TSTI2D & TSPCL
Bac blanc avril 2013 : 4 heures
Le sujet comporte quatre pages : le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 (5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’ajoute ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.
Partie A : Un loyer de 750€ mensuel augmente de chaque année.
1. Le loyer au centime près la troisième année est de :
775,50 775,72 788,90 728,25
2. Au bout de trois ans, la somme totale, arrondie à l’euro, versée par le locataire est :
27459 27000 27462 22880
3. Qu’affiche l’algorithme suivant ?
5 4 36928 46556
Partie B
4. Pierre attend son métro le matin. Il sait qu’il y a un métro toutes les cinq minutes. Il considère que son temps d’attente est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [ ].
La probabilité que son attente soit supérieure à deux minutes est :
0,2 0,4 0,6 0,8
5. Pierre se rend à la poste. Il considère que son temps d’attente en minutes à un guichet suit une loi exponentielle de paramètre
.
La probabilité à près que son attente soit inférieure à un quart d’heure est d’environ :
0,30 0,35 0,40 0,45
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 4
5 6 7
0 5
2 3
x y
Exercice 2 (5 points)
Lorsqu’un système de production de pâte à papier fonctionne, il dégage de la chaleur et réchauffe le local dans lequel il se trouve. Une étude de la température de ce local a été effectuée à partir de lois physiques.
1. Étude d’une fonction
On considère la fonction définie sur l’intervalle [ [ par ( ) . On note 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
a. Déterminer la limite de la fonction en . Interpréter graphiquement ce résultat.
b. Calculer ( ), puis étudier son signe.
c. En déduire le tableau de variation de la fonction .
d. Préciser le coefficient directeur de la tangente à 𝒞 au point d’abscisse 0.
e. En exploitant toute l’étude précédente, tracer soigneusement 𝒞 dans le repère fourni en annexe.
2. Étude de la température du local
La fonction permet de calculer la température du local ( ), exprimée en degrés Celsius, en fonction du temps , exprimé en heures, écoulé depuis la mise en route du système.
a. Donner une interprétation du résultat du 1.a. dans ce contexte.
b. Calculer la température du local lorsque le système a fonctionné 1 heure et demie. On arrondira à . c. Graphiquement, estimer le temps au bout duquel le local dépassera la température de 19°C. On laissera
apparent sur le dessin les traits permettant cette lecture graphique.
d. À l’aide d’une résolution algébrique, préciser le résultat précédent à la minute près.
Exercice 3 (5 points)
On se propose d’étudier la capacité pulmonaire de l’être humain de 10 à 90 ans.
On désigne par la fonction définie sur l’intervalle [ ] par ( ) ( )
.
On admet que, pour un être humain d’âge , en années, appartenant à l’intervalle [ ], sa capacité pulmonaire, en litres, peut être modélisée par ( ).
Une représentation graphique de la fonction est donnée ci-dessous.
I. L’objectif de cette première partie est de déterminer à quel âge la capacité pulmonaire d’un être humain est maximale, ainsi que sa valeur maximale.
1. Répondre à la question posée avec la précision permise par la représentation graphique.
2. a) Calculer la fonction dérivée de la fonction f.
b) Justifier que pour tout nombre réel de l’intervalle [ ], le signe de ( ) est le même que celui de ( ).
c) Résoudre sur l’intervalle [ ] l’équation : ( ) . d) En déduire le signe de ( ) sur l’intervalle [ ].
e) En déduire les variations de la fonction sur l’intervalle [ ].
II. L’objectif de cette deuxième partie est de déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire d’un être humain de 20 à 70 ans.
1. Montrer que la fonction définie sur l’intervalle [ ], par ( ) ( ( ) ) est une primitive de la fonction sur l’intervalle [ ].
2. Calculer m la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [ ].
3. En déduire la capacité pulmonaire moyenne d’un être humain de 20 à 70 ans, à 0,1 litres près.
Exercice 4 (5 points)
On considère deux fonctions et définies sur ℝ respectivement par ( ) et ( ) . On note 𝒞 et 𝒞 leur courbe représentative respective dans un repère orthonormé.
1. On admet ci-dessous les tableaux de signe des deux fonctions et :
Signe de ( )
Signe de ( )
Donner une interprétation graphique à ces deux tableaux.
2. On définit pour tout ℝ la fonction par ( ) ( ) ( ).
a. Étudier le signe de ( ). On justifiera soigneusement le résultat.
b. Donner une interprétation graphique au résultat précédent.
3. On a représenté ci-dessous deux domaines grisés limités par les courbes 𝒞 , 𝒞 ou l’axe des abscisses.
Domaine 1 Domaine 2
Caractériser l’aire en unités d’aires de chacun de ces deux domaines à l’aide d’intégrales.
Aucun calcul n’est demandé à cette question.
4. Une entreprise de skis dont l’usine est située à proximité de Bourg-Saint-Maurice, souhaite marquer sa production d’un logo bleu, blanc, rouge. Ce logo reproduit en annexe est obtenu à l’aide des courbes représentatives des fonctions et étudiées plus haut.
On a fait disparaître l’axe des ordonnées et conservé l’axe des abscisses pour [ ].
