A NNALI DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA Classe di Scienze
A LBERTO T ONELLI
Sul teorema di addizione delle funzioni abeliane
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 1re série, tome 2 (1879), p. 83-120
<http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1879_1_2__83_0>
© Scuola Normale Superiore, Pisa, 1879, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze » (http://www.sns.it/it/edizioni/riviste/annaliscienze/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale.
Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
6
T E S I
ALBERTO TONELLI
Il
Sig. Weber
in una memoria inserita nelgiornale
di Crelle
(vol.
LXXpag. 193)
intitc>lata « Uebei- das Addi- tionstheorem der A belschen Functionen » ha risoluto ilproblema
dell’ addizione ~ delle funzioni Abeliane.Supponendo
date lequantità
’°1’ v2,....Vp, W1, W25 * 1*5 z~~~e per mezzo di
queste
determinati ipunti
x1, x~, .. xp , ~1,~ z , ... , yp colle relazioni
ha determinato i
punti
..., z p per iquali
siha,
S. N. 7V.
costruendo una
fllilzlolle
monodroma deipunti
della su-perficie
T diRiemaiin,
che ammetta 1J ini nitesimi diprimo
ordine nei
punti
Z1’Z’2’ ..., zp ; oppure, considerando il pro- blema sotto unpunto
di vistapiù generale
come suol farsi anche nellainversione,
determinando i coeficienti di unaequazione
la
quale
ha per radici i ~ valori che la funzione nota r;diramata come T assume nei
punti
...,Seguendo
il metodo tenuto dalSig.
Weber io ho cer-cato di
generalizzare
la soluzione del medesimoproblema
considerando un numero
qualunque
r di sistemi Vh: cosfacendo,
dal teorema dell’ addizione io passo aquello
dellamoltiplicazione supponendo uguali
fra loro i sistemiVh(i) .
Ho determinato la funzione ? che ammette
gl’’
infinitesi- mi neielievoglionsi determinare,
come pure i coefficient dellaequazione (3)
che ha per radici i valoricr
,J ,
... ,u , ed ho cercato diesprimere
i risultati per mez-Z1 Z2’
zp
zo delle funzioni 9
(u1,u2z, ... , (che ho designato
col simbolo9((1h)) allogo
all’altro .1adoprato
daRiemann)
i
con
argomenti dipendenti
dalle Vh, il chefacendo,
nel calcolocompariscono
anche le derivate delle medesime fmnzioni sullequali
sarebbe molto utile uno studiospeciale
per deter-minarne le
proprietà
e periscoprire
se siapossibile
la eli-minazione delle medesime dai risultati finali.
_
t
Sieno dati
gli r
sistemie mediante le relazioni
colla
inversione,
determinatigli r
sistemi dipunti
mi propongo di determinare per mezzo delle
quantità
note(4) , (6)
i ppunti
2~ z,, ...5 z,, per iquali
si haNella (7)
elimino colle(5)
leV( )
edottengo
Da
questa
relazione deduco che esiste unafunzione ~,
laquale,
diviene infinita neipunti (6)
e infinitesima neipunti
che formano i limitisuperiori degli integrali
della’
(8).
Ora è noto che determinando unafunzione ~
diramatacome T che
divenga
infinita diprimo
ordine in rppunti,
per
esempio, negli
rppunti (6),
essa conterràcostanti
arbitrarie,
lequali potranno
sempre essere deter- minate in modo che la medesimafunzione ~ acquisti
infinitesiini arbitrari, Se io determino
.
queste costanti
in modo che lafunzione divenga
infinite-sima di ordine r- 1 nei p
punti
ci , .., essa dovrà pureacquistare
.. , zp diprimo ordine,
e cos avremo determinata la funzione che si cercava.
Sarà facile dimostrare che la
funzione ~
non contiene irrazionalitàrispetto
allequantità corrispondenti
ai
punti (6).
Infatti è noto che una funzione diramata come
T,
laquale
diviene infinita diprimo
ordine neipunti (6),
sequesti
in
generale
sono differenti fraloro, può porsi
sotto la forma(i)
l’integrale
di secondaspecie
che diviene infi- nito nelpunto Supponendo
chequelli integrali
di secon-da
specie
sieno norrnali avrannouguali
a zero i moduli díperiodicità
relativi alle sezionia,,,
ed alle sezionib.
li avran-no
uguali
"
Ciò
posto
la nostrafunzione
resta invariata attraver-sando le
sezioni av,
eperchè
avvenga lo stesso relativamente11
alle
sezioni &
basterà che i coeffi cienti sodisfino le Fcond izioni
ovvero
e le
equazioni
lineari(b)
determinano p coefficienti ra-zionalmente per mezzo delle
quantità
le
quali
sono razionali inzi(1)
edsll) .
