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Contexte : Mise En Route / Terminale D/3H
Travaux Dirigés De Mathématiques
Temple Of Success Private Classes - 08 Octobre 2019
Exercise I : Digital Suites And Recurring Demonstration ! On considère la suite numériqueUn définie surN∗ par :
U1= 3 Un+1= 1
2
Un+ 4 Un
1. On considère la fonctionf définie sur]0; +∞[par :f(x) = 1 2
x+4 x
. On note(C)la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J) où les unités respectives sur (OI) et (OJ) sont 4cmet 2cm.
La courbe (C)et la droite(D)d’équationy=xsont tracées sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
(a) Représenter sur l’axe des abscisses (OI)les termesU1,U2etU3de la suiteU en utilisant la courbe(C)et la droite(D).
(b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de la suiteU? 2. On admet quef est continue et strictement croissante sur[2; 3]
(a) Démontrer que f [2; 3]
⊂[2; 3].
(b) En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entiern≥0,2≤Un≤3.
3. (a) Démontrer que la suiteU est décroissante.
(b) En déduire que la suiteU est convergente.
4. On considère la suiteV définie sur N∗ par :Vn= Un−2 Un+ 2. (a) Démontrer que pour tout entiern≥1,Vn+1=
Vn
2 . (b) Démontrer par récurrence que pour tout entiern≥1,Vn=
V1
2n−1
. (c) CalculerV1puis exprimer Vn en fonction den.
(d) ExprimerUn en fonction den.
(e) Démontrer quelimx→+∞Vn. En déduire la limite deU.
Exercise II : Complex Numbers ! SECTION A/
1. Soientz etudeux nombres complexes tels quez=√
3 + ietu=√
2(1 + i).
On poseZ=u·z2.
(a) Déterminer le module et l’argument principal dez etu.
(b) En déduire le module et l’argument principal deZ.
2. (a) EcrireZ sous forme algébrique et sous forme géométrique.
(b) En déduire les valeurs exactes decos(7π
12)et sin(7π 12).
(c) CalculerZ12.
3. Linéariser :sin5x,cos4xet sin2x×cos3x.
4. En se servant de la formule de moivre, calculer
√3 2 +1
2i2001 SECTION B/
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O,−→u ,−→v), unité 2cm.
1. Soit le nombre complexeZo= 1 + i.
F.Yannick NGAN &Zoller R. NGONO BODO 1/2
1XPpULTXHPHQWVLJQpSDU=ROOHU5 1*212%2'2 '1FQ =ROOHU51*212%2'2 JQ =ROOHU51*212%2'2 F &DPHURXQO &0R 7HPSOH2I 6XFFHVV3ULYDWH&ODVVHV RX *URXSH U]ROOHUQE#JPDLOFRP 5DLVRQ7HPSOH2I6XFFHVV 3ULYDWH&ODVVHV (PSODFHPHQW 'DWH
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(a) Montrer queZo est solution de l’équation(E) :z3−(7 + i)z2+ 2(8 + 3i)z−10(1 + i) = 0.
(b) Résoudre l’équation(E)dans l’ensembleNdes nombres complexes.
2. On considère les pointsA,B etC du plan, d’affixes respectives1 + i,3 + iet3−i.
(a) Calculer et écrire sous forme exponentielle ZA−ZB ZC−ZB
. (b) En déduire la nature exacte du triangleABC.
(c) Placer les pointsA,B etC dans le repère(O,−→u ,−→v), et compléter la figure au fur et à mesure.
(d) Soit(Γ)le cercle circonscrit au triangleABC. Déterminer l’affixe du centreGet le rayon rdu cercle.
3. Soit(∆)l’ensemble des pointsM du plan d’affixez vérifiant la relation :|z−1−i|=|z−3 + i|.
(a) Caractériser géométriquement l’ensemble(∆).
(b) Justifier que le pointF d’affixe4 + iappartient à(∆).
(c) Déterminer l’affixeE du point de(∆)situé sur l’axe des ordonnées.
(d) Quelle est la nature exacte du quadrilatèreCEAF? Justifier votre réponse.
Exercise III : Complex Numbers And Plan Transformations ! SECTION A/
Pour chacune des transformations f, donner la nature et les éléments caractéristiques(rapport, angle et centre éventuel).
1. f d’écriture complexe :z0 =−3z+ 1−5i.
2. f d’écriture complexe :z0 = (1 + i)z−i.
3. f d’écriture complexe :z0 =z+ 1 + i.
4. f d’écriture complexe :z0 = iz−1 + 2i.
SECTION B/
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O,−→u ,−→v). L’unité est le centimètre. On donne le point A d’affixei. Soit(Γ)l’ensemble des pointsM du plan d’affixez vérifiant|(1 + i√
3)z−√
3−i|= 6 1. (a) Démontrer qu’un point M appartient à(Γ)si et seulement si son affixez vérifie|z−i|= 3.
(b) En déduire la nature de(Γ).
2. On considère les pointsB etC d’affixes respectives√
3 et−4i.
L’applicationS est la similitude directe qui appliqueAsurO et B surC.
SoitM un point d’affixez etM0 d’affixez0 l’image de M parS. (a) Démontrer que :z0= (1−i√
3)z−√ 3−i.
(b) Déterminer les éléments caractéristiques deS. On noteraE son centre.
(c) Donner l’expression analytique deS.
3. On désigne par(C)l’image de (Γ)parS et (d0)l’image de la droite(d) :−2x+y= 0.
(a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (C).
(b) Construire(C), (d0)et (Γ).
4. SoitD le point tel que :D∈[EB)etED= 2EB.
(a) Construire les points Det E dans le même repère.
(b) Démontrer que le triangleECD est équilatéral.
(c) Calculer l’affixe de D.
(d) Soitrla rotation de centreE qui transformeCenD. Déterminer l’écriture complexe der.
"Tout obstacle renforce la détermination. Celui qui s’est fixé un but n’en change pas."
Léonard De Vinci (1452-1519)
F.Yannick NGAN &Zoller R. NGONO BODO