L’unité de longueur sur chaque axe est 2 cm.
a. Sachant que l’intégrale ∫ ( ( ) ( )) définit l’aire du domaine de la partie bleue du logo, exprimée en unités d’aires, hachurer en annexe ce domaine en bleu.
b. Sachant que la somme d’intégrales ∫ ( ( ) ( )) ∫ ( ) définit l’aire de la partie rouge du logo, exprimée en unités d’aires, hachurer en annexe ce domaine en rouge.
c. Déterminer en cm² la valeur exacte de l’aire du domaine non colorié du logo (partie blanche). Toute trace de recherche à cette question sera valorisée.
2 3 4 5 6
2 3
0 1
1
x y
2 3 4 5 6
2 3 4
0 1
1
x y
ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE NOM & CLASSE :
Exercice 2
Exercice 4
TSTI2D & TSPCL : corrigé bac blanc
Exercice 1
A. 1. réponse choisie : 775,72 2. réponse choisie : 27462 3. réponse choisie : 5 B. 4. réponse choisie : 0,6
5. réponse choisie : 0,45
Exercice 2
1. a. , donc ( ) .
Il en résulte que 𝒞 admet la droite d’équation pour asymptote horizontale.
b. est dérivable sur [ [, et ( ) ( ) . Pout tout ℝ, , donc ( ) sur [ [.
c.
( )
Signe de ( )
Variation de
( )
d. Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse est ( ) . e.
2. a. La température du local va s’approcher de 22°C.
b. ( ) : après 1 heure et demi, la température du local est d’environ °C.
c. On détermine les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est supérieure à 19 : le temps au bout duquel la température sera supérieure à 19°C est d’environ 2,8h.
d. On résout ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ; or, ( ( )) :
le temps au bout duquel la température sera supérieure à 19°C est d’environ 2 heures et 49 minutes.
Exercice 3
I. 1. Il semble que l’âge pour lequel la capacité pulmonaire est maximale est d’environ 20 ans.
2. a) est dérivable sur [ ], et ( )
( ( ) ) ( )
( ( )).
b) Pour tout [ ], , donc ( ) a le même signe que ( ). c) ( ) ( ) : { }.
d) La fonction est strictement croissante sur ] [, donc : ( ) ( ) ( ) ( ) . Ainsi, ( ) sur [ ], et ( ) sur [ ].
e) .
( )
Signe de ( )
Variations de
( )
( ) ( )
f) L’âge pour lequel la capacité pulmonaire est maximale est de ans, soit environ 20 ans et 1 mois.
II. 1. est dérivable sur [ ], et pour tout [ ] :
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) : il en résulte que est bien une primitive de . 2.
∫ ( ) [ ( )] ( ( ) ( )) (( ( ) ) ( ( ) ) ). 3. L
Exercice 4
1. 𝒞 est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [ ] et en dessous de l’axe des abscisse sur la réunion d’intervalles] ] [ [ ;
𝒞 est au dessus de l’axe des abscisses sur [ ] et en dessous de l’axe des abscisse sur ] ] [ [ ; 2. a. ( ) ( ) ( ).
Règle: est du signe de sauf ente ses éventuelles racines.
On en déduit : 3
Signe de ( )
b. On en déduit que 𝒞 est au-dessus de 𝒞 sur [ ], et 𝒞 est en dessous de 𝒞 sur ] ] [ [ 3. Aire du domaine 1 : ∫ ( ) ; Aire du domaine 2 : ∫ ( ( ) ( ))
4. c. et sont continues sur ℝ, et les fonctions et sont respectivement positives sur [ ] et [ ].
L’aire du domaine non colorié du logo, exprimée en unités d’aire, est donnée par :
∫ ( ) ∫ ( ) [ ] [ ] . Or, u.a. cm², donc l’aire cherchée est de cm².
Proposition de barème sur 40 points.
Exercice 1 (10 points)
5× 2 points.
Exercice 2 (11,5 points)
1. a. 0,5 la limite + 0,5 la justification + 0,5 l’asymptote=1,5 points b. 1 le calcul+0,5 le signe+0,5 la justification du signe=2 points c. 0,5 la flèche+0,5 l’image et la limite=1 point.
d. 1 point
e. 0,5 l’asymptote+0,5 la tangente+1 la courbe=2 points 2. a. 0,5 point
b. 1 point
c. 0,5 point le tracé ou l’explication+0,5 point le résultat=1 point d. 1,5 point la résolution de l’équation ou de l’inéquation
Exercice 3 (10,5 points)
I. 1. 1 point 2. a) 1,5 point b) 1 point c) 1 point
d) 1 point pour le seul résultat
e) 0,5 pour les flêches+0,5 pour les images=1 point f) 0,5 point pour exp(3) ou toute valeur approchée.
II. 1. 0,5 pour l’idée de calculer F’(x)+1 pour le calcul=1,5 point
2. 0,5 pour l’application de la formule+0,5 pour l’idée d’utiliser F+0,5 pour le résultat=1,5 point 3. 0,5 pour le seul résultat (on accepte l’estimation graphique).
Exercice 4 (8 points)
1. 0,5 pour l’idée de la position par rapport à (OI)+0,5 pour les résultats=1 point
2. a. 0,5 pour l’expression réduite de h(x)+0,5 pour le rappel de la règle+0,5 pour le résultat=1,5 point b. 0,5 pour l’idée des positions relatives+0,5 pour le résultat=1 point
3. 0,5 pour domaine 1+0,5 pour domaine 2=1 point 4. a. 0,5 point
b. 0,5 point
c. 1 pour la somme des intégrales+2*0,5 pour les primitives+0,5 pour23/3+0,5 pour 92/3 cm²=3 points
