158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.
I. Théorème.
Th. Th.
Th. Th. : ∀x∊E, Card
(
Ωx)
=[
G G: x]
158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.
II. Premier corollaire.
Cor 1 Cor 1 Cor 1
Cor 1: Soient E ens. fini et G groupe opérant sur E.
Si
{ } x
i 1≤ ≤i r est une famille de représentants des G-orbites distinctes, alors( )
1
:
i
r
x i
Card E G G
=
= ∑
.158 Actions de groupes. Exemples et applications. Equation aux classes. Calais.
III. Second corollaire.
Cor 2: Equation aux classes Cor 2: Equation aux classes Cor 2: Equation aux classes
Cor 2: Equation aux classes. Soit G un groupe fini considéré comme opérant sur lui-même par conjugaison. Si
{ } x
i 1≤ ≤i rest une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes dans G:
( ) ( )
1
:
r
G i
i
o G G C x
=
= ∑
où
C
G( ) x
i note le centralisateur dans G de {xi}.IV. Equation aux classes.
Th.Th.
Th.Th.: Soit G groupe fini de centre Z(G). Soit
{ } x
i 1i k≤ ≤ une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes et non réduites à un point de G. Alors:
( ) ( ( ) ) ( )
1
:
k
G i
i
o G o Z G G C x
=
= + ∑
.Il suffit de différencier le cas des orbites réduites à un point en démontrant la "remarque" citée dans le cours:
( ) ( ) ( ) { }
, . .
: 1
x
G G x
Card Cf Th
x Z G C x G G C x x
= Ω ∧
∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ Ω =
Donc les éléments de Z(G) sont exactement ceux dont l'orbite est réduite à un point. D'où:
( ) ( ( ) ) ( )
1
:
k
G i
i orbites ponctuelles
autres orbites
o G o Z G G C x
=
= + ∑
.
