[ Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \ Métropole juin 2006 E

E

1 6 points

1. En partant de LA et en augmentant d’une quarte on obtient la note RÉ. Sachant que la fréquence du LA3

est de 440 Hz, la fréquence du RÉ4est environ de :

a. 660,0 Hz b. 587,3 Hz c. 586,7 Hz

En augmentant d’une quarte, on augmente de 5 demi-tons, donc on mulitplie la fréquence parq⁵=2¹²⁵ : la fréquence du RÉ est donc de 440×2¹²⁵ ≈587,3 Hz.

2. Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quinte juste ascendante est égal à : a. 3

2 b. p⁷

2¹² c. 2¹²⁷

Une quinte juste correspond à 7 demi-tons donc le rapport des fréquences estq⁷=2¹²⁷ .

3. Sachant que le rapport des fréquences de deux notes vaut environ 1,498 3 le nombre de demi-tons entre les deux notes est de :

a. 6 b. 7 c. 8

Si le rapport des fréquence est environ 1,498 3, le nombre de demi-tons entre les deux notes est donné par l’entierntel queqⁿ=1,4983, c’est-à-dire 2¹²ⁿ =1,4983 :

2¹²ⁿ =1,4983⇐⇒ log³ 2¹²ⁿ´

=log(1,4983) ⇐⇒ n

12log(2)=log(1,4983) ⇐⇒ n

12=log(1,4983) log(2)

⇐⇒ n=12log(1,4983)

log(2) ⇐⇒ n≈7

4. On considère la bande passante 20 à 20 000 Hz d’un appareil sonore.

Sachant que la fréquence du DO3est d’environ 262 Hz, le nombre de DO d’octaves différentes pouvant passer dans cet appareil est de :

a. 4 b. 7 c. 10

On passe d’un DO au DO de l’octave supérieure en multipliant la fréquence par 2, et on passe au DO de l’octave inférieure en divisant la fréquence par 2 :

note DO0 DO1 DO2 DO3 DO4 DO5 DO6 DO7 DO8 DO9

fréquence 33 66 131 262 524 1 048 2 096 4 192 8 384 16 768

5. Si l’on additionne une fonction sinusoïdale de fréquence 110 Hz à une fonction sinusoïdale de fréquence 220 Hz, la fonction somme est :

Non périodique Périodique de fréquence 330 Périodique de fréquence 110 Hz

Une fonction f périodique de fréquence 110 Hz a une période de 1

110 donc, pour tout entier relatifk, f

µ x+ k

110

¶

=f(x). Une fonctiongpériodique de fréquence 220 Hz a une période de 1

220donc, pour tout entier relatifk,g

µ x+ k

220

¶

=g(x). En particulier,g µ

x+ 2 220

¶

=g(x) autrement ditg µ

x+ 1 110

¶

=g(x).

On déduit que, pour toutx, (f +g) µ

x+ 1 110

¶

=f µ

x+ 1 110

¶ +g

µ x+ 1

110

¶

=f(x)+g(x)=(f +g)(x).

Donc la fonctionf+gest périodique de période 1

110donc de fréquence 110 Hz.

6. En partant de RÉ et en augmentant denquartes on obtient la note MI.

L’entiernest tel que :

a. 5n≡2 (modulo 12) b. 2n≡12 (modulo 5) c.log (5n) = log 2 + k log12, oùkest un entier relatif

Une quarte correspond à 5 demi-tons et il y a deux demi-tons entre un RÉ et un MI puisqu’il y a le RÉ#

entre ces deux notes. Enfin tous les 12 demi-tons, on retombe sur la note RÉ.

Il faut donc que 5nsoit égal à 2 augmenté d’un multiple de 12, donc que 5n≡2 (modulo 12).

E

2 7 points

La fonctionf est définie sur l’intervalle[_{−1 ; 4}]_parf(x)= ^x

2

e^x. On désigne parC sa courbe représentative dans un repère orthogonal¡

O ;−→ı,−→¢

, d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 6 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. f^′(x)=2x×e^x−x²×e^x

(e^x)² =xe^x(2−x)

