Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 10
Approximations II
Le but de cette khôlle est de tester différentes méthodes pour le calcul approché deI et J avec I:= 4
Z 1
0
dt
1 +t2 et J :=
µZ +∞
−∞
e−t2dt
¶2
avec
Z +∞
−∞
e−t2dt:= lim
A→+∞
Z A
−A
e−t2dt
Ces intégrales seront calculées de facon approchées à l’aide de la méthode des rectangles (gauches, droites ou médians) et de la méthode des trapèzes
Rectangles Gauches
0,5
0
1 0,5
0 -0,5
1
-1
1,5 2 3
2,5
Rectangles Droites
0,5
0
1 0,5
0 -0,5
1
-1
1,5 2 3
2,5
Rectangles Médians
0,5
0
1 0,5
0 -0,5
1
-1
1,5 2 3
2,5
Trapèzes
0,5
0
1 0,5
0 -0,5
1
-1
1,5 2 3
2,5
Exercice 1.
a) Montrer que pourB > A >0 quelconques, on a Z B
A
e−t2dt≤e−A2 A b) En déduire que
Z 10
−10
e−t2dtest une valeur approchée de√
J à 10−30 près
1
Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 10
Exercice 2.
a) Ecrire une procédureRectangle_gprenant en argument une fonctionf deux réelsa < bet un entier N ∈N∗ et renvoyant une valeur approchée de Rb
af(t)dtpar la méthode des rectangles gauches (avec N rectangles)
b−a N
N−1X
k=0
f
³
a+kb−a N
´
b) Calculer une valeur approchée deI etJ à l’aide de20rectangles.
Quelle est la précision obtenue ?
c) Ecrire une procédure prenant les mêmes arguments ci-dessus et renvoyant la liste h
[1
N, R1],[2
N, R2], . . . ,[N−1
N , RN−1],[1, RN]i
OùRkreprésente la valeur approchée de l’intégrale à l’aide dekrectangles. Tracer ces points pourN= 50.
d) Chargez les packages plotset plottoolset à l’aide des commandes rectangle, polygon, plots[display]
créer une procédure permettant de tracer la courbe de f et les rectangles associés à la procédure rectangle_g.
indication : On pourra dans un premier temps créer une procédure Suite_Rg renvoyant la séquence des rectangles recherchée.
Exercice 3. Mêmes questions avec la méthode des rectangles droites b−a
N XN k=1
f
³
a+kb−a N
´
Exercice 4. Mêmes questions avec la méthode des rectangles médians b−a
N
N−1X
k=0
f
³
a+ (k+1
2)·b−a N
´
Exercice 5.
a) Mêmes questions avec la méthode des trapèzes
Tn :=b−a n
Ãf(a) +f(b)
2 +
n−1X
k=1
f
³
a+kb−a N
´!
b) Afficher les valeursT1, T2, T4, . . . , T210.
indication :Pour gagner du temps on pourra écrire une procédure récursiveDichot(f, a, b, N)revoyant la valeur
DN :=
2XN−1
k=1
f³
a+kb−a N
´
Puis une procédureT_dichot(f, a, b, N)renvoyant lesN premières valeurs de la suite(T2k)k∈N
Exercice 6. Calculer pour différentes valeurs deN la quantité
4 XN
k=0
(−1)k 2k+ 1 Quel entierN choisir pour avoir une précision d’au moins 10−2
2
