Méthode de Première S :

TS -Lycée Desfontaines

Comment calcule-t-on les limites d’un polynôme ?

Rappel :Sauf indication contraire, on ne calcule les limites d’une fonction qu’aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

Tout polynôme étant défini sur ^R, on ne calcule donc, à priori, que ses limites en l’infini.

Méthode de Première S :

(i) On calcule la limite de chacun des termes (monômes) et on applique les règles opératoires sur les sommes de limites.

(ii) Si on aboutit à une indétermination, on met en facteur le terme prépondérant cad le terme de plus haut degré.

(iii) On calcule alors la limite de la parenthèse qui doit valoir 1. On obtient alors quela limite du polynôme en l’infini est celle de son terme de plus haut degré .

Exemple :SoitP le polynôme défini parP(x) =−2x²+ 5x+ 17.

Limite en−∞: lim

x→−∞

−2x²=−∞, lim

x→−∞

5x=−∞

Donc d’après les règles opératoires sur les sommes de limites lim

x→−∞

P(x) =−∞.

Limite en+∞: lim

x→+∞−2x²=−∞, lim

x→+∞5x= +∞donc la limite de P en+∞est indéterminée.

Pour lever cette indétermination, on factorise par le monôme de plus haut degré, cad ici par−x² :

∀x6= 0, P(x) =−2x²(1−_2x⁵ −_2x¹⁷₂). Or lim

x→+∞−5 2x= lim

x→+∞− 17

2x² = 0donc lim

x→+∞(1− 5 2x− 17

2x²) = 1d’où lim

x→+∞P(x) = lim

x→+∞−2x²=−∞.

Méthode de Terminale S :

A l’infini , la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré .

Exemple :Reprenons le polynômeP défini parP(x) =−2x²+ 5x+ 17. Il suffit d’écrire : A l’infini , la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc

lim

x→−∞

P(x) = lim

x→−∞

−2x²=−∞et lim

x→+∞P(x) = lim

x→+∞−2x²=−∞.

S’entraîner :

1. Calculer les limites en l’infini du polynôme suivant , en utilisant la méthode de Première S : P₁(x) =−x⁴+ 2x³−5x.

2. Déterminer les limites en+∞et−∞de chacun des polynôme suivants , en utilisant la méthode de Terminale S : (a) P₂(x) =−3x³+ 5x²+ 8x−1

(b) P₃(x) =x⁸−12x³+x−12 (c) P₄(x) = 5x⁵+ 12x³−18

C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/1 Méthodes