Quelques approximations du temps local brownien

(1)

HAL Id: hal-00098326

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Submitted on 25 Apr 2007

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Quelques approximations du temps local brownien

Blandine Berard Bergery, Pierre Vallois

To cite this version:

Blandine Berard Bergery, Pierre Vallois. Quelques approximations du temps local brownien.

Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2007, 345, pp.45-48.

�10.1016/j.crma.2007.05.007�. �hal-00098326v3�

(2)

hal-00098326, version 3 - 25 Apr 2007

Quelques approximations du temps local brownien

Blandine B´ erard Bergery

^a

, Pierre Vallois

^a

aUniversité Henri Poincaré, Institut de Mathématiques Elie Cartan, B.P. 239, F-54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex, France

R´ esum´ e

On d´efinit plusieurs approximations du processus des temps locaux ( L

^x_t

)

t>0

au niveau x du mouvement brownien r´eel ( X

_t

). En particulier, on montre que

²_ǫ

R

t

0

X

⁺

(u+ǫ)∧t

1I

{Xu60}

du +

²_ǫ

R

t 0

X

⁻

(u+ǫ)∧t

1I

{Xu>0}

du et

⁴_ǫ

R

t

0

X

_u⁻

1I

{X_(u+ǫ)∧t>0}

du convergent au sens ucp vers L

⁰_t

, lorsque ǫ → 0. D’autre part, on montre que

¹_ǫ

R

t

0

(1I

_{x<X_s+ǫ}

− 1I

_{x<Xs}

)( X

_s+ǫ

− X

_s

) ds converge vers L

^x_t

dans L

²

(Ω) et que la vitesse de convergence est d’ordre ǫ

^α

, pour tout α <

¹

4

. Abstract

Some Brownian local time approximations

We give some approximations of the local time process ( L

^x_t

)

t>0

at level x of the real Brownian motion ( X

_t

). We prove that

²_ǫ

R

t

0

X

_(u+ǫ)∧t⁺

1I

{Xu60}

du +

²_ǫ

R

t

0

X

_(u+ǫ)∧t⁻

1I

{Xu>0}

du and

⁴_ǫ

R

t

0

X

_u⁻

1I

{X_(u+ǫ)∧t>0}

du converge in the ucp sense to L

⁰_t

, as ǫ → 0. We show that

¹_ǫ

R

t

0

(1I

_{x<X_s+ǫ_}

− 1I

_{x<Xs}

)( X

_s+ǫ

− X

_s

) ds goes to L

^x_t

in L

²

(Ω) as ǫ → 0, and that the rate of convergence is of order ǫ

^α

, for any α <

¹

4

.

Mots-cl´ es: temps local, int´egration stochastique par r´egularisation, variation quadratique, vitesse de convergence.

classification AMS: 60G44, 60H05, 60H99, 60J55, 60J65.

Dans cette Note, le processus X est continu, et la convergence en probabilité, uniformément sur les compacts, sera notée ucp (voir Section II.4 de [3]).

1. D´ efinition du premier sch´ ema d’approximation

1.1. Il existe déj` a de nombreuses approximations du temps local de larges classes de processus (voir [1], [2], [4]). L’objectif de cette Note est de présenter de nouveaux schémas d’approximation du temps local du mouvement brownien standard réel et de certaines martingales browniennes. On se place dans le cadre de l’intégration par régularisation définie par Russo et Vallois ( [5], [7], [8]). On rappelle (c.f. [7]) que la

Email addresses:[email protected] (Blandine B´erard Bergery),[email protected](Pierre Vallois).

(3)

covariation [X, Y ] est la limite au sens ucp de

¹_ǫ

R

t

0

(Y

s+ǫ

− Y

s

) (X

s+ǫ

− X

s

) ds, si cette limite existe. On d´efinit

J

ǫ

(t, y) = 1 ǫ

Z

t 0

1I

_{y<X_s+ǫ_}

− 1I

_{y<Xs}

(X

s+ǫ

− X

s

) ds, y ∈ R, t > 0. (1) 1.2. Il est facile de montrer que si f ∈ C

⁰

(R) et X admet une variation quadratique [X, X], alors

ǫ

lim

→0

(ucp) Z

R

f (y)J

ǫ

(t, y)dy = Z

t

0

f (X

s

)d[X, X]

s

, f ∈ C

⁰

(R). (2) Lorsque X est une semi-martingale, [X, X] est ´egal ` a la variation quadratique usuelle et X a un processus des temps locaux (L

^a_t

)

a∈R,t>0

. La formule de densit´e d’occupation permet d’´ecrire (2) sous la forme :

ǫ

lim

→0

(ucp) Z

R

f (y)J

ǫ

(t, y)dy = Z

R

f (y)L

^y_t

dy, f ∈ C

⁰

(R).