Cosr la funzione(a)
contiene dei coefficienti razionalirispetto agli
elementidei
punti (6), e quando
anche si vengono a determinaregli
altri coefficienti colla condizione che la funzione assuma
gl’infinitesimi
c1 1 ci ..ep
di ordine i- - 12 è evidente che resta sempre razionalerispetto
allequantità
considerate.’ n.
Visto cos come possa determinarsi la
funzione
cer-chiamo di costruire
F equazione (3)
laquale
ha per radici i p valori che la funzione a diramata comeT,
assume neipunti
z, , 3’2 ... z,. *Supponiamo
che la funzionedivenga
infinita diprimo
ordine
in p. punti
~ ~ ... , YJ¡.~; allora assumerà un valorequalunque in u punti
dellasuperficie
di cui é funzione mo-nodroma,
equindi
lafunzione
considerata come fun-zione di o~ sarà a ~ valori .
Chi’ (1) t2 ... r i [A rami di rispetto
a , il
prodotto
,. , ,.. _
(6), punti
e,,,e di
prinio
ordine neipunti
Z1, z,, ..., zp.Per
questo l’ espi°essione
razionale
in ’1,
non diviene nè infinita nè infinitesima per alcun valoredi J,
e nonpotrà
diiferire da unacostante,
eponendo
per amoi- di brevitàavremo
Accennando
e
(Itiiii(li
iPonendo in
questa formula p
valori differenti di asuccessivamente,
otteniamo pequazioni
linearirispetto
ai. coefficienti della
(3)
lequali
servono a determinarli com-pletamente
in modo che laequazione
ammetta per radici i z1 a ... ,
a
zp che la fun-zione a assume nei
punti
y .. zp .Introduciamo nelle formule le funzioni
con
argomenti dipendenti
dai sistemiInnanzi tutto osservo che il
quoziente
si
esprime
immediatamente per le funzioni 9.Infatti
applicando
il teorema di Abelagl’ integrali
i diterza
specie
servendoci della funzione diramata comeT,
che assume un valore
qualunque
neipunti ~1 , ~2
..Z,
e ilvalore oo nei
punti ni ,
~a .. np si hada
cui,
facendo percorrerea p i
valori1 , 2 , .. , p
e ricordando la formula
si deduce
e facendo coincidere le x colle e
onde finalmente
Per
esprin1ere
la fanzione § per mezzo dello funzioni :2;osservo che
quando
leIl,,
sieno convenientementescelte, divengono
in6nitesime di
primo
ordinerespettivamente
neipunti
sicchè la funzione
non
potrà
differireda ~
altro clle per un fattor costante.Però la forma
( 10)
perla ~
non sipresta
per la soluzione delproblema
di addizionecomparendovi i-iell’argoiiiento
diuna funzione 3- la mentre il
problema
deve risolversicon
espressioni
contenenti le ~~~separatamente
e lex/l) .
Osservando
peraltro
che laiunzione É, quando
è stata.sottoposta
alle condizioni di ammetteregFini niti (6)
diprimo ordine,
contiene costanti arbitrarie lequali
debbono determinarsi in modo che essa
acquisti gl’infinite-
simi ci , e, , ... , ep di ordine e
quindi può espri-
linearn1ente per mezzo di altre funzioni
f
le
quali
sodisfino la condizione di avere esse o la loro sommainfiniti
di " potremo
porreDeterminiamo ora la forrna delle
’i")
lequali
dovendodivenire infinite nei
punti (6)
avranno per denominatoree se
prendiamo
per numeratoresaranno date dalla
espressione
4" / /
)
dove le gh, l i dovranno essere determinate in modo che le
~~(~)
sieno diramate comeT,
e che almeno la loro sommadivenga
infinita neipunti (6)
Vediamo
quali
condizioni debbono essere sodisfatte dalle g.Prescindendo per
semplicità dagli
indicii 3 1
iquali
rimangono
i medesimi perogni
funzione~~t~~ ,
ericordando
che ad
ogni
sezioneb,
le funzioniacquistano
il fattoreessendo il modulo di
periodicità delFintegrale
AI)eli,-tiio diprízna specie
Us alla sezionebt, -vedremo
che la funzione(12) acquista
alla sezioneb,
il fattoree se la
~l’i>
deve avere le diramazioni di Tle 9
dovrannosodisfare la condizione
dove
h’F rappresenta
un numero interoqualunque.
