Dvt 158 Equation aux classes

158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.

I. Théorème.

Th. Th.

Th. Th. : ∀x∊E, Card

(

)

[

]

158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.

II. Premier corollaire.

Cor 1 Cor 1 Cor 1

Cor 1: Soient E ens. fini et G groupe opérant sur E.

Si

{ } x

( )

1

:

i

r

x i

Card E G G

=

 

= ∑  

158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.

III. Second corollaire.

Cor 2: Equation aux classes Cor 2: Equation aux classes Cor 2: Equation aux classes

Cor 2: Equation aux classes. Soit G un groupe fini considéré comme opérant sur lui-même par conjugaison. Si

{ } x

est une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes dans G:

( ) ( )

1

:

r

G i

i

o G G C x

=

= ∑    

où

C

( ) x

IV. Equation aux classes.

Th.Th.

Th.Th.: Soit G groupe fini de centre Z(G). Soit

{ } x

≤ ≤ une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes et non réduites à un point de G. Alors:

( ) ( ( ) ) ^{( )}

1

:

k

G i

i

o G o Z G G C x

=

= + ∑    

Il suffit de différencier le cas des orbites réduites à un point en démontrant la "remarque" citée dans le cours:

( ) ( ) ( ) { }

, . .

: 1

x

G G x

Card Cf Th

x Z G C x G G C x x

= Ω ∧

∈ ⇔ = ⇔     = ⇔ Ω =

Donc les éléments de Z(G) sont exactement ceux dont l'orbite est réduite à un point. D'où:

( ) ( ( ) ) ^{( )}

1

:

k

G i

i orbites ponctuelles

autres orbites

o G o Z G G C x

=

= + ∑    

.