Ce qui sugg`ere de montrer la convergence de J

_ǫ

(t, y) vers L

^y_t

, quand ǫ tend vers 0. Compte tenu de (1), cette question est ´equivalente ` a [1I

_{y<X.}

, X

_.

]

t

= L

^y_t

.

Pour simplifier les notations, on prend y = 0 et on note simplement J

_ǫ

(t) = J

_ǫ

(t, 0).

2. Convergence de J

_ǫ

( t )

On peut d´ecomposer d’une mani`ere naturelle J

ǫ

(t) en une somme de deux termes : J

ǫ

(t) = − 1

ǫ Z

t

0

1I

_{0<Xs}

(X

s+ǫ

− X

s

) ds

| {z }

I¹ǫ(t)

+ 1 ǫ

Z

t 0

1I

_{0<Xs+ǫ}

(X

s+ǫ

− X

s

) ds

| {z }

Iǫ²(t)

. (3)

Th´ eor` eme 2.1 On suppose que X est un mouvement brownien standard r´eel. Alors : (i) lim

ǫ→0

(ucp) J

ǫ

(t) = [1I

_{0<Xs}

, X

s

]

t

= L

⁰_t

.

(ii) lim

_ǫ→0

(ucp) I

_ǫ¹

(t) = R

t

0

1I

_{0<Xs}

dX

_s

. (iii) lim

_ǫ→0

(ucp) I

_ǫ²

(t) = X

_t⁺

+

¹₂

L

⁰_t

.

Preuve du Th´ eor` eme 2.1. Puisque f : x → 1I

_{0<x}

∈ L

²_loc

et x → x

⁺

est une primitive de f , le Th´eor`eme 4.1 de [6] s’applique : [f (X ), X ]

t

existe, vaut 2

X

_t⁺

− X

₀⁺

− R

t

0

1I

_{0<Xs}

dX

_s

et la formule de Tanaka donne alors le point (i). Toujours par [6], on a

ǫ

lim

→0

(ucp) 1 ǫ

Z

t 0

Y

s

(X

s+ǫ

− X

s

) ds = Z

t

0

Y

s

dX

s

, (4)

avec Y

_s

= f (X

s

) , ce qui donne le point (ii). Le point (iii) se déduit des deux précédents via la formule de Tanaka. 2

Remarque : Plus g´en´eralement, si (X

t

)

t>0

est une semi-martingale et (Y

t

) un processus adapt´e tel que t → Y

t

admet des limites ` a gauche, alors (4) a lieu (c.f. [8], Proposition 3.31). Signalons un résultat qui ne concerne pas directement l’approximation du temps local mais qui est très lié à notre étude : si (Y

t

) est un processus adapté et localement h¨ oldérien, alors la convergence (4) a lieu presque sˆ urement, uniformément pour t ∈ [0, T ].

2

(4)

3. Autres sch´ emas d’approximation

D’après la décomposition (3) et le Théorème 2.1, J

_ǫ

(t) se d´ecompose en deux termes ayant chacun une limite. Mais ces deux limites ne s’expriment pas uniquement en fonction du temps local. On cherche donc une autre d´ecomposition de J

_ǫ

(t) en des termes qui convergent chacun vers une fraction du temps local.

En ´ecrivant 1I

_{X(u+ǫ)∧t>0}

− 1I

_{Xu>0}

= 1I

_{X(u+ǫ)∧t>0,Xu60}

− 1I

_{X(u+ǫ)∧t60,Xu>0}

, on obtient facilement : J

ǫ

(t) = I

_ǫ³

(t) + I

_ǫ⁴

(t) + I

_ǫ⁵

(t) + R

ǫ

(t), (5) avec I

_ǫ³

(t) = 1

ǫ Z

t

0

X

_(u+ǫ)⁺ _∧t

1I

_{Xu60}

du + 1 ǫ

Z

t 0

X

_(u+ǫ)⁻ _∧t

1I

_{Xu>0}

du, (6) I

_ǫ⁴

(t) = 1

ǫ Z

t

0

X

_u⁻

1I

_{X(u+ǫ)∧t>0}

du, I

_ǫ⁵

(t) = 1 ǫ

Z

t 0

X

_u⁺

1I

_{X(u+ǫ)∧t60}

du, (7) et R

ǫ

(t) un terme qui converge presque sˆ urement vers 0, uniform´ement sur les compacts.

