Université Bordeaux 1 MH631 - Licence
Mathématiques Année 2010-2011
Devoir Surveillé, 15 mars 2011
Durée 1h20. Documents autorisés : notes de cours.
Exercice 1 – [Décomposition LU]
Soit n >2un entier. On considère la matrice
M =
1 1 1 · · · 1 1 1 2 2 · · · 2 2 1 2 3 · · · 3 3 ... ... ... . .. ... ... 1 2 3 · · · n−1 n−1 1 2 3 · · · n−1 n
.
1) En remarquant que
M =
1 1 · · · 1
1 1 · · · 1
... ... ...
1 1 · · · 1
+
0 0 · · · 0
0 1 · · · 1
... ... ...
0 1 · · · 1
+· · ·+
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
... ... ...
0 0 · · · 1
,
démontrer que M est symétrique définie positive 1. 2) Déterminer la décomposition LU de M.
3) En déduire detM et calculer M−1.
Exercice 2 – [Exponentielle de matrice] Soit la matrice
N =
2 0 1 0 2 0 1 0 2
.
1) Montrer que N est diagonalisable.
2) Calculer Nk pourk entier naturel2. 3) Calculer expN.
1En particulier, on sait désormais queM est inversible et admet une décomposition LU (cf cours et TD).
2On pourra chercher une formule directement à partir des premières valeurs de Nk (et la prouver), ou utiliser la première question et une base de vecteurs propres de N.
Exercice 3 – [Méthodes itératives] Soit la matrice
A=
a b b b a b b b a
, où a, b∈C.
1) Vérifier que A est diagonalisable de valeurs propresa−b eta+ 2b.
On désire résoudre un système AX = B (B ∈ Cn) en utilisant une méthode itérative 3. On supposera dans la suite que l’on aa 6= 0.
2) À quelle condition sur a etb la méthode de Jacobi converge-t-elle ?
3) À quelle condition sur a etb la méthode de Gauss–Seidel converge-t-elle ? 4)En cas de convergence commune, quelle est la plus rapide des deux méthodes ?
3Même si en l’occurrence ce n’est pas très malin.
