E
XERCICE1 5 points
On construit un arbre de probabilités correspondant au problème posé :
3/4 D
3/5 C
2/5 C
1/4 M 2/3 C
1/3 C
1. La probabilité que la question posée à Claire porte sur le thème « Musique » est :
a. 1
2 b. 1
4 c. 2
3 D’après le texte.
2. La fraction2
3de l’énoncé est égale à la probabilité :
a. P(C∩M) b. PC(M) c. PM(C)
Voir arbre.
3. La probabilité que la question posée porte sur le thème « Musique » et que Claire y réponde correctement est :
a. 1
6 b. 3
4 c. 1
2 P(M∩C)=P(M)×PM(C)=1
4×2 3=1
6
4. La probabilité que Claire ne réponde pas correctement à la question posée
a. 37
60 b. 23
60 c. 1
12 D’après la formule des probabilités totales :P(C)=P(D∩C)+P(M∩C)=3
4×2 5+1
4×1 3=23
60
5. Sachant que Claire n’a pas répondu correctement à la question posée, la probabilité pour que la question posée porte sur le thème « Musique » est :
a. 5
23 b. 1
12 c. 1
3 PC(M)=P(M∩C)
P(C) =
121 2360
= 1 12×60
23= 5 23
E
XERCICE2 8 points
1. On ajoute une quinte juste à la note LA3·
a. Ajouter une quinte juste, revient à ajouter 7 demi-tons :
LA3 LA#3 SI3 DO4 DO#4 RÉ4 RÉ#4 MI4
+7 Donc on obtient la note MI4.
b. On monte de 7 demi-tons et la fréquence du LA3est de 440 Hz, donc la fréquence du MI4est : 440×q7=440×2127 ≈659 Hz.
2. En ajoutant une quinte juste à une note, on obtient la note LA3.
a. On retranche 7 demi-tons à la note LA3pour obtenir la note dont on est parti : DO#3 RÉ3 RÉ#3 MI3 FA3 FA#3 SOL3 SOL#3 LA3
−7 On est parti du RÉ3.
b. Le RÉ3est situé 7 demi-tons en dessous du LA3donc sa fréquence est :440 q7 =440
2127 ≈294 Hz.
3. Le rapport de fréquencesf1etf2, exprimées en hertz, de deux notes est de l’ordre de 2,378 4.
On désigne parnle nombre de demi-tons qui séparent les deux notes.
a. On suppose f1<f2. Il y andemi-tons qui séparent la note de fréquencef1de la note de fréquencef2
donc on cherchentel que :f2=f1×qnce qui équivaut àf2=f1×212n ou encore f2
f1=212n. On sait que f2
f1=2,3784 donc on cherchentel que 212n =2,3784.
b. 212n =2,3784 ⇐⇒log³ 212n´
=log(2,3784) ⇐⇒ n
12log(2)=log (2,3784) ⇐⇒n=12×log(2,3784) log(2) On trouven=15 ; il y a donc 15 demi-tons qui séparent les deux notes de fréquencesf1etf2. 4. Un son a une intensité sonoreI1, égale à 3,7×10−6W.m−2.
Son niveau sonore est :L(I1)=10 log µI1
I0
¶
=10 log
µ3,7×10−6 10−12
¶
=10 log¡
3,7×105¢
≈56 dB.
5. Un son d’intensité sonoreI2a un niveau sonore L(I2) égal à 45 dB.
E
XERCICE3 Enseignement obligatoire (au choix) 7 points
On considère la fonctionf définie, pour tout réelxde l’intervalle I = [1 ; 9], par :f(x)=10×ln(x)−1
x .
1. f′(x)=10× 1
x×x−(ln(x)−1)×1
x2 =10×1−ln(x)+1
x2 =10×2−ln(x) x2 2. a. 2−ln(x)=0⇐⇒2=ln(x)⇐⇒ e2=x ⇐⇒ x=e2
2−ln(x)>0⇐⇒2>ln(x)⇐⇒ e2>x ⇐⇒ x<e2 b. On en déduit le signe def′(x) sur l’intervalle I :
x 1 e2 9
2−ln(x) + 0 −
x2 + +
f′(x) + 0 −
f(1)=10×ln(1)−1
1 = −10 ;f(e2)=10×ln(e2)−1
e2 =10×2−1
e2 =10e−2≈1,35 ; f(9)=10×ln(9)−1
9 ≈1,33
On dresse le tableau de variations de la fonctionf sur I :
x 1 e2 9
10e−2 f(x)
−10 10
9 (ln(9)−1) 3. a. On résout, dans l’intervalle I, l’équationf(x)=0 :
f(x)=0⇐⇒10×ln(x)−1
x =0 ⇐⇒ln(x)−1=0 ⇐⇒ln(x)=1 ⇐⇒ x=e
b. Donc la courbeC représentative de la fonctionf passe par le point de coordonnées (e ; 0).
4. On complète le tableau de valeurs suivant :
x 1 2 e 3 4 5 7 9
f(x) −10 −1,53 0 0,33 0,97 1,22 1,35 1,33
5. La tangente parallèle à l’axe des abscisses passe par le point de la courbe en lequel la dérivée s’annule, donc par le point de coordonnées¡
e2; 10e−2¢
; cette droite a donc pour équationy=10e−2. On construit, dans le repère orthonormal¡
O,−→ı ,→−¢
d’unité graphique 1 cm, la courbeC, ainsi que la tangente parallèle à l’axe des abscisses :
O −→ ı
−
→
C y=10e−2
E
XERCICE4 Enseignement renforcé (au choix) 7 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal¡
O,−→u,→−v¢
où l’unité graphique est 2 cm.
1. On considère le point M1d’affixez1=1−i.
2. On considère le nombre complexez2de module 2 et d’argumentπ
3 et M2le point d’affixez2. a. Le module dez2est égal à 2 donc le point M2se trouve sur le cercleC de centre O et de rayon 2.
On place le point A d’affixe 2 et on trace l’arc de cercle de centre A et de rayon 2 ; il coupe le cercleC en deux points et le point d’ordonnée positive est le point M2.
Voir figure.
b. z2=2³ cosπ
3+i sinπ 3
´
=2 Ã1
2+i p3
2
!
=1+ip 3
3. a. z2
z1=1+ip 3 1−i =
¡1+ip 3¢
(1+i)
(1−i )(1+i) =1+ip
3+i−p 3
2 =1−p
3
2 +i1+p 3 2 b. D’après le cours :
¯
¯
¯
¯ z2
z1
¯
¯
¯
¯=|z2|
|z1|= 2 p2=p
2 ; et : arg
µz2
z1
¶
=arg(z2)−arg(z1)=π 3−³
−π 4
´
=π 3+π
4 =7π
12 à 2πprès.
c. D’après les questions précédentes : z2
z1=p 2
µ cos7π
12+i sin7π 12
¶ etz2
z1=1−p 3
2 +i1+p 3 2 En égalisant les parties réelles et les parties imaginaires on trouve :
p2cos7π 12 =1−p
3
2 donc cos7π 12 =1−p
3 2p
2 etp 2sin7π
12=1+p 3
2 donc sin7π
12 =1+p 3 2p
2 .
−
→u
−
→v
O
M2
M1
b
A
π3
−π 4
