Métropole juin 2013
E
XERCICE1 6 points
1. On appelleSl’évènement « la personne choisie n’est pas soliste ».
On complète l’arbre de probabilités ci-dessous :
1/3 I
1/4 S
3/4 S
2/3 C
1/10 S
9/10 S
2. a. La probabilité que la personne choisie soit un instrumentiste soliste est : p(I∩S)=p(I)×pI(S)=1
3×1 4= 1
12
b. La probabilité que la personne choisie soit un soliste est, d’après la formule des probabilités totales :
p(S)=p(I∩C)+p(C∩S)= 1 12+2
3× 1 10= 1
12+ 1 15= 5
60+ 4 60= 9
60= 3 20 3. p(I)=1
3 etp(S)= 3
20 doncp(I)×p(S)=1 3× 3
20= 1 20 P(I∩S)= 1
12 doncp(I∩S)6=p(I)×p(S) donc les évènementsIetSne sont pas indépendants.
4. La probabilité que la personne choisie soit un chanteur sachant qu’elle n’est pas soliste est : pS(C)=p(C∩S)
p(S) =p(C∩S) 1−p(S)=
2 3×109 1−203 =
3 5 17 20
=3 5×20
17=12 17
E
XERCICE2 8 points
Première partie
On considère la fonctiongdérivable et définie sur l’intervalle I=[−1 ; 2] parg(x)=ex−x+1.
1. a. g′(x)=ex−1
b. ex−1>0 ⇐⇒ ex>1⇐⇒ ex>e0⇐⇒ x>0 Sur l’intervalle I, ex−1>0 six∈]0 ; 2].
2. a. g(−1)=e−1+2≈2, 37 ;g(0)=2 ;g(2)=e2−1≈6, 39 On dresse le tableau de variations de la fonctiongsur I :
x −1 0 2
g′(x) −−− 0 +++
e−1+2 e2−1
g(x)
2
b. Le minimum de la fonctiongsur I est 2 donc, pour toutxde I,g(x)>2 doncg(x)>0.
Deuxième partie
On considère la fonctionf dérivable et définie sur l’intervalle I par :f(x)=x+1+ x ex. 1. Pour toutxde I :f′(x)=1+1×ex−x×ex
( ex)2 =1+1−x
ex = ex+1−x ex =g(x)
ex 2. D’après la partie 1,g(x)>0 pour toutxde I. De plus, ex>0 pour toutx.
Donc, pour toutxde I,f′(x)>0 donc la fonctionf est strictement croissante sur I.
f(−1)= −e≈ −2, 72 etf(2)=3+2e−2≈3, 27
On dresse le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle I :
x −1 2
f′(x) +++
3+2e−2 f(x)
−e
3. a. La tangente (T) à la courbeC au point A d’abscisse 0 a pour équation : y=f′(0) (x−0)+f(0)
f(0)=1 etf′(0)=g(0)=2 donc (T) a pour équationy=2x+1.
b. Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au centième).
x −1 −0, 5 0 0,5 1 1,5 2
f(x) −2, 72 −0, 32 1 1,80 2,37 2,83 3,27 c. On trace la courbeC et la tangente (T) dans le repère¡
O ;→−ı,−→¢ :
1 2
−1
−1
−2
−3 1 2 3
C (T)
E
XERCICE3 Enseignement obligatoire (au choix) 6 points
1. Une conversation à voix basse a une intensité sonore de 10−10W.m−2. Le niveau sonore de cette conversation estL(10−10)=10log
µ10−10 10−12
¶
=10log(100)=10×2=20 dB.
2. Un marteau piqueur a un niveau sonore de 120 dB.
L’intensité sonoreIde ce marteau piqueur est telle que : L(I)=120 ⇐⇒ 10log
µ I 10−12
¶
=120 ⇐⇒ log µ I
10−12
¶
=12 ⇐⇒ I
10−12 =1012 ⇐⇒ I=1012× 10−12
⇐⇒ I=1 W.m−2
3. Un violon a un niveau sonore de 70 dB.
Les intensités sonores s’ajoutent ; on va donc calculer l’intensité sonore d’un violon, multiplier par 10 pour obtenir l’intensité sonore de 10 violons, puis déterminer à quel niveau sonore correspond cette nouvelle intensité.
