.5 0.5

0.25 0,25

0.5 0.25 0.25

0.5

0.25

_ 1+y,

l-un

r

* !(l)"

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r / r \"

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Exercice no2

=

0.5

1

Un sac contient trois boules blanches portant les nombres 0 ;1 ;2 et deux boules noires portant les nombres

1;

2

_;

toutes indiscernables au toucher.

on tire au hasard successivement et sans remise deux boules du

sac.

i.

^On

^{considère les deux} événements

^:

A

₁ ^qq _les

_{deux boules tirées} portent le nombre

1 »

B

_;

q

_La

première boule tirée est blanche

^»

1.a. Montrer que o(o):*

1.b. Calculer la probabilité de B et montrer

que

p(d.l8) '20

₌

+

1.c. Les événements .4 et

.B

sont-ils indépendants

?

justifier la réponse.

2. Soit X

_la

variable aléatoire qui correspond au produit des deux nombres portés par

les

deux boules tirées.

0.5

2.a. Copier

le

tableau ci- ^contre _X=Xi

_{0 1 2 4}

n(X

⁼

^x,)

⁸

20

et

^le

compléter

en

justifiant les réponses.

2.b. Calculer l'espérance mathématiqueE'(X)de

la

variable aléatoire X

0.5

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^dll,4r

-

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Exercice n"3(1.5 pts)

Question

Détails des éléments de réPonse et barème

Notes

oartielles Total Observations 3 ^La méthode :0.25

et I _=! h2

^{, o.zs}

2

0.25+0.25 0.5

2 ^La méthode :0.25et ^:

I

⁺

J=1

^{: o.2s}

2

9.25+0.25 0.5

1

t _=)0-h2)

^{0.5 0.5}

Exercice n'4(10

Question

^{Détails des éléments} _barème^{de réPonse et Notes Total}

Observations

1.a

Justification:0.5

; _,\1I,f ^(x)=+oo

^{:0.5 1}

1.75 Montrer que

lim

^"f

(')

=

**

'tr-)+@ X

0.5

L o.25

1.b

Justification :o.zs

JiA"f ^(x)=+oo

^{:0.25 0.5} 0.75

rorétation qéométrique ^o.25

1.c

Montrer

qr"

I,l$

"f

(r)

= ^{*oo :o'75 ;}

-r<0

lg3

/(r)= ^-oo

^:0.75

x>0

1.5 1.75

L' interorétation ^qéométriq ue 0.25

2.a

(x'

1'.@) - ^{\ - x+l) e,}

x2

1 1

2.b Le signe ae

/ ^t(x)

^{est le signe x2}

^{- x} +l

^{1 1}

Toute autre méthode correcte sera acceotée

2.c

;f

croissante sur l'intervalle

]-oo;0[

^0.25 _0.5

.;f croissante sur l'intervalle ]0; ⁺

-[

^0.25

2.d

/(1)

^{= o 0.25}

'1.25

On prendra en considération toutes éléments du tableau de variations

Tableau de variations ¹

3.a

La formule générale de l'équation: ^0.25

etÿ=e(x-1):o.zs

^{0.75+0.25 1}

3.b Le nombre de solutions est 2 0.5 0.5 ll n'est ^pas

demandé de justifier