Th´ eor` eme 3.1 Si X est le mouvement Brownien standard, alors (i) lim

ǫ→0

(ucp) I

_ǫ³

(t) =

¹₂

L

⁰_t

.

(ii) lim

ǫ→0

(ucp) I

_ǫ⁴

(t) = lim

ǫ→0

(ucp) I

_ǫ⁵

(t) =

¹₄

L

⁰_t

. Remarque :

1) Ce r´esultat est encore vrai lorsque X

t

= R

t

0

σ(s)dB

s

o` u B est un mouvement brownien standard et σ une fonction d´efinie sur R

⁺

, h¨ olderienne d’ordre γ >

¹₄

et telle que | σ(s) | > a > 0 .

2) Nous n’avons pas obtenu s´epar´ement la convergence de chacun des termes de I

_ǫ³

(t).

Preuve du Th´ eor` eme 3.1. a) D’apr`es la formule de Tanaka, X

_(u+ǫ)⁺ _∧_t

= X

_u⁺

+

Z

(u+ǫ)∧t u

1I

_{Xs>0}

dX

s

+ 1

2 (L

⁰_(u+ǫ)_∧_t

− L

⁰_u

).

On a une formule similaire pour X

_(u+ǫ)⁻ _∧_t

. Il est ais´e d’en d´eduire que I

_ǫ³

(t) est ´egal `a 1

ǫ Z

t

0

Z

(u+ǫ)∧t u

1I

_{Xs>0,Xu60}

− 1I

_{Xs60,Xu>0}

dX

s

! du + 1

2ǫ Z

t

0

(L

⁰_(u+ǫ)_∧_t

− L

⁰_u

)du. (8) On ´ecrit L

⁰_(u+ǫ)_∧t

− L

⁰_u

= R

(u+ǫ)∧t

u

dL

⁰_s

. Une application du th´eor`eme de Fubini permet montrer la conver- gence du second terme de (8) vers

¹₂

L

⁰_t

. On utilise le théorème de Fubini stochastique (c.f. Section IV.5 de [4]) pour transformer le premier terme de (8) en une intégrale stochastique. L’inégalité de Doob donne alors la convergence de ce terme vers 0 dans L

²

(Ω).

b) Il est ´equivalent d’´etudier la convergence de I

_ǫ⁴

(t) ou de I

_ǫ⁵

(t). On ´ecrit I

_ǫ⁵

(t) comme la somme d’un terme qui converge presque sˆ urement vers 0, uniform´ement sur les compacts, et de :

1 ǫ

Z

(t−ǫ)⁺ 0

X

_u⁺

1I

_{X_u+ǫ60}

− Φ

− X

u

√ ǫ

du + 1 ǫ

Z

t 0

X

_u⁺

Φ

− X

u

√ ǫ

du, (9)

o` u Φ est la fonction de répartition de la gaussienne centrée réduite. Par la formule de densité d’occupation : 1

ǫ Z

t

0

X

_u⁺

Φ

− X

u

√ ǫ

du = 1 ǫ

Z

R

x

⁺

Φ

− x

√ ǫ

L

^x_t

dx = Z

_∞

0

yΦ( − y)L

^y_t^√^ǫ

dy.

On en d´eduit facilement la convergence p.s. de ce terme vers

¹₄

L

⁰_t

, uniform´ement sur les compacts. Pour

le premier terme de (9), on ´ecrit le terme entre crochet comme une int´egrale stochastique, puis on utilise

(5)

le théorème de Fubini pour se ramener une martingale. Une utilisation de l’inégalité de Doob permet d’obtenir la convergence vers 0 dans L

²

(Ω), uniform´ement sur les compacts. 2

4. Vitesse de convergence de J

_ǫ

( t ) dans L

²

(Ω)

Th´ eor` eme 4.1 Soit (X

t

) le mouvement brownien standard. Pour tout T > 0, δ ∈ ]0,

¹₄

[, il existe une constante K

δ

telle que :

∀ ǫ ∈ ]0, 1],

sup

t∈[0,T]

J

ǫ

(t) − L

⁰_t

L²(Ω)

6 K

δ

ǫ

^δ

. (10)

On a un r´esultat similaire pour la vitesse de convergence de I

_ǫⁱ

(t) vers sa limite, i = 1, . . . , 5.