Resta a vedersi ora se è
possibile
deterrninaresistemi di valori per
le g
che sodisfino le relazioni() 3)
eche nello stesso
tempo
ci forniscano per mezzo della(12)
altrettante funzioni tutte differenti fra loro e tali che almeno la loro somma
divenga
infinita neipunti (6).
Le relazioni
(13)
si traducono nelle congruenzee si vede che
le g
situate sulla medesima colonnacompari-
scono tutte in una funzione
9,
equindi
essendo tutteeguali
a zero la funzione 3’ cui
appartengono
coinciderebbe collasua
corrispondente
deldenominatore,
e la;t{z> corrispon-
dente non diventerebbe infinita
nei p punti
in cui diveniva infinitesimaquesta
funzione. Ciòperò
nonimpedisce
che lanostra
funzione’ divenga
infinita in tuttiquanti
ipunti (6)
quando,
almeno in unacomparisca
ognuna delleal denominatore.
Non ostante
queste
limitazioni resta ancora tanta arbi- trarietànelle
dapermetterci
di costruire non solo uno,ma
più
sistemidi p(r-1)
funzioniIncominciamo dall’ osservare che le
quantità
sono tali che
ripetute
r volte danno unaquantità
congrua zero, modulorc i,
ondeponendo
questo
sistema sodisfarà le(14)
e tutte le altre condizioni cui debbono sodisfare le g, ed ognuna dellediverrà con
questo
sistema infinita in tutti ipunti (6).
Se nella
(15)
facciamo variare 1~ da uno fino a r-1 otterremo sistemi differentidi q
cuicorrisponderanno
altrettanti sistemi di funzioni
~~(O
pure differenti nonpoten-
dosi aver mai
inoltre osservando che due fiinzíoiii 5 della forma
ammettono infinitesimi
differenti,
se alla lineadelle 9
chehanno il percorrere tutte le p
posizioni,
per
ogni
valore di kotteniamo p
sistemi differenti di g, equindi
in tutto ne otterremoappunto quanti
ne sono necessari per la costruzione della nostra funzione ~.Ciò premesso, se accenniamo con
la funzione
avremo
da cui finalmente per tnezzo della
(11)
Questa
espressione
dellafunzione §
diventaprecisamente
sig,
Essendo
e se nella
(16)
facciamo >a=2sparisce
naturalmente lasomma relativa all’
indice i,
e ilprodotto
si riduce a due sole funzioni 3 che coincidono conquelle
checompariscono
nella
(17).
MV
In
questo
modo ilproblema
è teoricamente risoluto.Però nella
funzione i
sopra determinata le funzionia,
che vi
compariscono contengono negli argomenti
frazionidel modulo di
periodicità 7-,i
i cui denominatori sono q- eperciò
non sono diquelle 9
che sidesignano
col simbolole
quali contengono negli argomenti
solo le metà deimoduli di
periodicità degli integrali
Abeliani diprima specie.
Sarà utile vedere se è
possibile
introdurrenegli
argo-xnenti delle funzioni 3- che determinano le Solamente le inetà dei moduli di
periodicità
e permaggior soniplicità
lemetà dei inodiili di
periodicità
xi.Vediamo
prima
se ciò èpossibile poi
p,-tsseremo alla cifettiva determinazione.Ricordando che basta
divenga
infinita in ognuno deipunti (6)
la somma delle~~0~,
osservo che se consideronella
( 14)
una linea peresempio
la s esima e inquesta
facciotutte le combinazioni a due a due dando
alle g
di ciascuna combinazione iIottengo
2
sistemi differenti
di g
cuicorrispondono
altrettante fun- zionidifferenti,
e sequesto
loripeto
per tutte linee successivamente neottengo
che mi serviranno certamente alla formazione della fun- zione ~.
Evidentemente fra le
t
che inquesto
modo si costrui-scono ve ne sono certamente di
quelle
chedivengono
infi-nite in un sistema
qualunque
dei
punti (6),
equindi
la loro somma diviene certamenteinfinita in ognuno dei
punti (6).
