[ Baccalauréat technique de la musique et de la danse \ Métropole juin 2003
EXERCICE 7 points
On considère une fonctionf définie sur l’intervalle [−3 ; 2].
La courbeC ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal³
O,−→ ı ,→−
´.
C
-3 -2 -1 0 1 2
8 12
A
B
1. En utilisant ce graphique :
a. Donner les valeurs entières def(−2) etf(−1).
b. Donner, dans l’intervalle [−3 ; 2], les solutions de l’équationf(x)=0.
c. Donner, dans un tableau, le signe de f(x) lorsquexvarie dans l’intervalle [−3 ; 2].
2. A est le point de la courbeC ayant pour abscisse−2 et B est le point de coor- données (0 ; 12).
En admettant que la droite (AB) est tangente au point A à la courbeC, calculer f′(−2).
3. On suppose qu’il existe des réelsa,b,cetdtels que pour toutxde l’intervalle C, f(x)=ax3+bx2+cx+d.
a. En utilisant certains résultats obtenus au 1. a. et au 1. b., montrer que les réelsa,b,cetdvérifient le système :
−27a+9b−3c+d = 0
d = 0
8a+4b+2c+d = 0
−8a+4b−2c+d = 8
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
b. En déduire les valeurs des réelsa,b,cetd et donner l’expression de f(x) pour toutxde l’intervalle [−3 ; 2].
PROBLÈME 13 points
I.On considère la fonctiongdéfinie surRpar g(x)=x−ex. 1. On désigne parg′la fonction dérivée deg.
a. Calculer, pour toutxdeR, l’expression deg′(x).
b. Étudier le signe deg′(x) selon les valeurs dex.
2. Établir le tableau de variations de la fonctiongsurR(on ne calculera pas les limites degen+∞et en−∞).
a. Quel est le maximum de la fonctiongsurR? b. Quel est le signe deg(x) pourxappartenant àR? II.On considère la fonctionf définie surRpar
f(x)=x2 2 −ex,
et on désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O,→−
ı ,−→
´d’unité graphique 2 cm.
1. a. Déterminer la limite de la fonctionf en−∞. b. Vérifier que, pour toutxdeR∗, f(x)=x2
µ1 2−ex
x2
¶ . En utilisant le résultat suivant : lim
x→+∞
ex
x2= +∞, déduire la limite de la fonc- tionf en+∞.
2. On désigne parf′la fonction dérivée def. a. Montrer que, pour toutxdeR, f′(x)=g(x).
b. En utilisant la partie I. 3. dresser le tableau de variations de la fonctionf sur R.
3. a. Préciser le coefficient directeur de la droite (T) tangente à la courbeC en son point d’abscisse 0.
b. Dans le repère³ O,−→
ı ,→−
´, tracer la droite (T) et la courbeC. 4. a. Déterminer une primitiveFde la fonctionf surR.
b. Calculer l’intégrale I= Z1
0 f(x) dx. En donner la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10−2près.
Métropole 2 juin 2003