Preuve du Th´ eor` eme 4.1. On utilise des éléments des preuves précédentes : J

ǫ

(t) − L

⁰_t

= −

I

_ǫ¹

(t) −

Z

t 0

1I

_{0<Xs}

dX

s

+

I

_ǫ⁴

(t) − 1 4 L

⁰_t

(X )

+

I

_ǫ⁵

(t) − 1 4 L

⁰_t

(X )

+ R

ǫ

(t) (11) On d´ecompose chaque terme sous la forme R

t

0

h(s, ǫ)dX

s

+ R

t

0

k(s, ǫ)ds. En utilisant la propri´et´e de H¨ older du mouvement Brownien et de son temps local, on majore p.s. sup

_t∈_[0,T]

| R

t

0

k(s, ǫ)ds | par Cǫ

^δ

. Grâce à l’inégalité de Doob, on majore E((sup

_t_∈_[0,T]

R

t

0

h(s, ǫ)dX

s

)

²

) par 4 R

T

0

E(h

²

(s, ǫ))ds. Il est possible, après des calculs longs et fastidieux, de montrer que ce terme est lui-même majoré par C √ ǫ. 2

Remarque : Malheureusement, (10) ne permet pas de montrer la convergence p.s. Il est toutefois possible, en modifiant la preuve du Th´eor`eme 4.1 et en utilisant le lemme de Borel-Cantelli, de montrer que sup

_t_∈_[0,T_]

J

ǫn

(t) − L

⁰_t

converge presque sˆ urement vers 0, lorsque n → ∞ , o` u (ǫ

n

)

n∈N

est une suite r´eelle positive d´ecroissante tendant vers 0 et telle que P

_∞

i=1

√ ǫ

_i

< ∞ .

R´ef´erences

[1] Kiyosi Itˆo and Henry P. McKean, Jr.Diffusion processes and their sample paths. Springer-Verlag, Berlin, 1974. Second printing, corrected, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 125.

[2] Ernesto Mordecki and Mario Wschebor. Approximation of the occupation measure of L´evy processes.C. R. Math. Acad.

Sci. Paris, 340(8) :605–610, 2005.

[3] Philip E. Protter. Stochastic integration and differential equations, volume 21 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2004. Stochastic Modelling and Applied Probability.

[4] Daniel Revuz and Marc Yor. Continuous martingales and Brownian motion, volume 293 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 1999.

[5] Francesco Russo and Pierre Vallois. The generalized covariation process and Itˆo formula. Stochastic Process. Appl., 59(1) :81–104, 1995.

[6] Francesco Russo and Pierre Vallois. Itˆo formula forC¹-functions of semimartingales. Probab. Theory Related Fields, 104(1) :27–41, 1996.

[7] Francesco Russo and Pierre Vallois. Stochastic calculus with respect to continuous finite quadratic variation processes.

Stochastics Stochastics Rep., 70(1-2) :1–40, 2000.

[8] Francesco Russo and Pierre Vallois. Elements of stochastic calculus via regularisation. InS´eminaire de Probabilit´es, XXXX, Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2006.

4

(6)

Dear Editor,

First we would like to gratefully acknowledge the referee for his (her) suggestions.

According to referee’s remark, we have changed the abstract as follows : Some Brownian local time approximations

We give some approximations of the local time process (L

^x_t

)

t>0

at level x of the real Brownian motion (X

t

). We prove that

²_ǫ

R

t

0

X

_(u+ǫ)⁺ _∧_t

1I

_{Xu60}

du +

²_ǫ

R

t

0

X

_(u+ǫ)⁻ _∧_t

1I

_{Xu>0}

du and

⁴_ǫ

R

t

0

X

_u⁻

1I

_{X(u+ǫ)∧t>0}

du converge in the ucp sense to L

⁰_t

, as ǫ → 0. We show that

¹_ǫ

R

t

0

(1I

_{x<X_s+ǫ_}

− 1I

_{x<Xs}

)(X

s+ǫ

− X

s

)ds goes to L

^x_t

in L

²

(Ω) as ǫ → 0, and that the rate of convergence is of order ǫ

^α

, for any α <

¹₄