Dimostrata la
possibilità
determiniamo effettivamentequeste
funzioni~i(1).
Per far
questo
consideriamo una linea peresempio
la lesi-ma ed in
questa prendiamo
unag peresempio
la rrzesirna cui do costantemente il valore2
.mentre successivamente assegno2
appunto
cui
corrisponderanno
altrettante~i(1)
dellequali p
gono infinite in un sistema
qualunque
dipunti
C2 se ni è
costante,
ognuna diviene infinita nel sistemaIndichianio con
la funzione
ed avremo
e
quindi
nella
quale
lefunzioni
-1contengono negli argomenti
sola-mente le metà dei moduli di
periodicità.
Le funzioni che
compariscono
nella(19)
non di-vengono infinite di
primo
ordine altro che in due dei sistemi inon è difficile
però
costruire unafiinzione i
col mezzo di~~tz~
chedivengano
infinite in ognuno deipunti (6)
pren- dendo perle g
solo le metà dei rnoduli diperiodicità
7ri.Per
questo distinguereino prima
i casi di rpari
e dir
dispari.
Se r è
pari
meentre nella linea 1 esima do alle gquei
valori adottati nel caso
precedente,
in un altraqualunque l+n
esima do a tutte ilvalore ;
2 tenendo chesupporrò primo
con p e minor di p, e facendo percorrere ad 1 tutta la serie dei valori1 , ~ ,
.. , pottengo
funzioni differenti che
divengono
infinite in ognuno deipunti (6).
So r è
dispari
invece nella linea esima nonpotendo
dare a tutte
le ;
il valore 2 lo darò ad r-i escludendo peresempio
la mesimaperchè questa
nella linea lesima sonsicuro che ha sempre il
valore .
*2
Per
l+n
intendo ilpiù piccolo
numero che sodisfala congruenza
per-
dispari
onde nel
primo
casoe nel secondo
Da
queste
forme dellafuii’zione i
si ricavafacilmente,
coine era da
prevedersi, l’espressione (19)
col sostituire re-spettivamente
le funzioni. , ’
v alle .; .Del resto
poi
tanto alla(19) quanto
all e(21) (21’) possiamo
dare un’ altra formaintroducendo appunto
lefunzioni
Essendo
si ha
dove L uantità .. v , , .. E ra resen
dove le ..
p’
> >1 epl ,
rappresen-tano o zero o uno; per cui ove i
punti
e, ..,cp (*)
sieno tali che le
corrispondenti
vengano espresse permezzo di metà dei moduli di
periodicità
sotto la forma(a)
avendosi
sarà pure
e
quindi
le(19), (21), (21’)
diverrannorespettivamente:
(*)
Vedasi la memoria delsignor
WEBER intitolata Theorie derUmkehrung
der A belschenIntegrale»
nel Volu-me LXX del
giornale
di Crellepag, 3L4 paragrafo
7.Nelle formule
(19) (21) (21’) la ~
è espressa per fun- zioni lequali dipendono
dall’ indice i che si riferisce ai diversi sistemidelle v,
per cuiquando questi
sistemisieno
differenti, quelle
sono veramente maquando
per
esempio quei
sistemi si riducessero tuttiuguali
fra lororisoluzione del
problema
dellamoltiplicazione.
Bisognerà dunque
vedere se èpossibile
costruirefunzioni
~t (i) differenti,
e c’ie talirimangano
anchequando
i sistemi coincidano.
Distinguo
al solito il caso di rpari
dal caso di 1"dispari,
ed osservo che nelprimo
dandoalle g
della linea .1 esima
a 2, a 4,
a a r ilvalore
vengo adottenere §
si-2 g 2
stemi differenti di g cui mi
corrisponderanno
altrettante funzioni e se il medesimo faccio nella lineacontemporaneamente ,
neottengo altrettante,
equindi
in tutto r, e facendo percorrere ad 1 la serie dei valori
1, 2,
.., p neottengo pr~
equindi
posso fraqueste prenderne
le
quali
mi serviranno alla costruzione dellafunzione.
