MATHÉMATIQUES Bac blanc TSTI2D Jeudi 12 mars 2020
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L'utilisation d'une calculatrice en mode examen est autorisée.
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DURÉE : 4 HEURES
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.
Le sujet comporte quatre pages et une annexe.
EXERCICE 1 5 points
On considère la suite numérique (un) définie par :
u0 = 6 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,5 un + 2.
1. Calculer u1 et u2. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
Une copie d’écran sur laquelle les termes u1 et u2 ont été effacés est donnée en annexe.
2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d’obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ?
3. En utilisant cette copie d’écran, peut-on conjecturer la limite de la suite (un)?
4. On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont l’entier naturel N et le réel U.
Initialisation : N 0 U 6
Traitement : TANT QUE U − 4 > 0,01
N N + 1 U 0,5 * U + 2
Fin TANT QUE Sortie : Afficher N
a. Par rapport à la suite (un), quelle est la signification de l’entier N affiché ? b. Que fait cet algorithme ?
5. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un − 4.
On admet que la suite (vn) est géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison 0,5.
a. Exprimer vn en fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (vn).
c. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ?
EXERCICE 2 5 points
On note f la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = (2 − lnx) lnx.
Sa courbe représentative cf dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE.
1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en 0. Retrouver ce résultat à l’aide de l’expression de f (x).
2. Montrer que la fonction dérivée de f sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ est définie par f ′ (x) = 2(1−lnx)
x .
2/4
4. a. On appelle A et B les points d’intersection de la courbe cf avec l’axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
b. Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe cf au point A.
Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.
5. Montrer que la fonction F définie par F(x) = − x(lnx) 2 +4x lnx − 4x est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [.
EXERCICE 3 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. On ne demande aucune justification.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π
2 . 1. La forme algébrique du nombre complexe 1
2+5i est : a. 2
29 + 5
29 i b. 2
29 – 5
29 i c. 2 7 – 5
7 i d. 2 7 + 5
7 i
2. Soit le nombre complexe z=1 2+
√
32 i . Le nombre complexe z 2020 est égal à : a. eiπ3 b. ei 2
π
3 c. ei 4
π
3 d. e- iπ3
3. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f(x) = 2e3x . On note cf sa courbe représentative dans un repère donné.
Une équation de la tangente à la courbe cf au point de la courbe d’abscisse 0 est :
a. y = 6x + 2 b. y = 2x + 6 c. y = 6x + 6 d. y = 2x + 2 4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle I = ] 0 ; + ∞ [ par h(x)= 5
3x+1 . Une primitive sur I de la fonction h est la fonction H définie sur I par : a. H(x)= 5x
3 2 x2+x
b. H(x)=5
3ln(3x+1)+2 c. H(x)= −15
(3x+1)2 d. Autre réponse
EXERCICE 4 6 points
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; ⃗i , ⃗j ). On s’intéresse dans ce problème à une fonction f définie sur l’ensemble des réels . On note c la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; ⃗i , ⃗j ).
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur par g(x) = 2ex + 2x + 3.
1. Étudier le sens de variation de la fonction g sur . Les limites ne sont pas demandées.
2. On admet que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [−2 ; −1].
a. A l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au dixième de α.
b. En déduire, selon les valeurs du nombre réel x, le signe de g (x).
Partie B : Étude de la fonction f
Soit f la fonction définie sur par f (x) = 2ex + x 2 + 3x.
1. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞.
2. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers −∞.
3. Étudier le sens de variation de la fonction f sur . 4. Soit P la parabole d’ équation y = x 2 +3x.
a. Déterminer la limite de f (x) − ( x 2 +3x ) quand x tend vers −∞.
b. Que peut-on en déduire graphiquement ?
c. Étudier la position relative de la courbe c et de la parabole P .
4/4
EXERCICE 1
EXERCICE 2
0 6
1 2
3 4,25
4 4,125
5 4,0625
6 4,03125
7 4,015625
8 4,0078125
9 4,00390625 10 4,001953125 11 4,0009765625 12 4,0004882813 13 4,0002441406 14 4,0001220703 15 4,0000610352
