Feuille d’Exercices 1

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 1

Suites num´eriques

Exercice 1.1.—Calculer lim

x→0

(exp(2x)−1) sinx 1−cosx et lim

x→0

xln(1 + 2x) exp(x²)−1.

Exercice 1.2.—Indiquer avec une br`eve justification si chacun des ´enonc´es suivants est vrai pour deux suites de r´eelsU = (un)_n∈N etV = (vn)_n∈N.

1. Si U est croissante et convergente, elle est major´ee.

2. Si U est major´ee et convergente, elle est croissante.

3. Si U est d´ecroissante et positive, elle converge.

4. Si U est croissante et non major´ee , alors, lim (un) = +∞.

5. Si U tend vers 0,U V tend vers 0.

Exercice 1.3.— On veut montrer que la suite (un)_n∈N^∗ d´efinie par un= 1 + 1

2+· · ·+ 1 n ne converge pas dansR. Montrer que (un)_n∈N^∗ n’est pas une suite de Cauchy et conclure.

Exercice 1.4.— (Moyenne de Cesaro)Soit (un)_n∈Nune suite tendant versl(aveclun nombre r´eel ou +∞ou−∞).

1. On pose, pour tout n∈N,vn= 1 n+ 1

n

X

k=0

uk. Montrer que lim_n→+∞vn=l.

2. Montrer que la r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral.

Exercice 1.5.—Etudier la suite d´´ efinie paru0= 1 etun+1=√ 2un.

Exercice 1.6.—Etudier la suiteun d´efinie paru0= 0 et∀n≥1,un+1=3un−2 2un−1

Exercice 1.7.— Trouvez un exemple de suites un telle que u²_n converge sans que la suite un

converge.

Exercice 1.8.—Soitu_n une suite de nombres complexes convergeant vers un nombre complexe l.

1. Montrez que la suiteun est born´ee.

2. En d´eduire, sans utiliser les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites des produits de suites, que la suiteu²_n tend versl².

Exercice 1.9.—Pourn≥0, on posean=

p=2n+1

X

p=1

1

pn²+p. Trouvez, `a l’aide d’un encadrement, la limite de la suitean.

Exercice 1.10.— Soitan la suite d´efinie paran =

n

X

k=1

(−1)^k+1

k . On d´efinit les suites un et vn

parun =a2n et vn =a2n+1. Montrez que les suites un etvn sont adjacentes. En d´eduire quean

converge.

Exercice 1.11.—Soientun etvn deux suites de nombres complexes convergeant respectivement versl etl⁰.

1. Montrez que la suitew_n=u_nv_n converge versll⁰. 2. Si l6= 0, montrez que _u¹

n converge vers ¹_l. 3. Traitez le cas o`u l= 0.

Exercice 1.12.—Soit (un)_n≥0une suite de nombres r´eels strictement positifs. On d´efinit la suite (vn)_n≥0par :

∀n≥0, vn= un+1

un

. On suppose que la suite vn converge vers une limite l.

1. On supposel <1. Montrez que la suite u_n tend vers 0. Montrez que la suiteU_n =Pn k=0u_n converge.

2. On supposel >1. Montrez que la suiteun diverge.

3. On supposel= 1. Montrez `a l’aide d’exemples qu’on ne peut rien dire ni sur la convergence de un.

Exercice 1.13.—Montrer que si la fonctiong est continue positive et d´ecroissante sur ]0,+∞[, alors on a :

Z n+1

1

g(x)dx≤

n

X

k=1

g(k)≤g(1) + Z n

1

g(x)dx.

1. En d´eduire la convergence de la suitev_n= 1 +1

2 +· · ·+ 1

n−logn.

2. En d´eduire le comportement de la suite d´efinie paru_n= 1

√n

n

X

k=1

√1 k.

Exercice 1.14.— (classique)Soient aet b deux r´eels tels que 0< b < a. On d´efinit les suites (a_n)_n≥0 et (b_n)_n≥0 par :

a₀=a, b₀=b et

∀n≥1, a_n= a_n−1+b_n−1

2 et b_n=p

a_n−1b_n−1.

Montrez que pour toutn≥0,a_n≥b_n. En d´eduire que les suitesa_n et b_n convergent vers une mˆeme limite lqu’on appelle moyenne arithm´etico-g´eom´etrique deaet b.

Exercice 1.15.— (classique)On consid`ere les deux suites de nombres r´eels (un)_n∈N^∗et (vn)_n∈N^∗ d´efinies par :

un= 1 + 1

1!+· · ·+ 1

n! et vn =un+ 1 nn!. 1. Montrer que :

a. la suite (u_n)_n∈N^∗ est croissante ; b. la suite (v_n)_n∈N^∗ est d´ecroissante ; c. pour toutn≥1,u_n ≤v_n;

d. lim_n→+∞(v_n−u_n) = 0.

2. En d´eduire que les suites (un)n∈N^∗ et (vn)n∈N^∗ sont convergentes et de mˆeme limite. Cette limite est le nombre r´eele.

3. En utilisant queeest compris entre un et vn, montrer que eest irrationnel (on effectuera un raisonnement par l’absurde, en supposant quee= p

q avecpet qdansN^∗.