Evidentemente in
questo
modo le funzioni non di-pendono dagli
indici dei sistemiNel caso di r
dispari
dando a2, 4,
... r-1 delleg della linea lesima il
valore ni
otteniamor- 1
funzioni2 2
e se la stessa
operazione
laeseguiamo
anchesulle g
della linea
l-i-nesima contemporaneamente
otterremofunzioni
~~(~)
e dando ad 1 i valori1 , 2 , .. , p
ne otter-remo
appunto
lNe1 caso di r pari sarà
e
quando i
varia da 1ad
2 2otteniamo leprime r
funzioni/;1 (i);
per averele altre r
-1 basteràprendere
dove i varia da 1
ad r
2 -1 .Quando 1 prende
i valori2 , s . , p
otterremop(r-1)
funzioni‘O,
per cui saràSe i- è
dispari
dove i 17a da 1 ad e per avere le .altre basterà
prendere
dove l’ indice m che si suppone fisso
corrisponde
indicedi
qtiella g
che resta zero nella linea l esimaquando
allealtre r-1 si dà il valore
~~;
per cuiQuando n
siaprimo
con p io dico che dando ad 1 tutti i valoriL , 2 ,
.. , p non si ricade mai in un sistemagià
consideratoperché
le due congruenzeconducendo all’ altra
sono
impossibili contemporaneamente
a meno che non sia1 o p==--’-2.
Considerando il caso
particolare
di 1~=1 si vede subito che esclusi i valori1 , 2
di p siottengono p
sistemi diffe- renti di g facendo assumere ael 1 tutti i valori1 , 2,
.. , p.A tiche dalla
espressione (22)
di ~ si ritorna facilmentealla formola del
signor
Webersupponendo
Le formule
(22) (22’)
non sonoapplicabili quando
siaper cui
bisognerà
trattarequesti
due casi in un modospeciale
onde ottenere lafunzione ?
espressa per mezzo di funzionie tale che possa servire anche
pel problema
della molti-plicazione.
Osservo intanto che le formule
(16) (19) (21) (21’)
sono
giuste
anche perquesti casi,
essendo nelle(21) (21’)
n--o
per p=== 1.
Incorninciamo dal casopiù semplice
ecioè da
quello
checorrisponde
ala congruenza
cemente sistemi
di g ( che
non coincidono con(r-1)
altro che nel casospeciale
dií-===2)
per cui do-vremo far uso anche dei moduli di
periodicità
relativi alle sezionib..
Ciò
posto
se r èpari
oltre considerare i sistemi delle g che siottengono
dando adue,
aquattro,
a 2 1( 1
finoad
7-’)
7rIil valore7!
terremo conto anche dei sistemi . che2 2
si
ottengono
dando successivamente adue, quattro .. 2 1 ( l
finoad -:)
ilvalore 7rt
in modo che ad 1 corri-2 2 2
sponda
il segnosuperiore
ed alle alt,re 1 il segno inferiore.Cos ot,terremmo r sistemi
differenti,
epossiamo
escluderneuno a
piacere
ondeadoperarne
1"-1 come a noi abbiso- gnano.Ciò
posto
leprime -
2 funzioni ’(8) avranno la formaandando i da 1
ad r,
2 e le altre r 1 avranno la formadove i va da uno fino ad
-20131;
2 cosicchè avremo per rpari
Quando r è
dispari
allora fissato per una g il valoreaH
22,potremo
ad un’ altra dare ilvalore 7r ze
ad un’alra ..perciò
il valore e adue, a quattro
... a 2 1(1
fino adr 3
2 il valoreT2 dove per 1
siprende
il segno2 - 2 p h
superiore,
’ e p er le altre 1l’inferiore,
’ cos ottenianxo---
sistemi cui
corsispondono
altrettantey8~,
e sepoi
diamo adue,
auattro,
a 2ll
finoad ?
2
l)
delle g ilvalore 2
SOlall1e.nte,
otteniamoaltre,
funzioni ’(8) che hanno la2
forma
dove í va da uno fino ad mentre le altre hanno la forma
Per il caso
di p=2
sipuò
in una lineadelle ripetere quello
che si è fattopel
caso dip-1 ,
come pure sipotrebbe procedere
in altromodo,
il che tralascio di fare per brevità contentandomi di aver fatto vedere come la soluzione siapossibile
anche inquesti
casispeciali
per mezzo di funzioni’(8)
che nondipendono dagl’
indici dei sistemi V.Per considerare il
problema
dellamoltiplicazione,
sup-poniamo
che i sistemi delle vcoincidano;
allora la(7)
diviene
mentre la
(5)
si riducesemplicemente a
Per determinare i
punti Z’2 ,
... ,seguendo
il solito metodo elimino fra la
(24)
e la(25)
le 1)h edottengo:
la
qual
formula si deducevaiinmediatamente,
come è na-turale,
dalla(8)
sol che vi si supponessero i sistemi delleXll) uguali
fra loro.Determinando
adunque
unafunzione
laquale divenga
infinita di ordine r
nei punti
~~, .. , ~~, e infinitesima di ordine í,-1nei p
c, , .. , cp essa diverrà infinitesima diprimo
ordine anche neipunti
La forma della
funzione " sappiamo
che sarà la se-guente
irrazionalità
rispetto
le altre deb-bono determinarsi in modo che
la ~’
ammettagl’ infinitesim i
5 .., di ordine r -~-1.