L’intensité sonoreId’un violon est telle que :
L(I)=70 ⇐⇒ 10log µ I
10−12
¶
=70 ⇐⇒log µ I
10−12
¶
=7 ⇐⇒ I
10−12=107⇐⇒ I=107×10−12
⇐⇒ I=10−5W.m−2
L’intensité sonore de 10 violons est de 10×10−5=10−4W.m−2. Le niveau sonore de 10 violons est doncL¡
10−4¢
=10log µ10−4
10−12
¶
=10log(108)=10×8=80 dB.
4. L’oreille humaine est capable de percevoir les sons dont la fréquence est comprise entre 20 Hz et 20 000 Hz.
La mesure de cet intervalle est 103log µ20000
20
¶
=103log(1000)=103×3=3000 savarts.
5. La fréquence (arrondie à 1 Hz près) du DO0est de 33 Hz.
La fréquence du DO1est 33×q12=33×2=66 Hz.
Les fréquences des notes DO suivantes sont une suite géométrique de raison 2. On cherche donc le plus grand nombre entierntel que 33×2n620000 :
33×2n620000⇐⇒ 2n620000
33 ⇐⇒ log(2n)6log µ20000
33
¶
⇐⇒ nlog(2)6log µ20000
33
¶
⇐⇒ n6 log
µ20000 33
¶
log(2) ⇐⇒n69, 24 Il y a donc 10 DO différents correspondant aux octaves 0 à 9 :
octave 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
note DO0 DO1 DO2 DO3 DO4 DO5 DO6 DO7 DO8 DO9
fréquence 33 66 132 264 528 1 056 2 112 4 224 8 448 16 896
6. On sait que la fréquence du LA3est 440 Hz. On enregistre un son sur un oscilloscope et on obtient un signal périodique de période 18,2 millisecondes.
Une période de 18,2 millisecondes correspond à une période de 18, 2×10−3seconde et donc à une fréquence de 1
18, 2×10−3≈55 Hz.
On cherche le nombre de demi-tons dont il faut descendre pour passer d’une note de 440 Hz à une note de 55 Hz ; on cherche donc l’entier relatifntel que 440×qn=55, et commeq12=2 on a 440×212n =55. On résout cette équation :
440×212n =55 ⇐⇒ 212n = 55
440 ⇐⇒ log³ 212n´
=log µ55
440
¶
⇐⇒ n
12log(2)=log µ55
440
¶
⇐⇒ n 12= log¡55
440
¢ log(2)
⇐⇒n=12×log¡55
440
¢
log(2) ⇐⇒n= −36
n= −36 est un multiple de 12 donc on reste sur la même note, et−36= −3×12 donc on descend de 3 octaves : la note obtenue est donc LA0.
E
XERCICE4 Enseignement renforcé (au choix) 6 points
On considère les points A et B d’affixes respectives :zA=3+ip
3 etzB= −p 3+3i.
1. Voit figure à la fin de l’exercice.
2. a. On sait que i2= −1 donczB
zA=−p 3+3i 3+ip
3 = i2p 3+3i 3+ip
3 =i¡ ip
3+3¢ 3+ip
3 =i b.
¯¯
¯¯zB
zA
¯¯
¯¯= |i| =1
¯¯zB¯
¯ |zB| OB
3. a. |zA|2=32+¡p 3¢2
=12 donc|zA| =p 12=2p
3 On peut donc écrire :zA=2p
3 Ã 3
2p 3+i
p3 2p
3
!
=2p 3
µ3 2+1
2i
¶
On cherche le réelθtel que cos(θ)= p3
2 et sin(θ)=1
2doncθ=π
6 à 2πprès.
Le nombreπ
6 est un argument dezA. b. On admet qu’un argument dezBest2π
3 . AOB=2π
3 −π 6=4π
6 −π 6=3π
6 =π
2 (voir figure) 4. OA=OB etAOB=π
2 donc le triangle OAB isocèle rectangle en O.
1 2 3
−1
−2
1 2 3
b
O O
b AA
bB
B
π 6 2π
3