Per determinare i coefficienti
dell’equazione
che ha per radici i p valori che la funzione a
prende
neipunti .~’1 ,
3Z’2 , .. , ~’~
osservo che la(9)
diventadonde,
alsolito,
dando a a p valori differenti siottengono
altrettanteequazioni
che ci servono a determinare i coeffi- cienti della(26).
Per introdurre nel calcolo le funzioni 3- osservo
prima
di tutto che si ha
Inoltre
ponendo
essendo le funzioni
iil’l’
diramate comeT,
e tali che almenola loro somma
divenga
infinita di ordine r neipunti
x, , .. , 2 e
quindi
dedu;endosi dalleponendo
in
queste uguali
i sistemidelle v,
cioèavreino, considerando
primieramente
la forma(16)
dellafunzione $
,riducendosi
evidentemente,
coll’ipotesi fatta,
le funzionialla forma
Se volessimo ora la soluzione del medesimo
problema
per mezzo di funzioni 9 che contenessero
semplicemente
lemetà dei moduli di
periodicità
7ri nonpotremmo
servircidelle formule
(19) (21) (21’)
ma bens delle(22) (22’).
Infatti da
queste
si hase » è
dispari;
e introducendo le funzionise le
quantità kh
siesprimono
per mezzo di metà dei moduli diperiodicità’
In tutte le
espressioni
che si sono date per lafunzione
che serve per le soluzioni dei
problemi
di addizione e mol-tiplicazione
i coefficienti arbitrari debbono determinarsi in modo che la funzioneacquisti g.l’infinitesimi
e, , C2 , di ordineÈ appunto
facendoquesta
determinazione che si intro- ducono nel calcolo le derivate delle funzioni~
sullequali
uno studio
speciale
sarebbe molto utilespecialmente
alloscopo di vedere se sia
possibile
la loro eliminazione dai risultati linali. eWl.
Le formule stabilite fin
qui
ci servono per la soluzione dei dueproblemi
di addizione e dimoltiplicazione
estesisignor
Weberesposti
nella memoria sopra citata.Sieno i
punti (6)
determinati per mezzo dellequanti-
tà
(4)
mediante le(5)
col teorema diinversione, e,
consi-deriamo le due somme
essendo le vie
d.’ integrazione
inqueste espressioni
le mede-siime che nelle formule
(5); queste
sommedipendono
dalleconseguentemente
dallee
potremo
indicarle cone se ricordiamo che i
punti
corrispondono
allequantità
avremo
e il
problenia
consiste nel determinare le(29) (29’)
infunzione delle
(28) (~8’) respettivamente,
e dellequantità
note
La
funzione ~
determinata ci dà il modo di risolvere immediatamente ilproblema:
infatti se dalla(29)
si sot-traggono
tutti i sistemi che siottengono
dalla(28), quando
ad i si diano successivamente tutti i valori
1 , ~ , .. , r,
otterremo
e
analogamente
dalle(29’)
e(28’)
Ora la
fmnz one i
diramata come T diviene inf ni(a diprimo
ordine neipunti
in&nitesima filiprimo
ordine.
sono zero
le
quali
formulo risolvono ilproblema.
queste
si passa facilmente aquelle
che danno larisoluzione del
problerl1a
dellamoltiplicazione supponendo
i sistemi delle v Lutti
uguali
fraloro;
allora si ottiene:dove i’
è la funzione sopra de(,erininata per la risoluzione delmedesimo problema
relativo alle trascendenti diprima specie.
Le formule
(30) (30’) (31) (31’) valgono
anche per in-tegrali
di seconda e terzaspecie qualunque,
e non èpunto
necessario supporre che sieno
integrali
normali.Pisa, Luglio
1873-
1
A LBERTO TONELLI Q