(e^x)² =x(2−x) e^x

b. On étudie le signe de la fonction f^′sur l’intervalle[_{−1 ; 4}]_:

x −1 0 2 4

x −−− 0 +++ +++

2−x +++ +++ 0 −−−

e^x +++ +++ +++

f^′(x)=x(2−x)

e^x −−− 0 +++ 0 −−−

c. f(−1)=(−1)²

e⁻¹ =e ;f(0)=0 ;f(2)=4e⁻²≈0,54 etf(4)=16e⁻⁴≈0,29 On dresse le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle[_{−1 ; 4}]_:

x −1 0 2 4

f^′(x) −−− 0 +++ 0 −−−

e 4e⁻²

f(x)

0 16e⁻⁴

2. a. La tangenteDà la courbeC en son point A d’abscisse 1 a pour équation :y=f^′(1)(x−1)+f(1).

f(1)= 1² e¹= 1

e etf^′(1)=1(2−1) e¹ = 1

e Da pour équationy=1

e(x−1)+1

e ⇐⇒ y= 1 ex−1

e+1

e ⇐⇒ y= 1 ex.

b. La droiteDpasse par le point A. Six=0,y= 1

e×0=0 donc la droiteDpasse par le point O. Donc la droiteDest confondue avec la droite (OA).

3. On remplit le tableau de valeurs suivant :

x −1 −0,5 −0,25 0 0,25 0,5 1 2 3 4

f(x) 2,72 0,41 0,08 0 0,05 0,15 0,37 0,54 0,45 0,29

4. On construit, dans le repère¡

O ;−→ı,→−¢

, la courbeC et la tangenteD.

1 2

1 2 3

−1

C

D

b A

O

E

3 Enseignement obligatoire (au choix) 7 points

1. On complète l’arbre de probabilités suivant :

Piano

16

Violon

35

Flûte

25

Violon

12

Piano

15

Violon

25

Flûte

25

Flûte

13

Piano

15

Violon

35

Flûte

15

1^ertirage

2^etirage

2. On note respectivementP1,V1etF1les événements « le musicien choisi au 1^ertirage est pianiste », « le musicien choisi au 1^ertirage est violoniste »et « le musicien choisi au 1^ertirage est flûtiste ».

On définit de mêmeP2;V2etF2les événements correspondant pour le 2^etirage.

• On appelleAl’événement : « Les deux musiciens tirés au sort sont des violonistes ».

P(A)=P(V1∩V2)=1 2×2

5=1 5

• On appelleB l’événement : « Les deux musiciens tirés au sort peuvent interpréter un duo violon- flûte ».

P(B)=P(V1∩F2)+P(F1∩V2)=1 2×2

5+1 3×3

5=1 5+1

5=2

• On appelleCl’événement : « Les deux musiciens tirés au sort jouent du même instrument ».5 P(C)=P(P1∩P2)+P(V1∩V2)+P(F1∩F2)==0+1

2×2 5+1

3×2 5

• On appelleDl’événement : « Le deuxième musicien tiré au sort joue du violon ».

P(D)=P(P1∩V2)+P(V1∩V2)+P(F1∩V2)=1 6×3

5+1 2×2

5+1 3×3

5= 1 10+1

5+1 5= 5

10=1 2

3. Sachant que le deuxième musicien tiré au sort joue du violon, la probabilité pour que le premier musi- cien tiré au sort joue également du violon est :PV2(V1)=P(V1∩V2)

P(V2) =

12ײ₅

12

=

15 12

=1 5×2

1=2 5.

E

4 Enseignement renforcé (au choix) 7 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal¡

O ;−→u,−→v¢

où l’unité graphique est de 4 cm. On consi- dère le point M1d’affixez1=1+i et le point M2d’affixez2=p

3−i.

1. z1×z2=(1+i)¡p 3−i¢

=p 3+ip

3−i−i²=¡p 3+1¢

+i¡p 3−1¢ 2. a. Voir figure.

b. p 2

Ãp 2 2 +i

p2 2

!

=p 2×

p2 2 +ip

2× p2

2 =2 2+i2

2=1+i . p

3. a. 2 Ãp

3 2 −1

2i

!

=2× p3

2 −2×1 2i=p

3−i.

b. |z2| =¯

¯ p3−i¯

¯=p

3+1=2

Le nombrez2a pour argument le réelθ^′tel que cosθ^′= p3

2 et sinθ^′= −1 2. Donc−π

6 est un argument dez2.

c. Le module dez2est égal à 2 donc le point M₂est situé sur le cercleC de centre O et de rayon 2.

Le nombrez2a pour partie imaginaire−1 donc le point M2est situé sur la droiteDd’équationy= −1.

La partie réelle du nombrez2est égale àp

3 donc est positive, le point M2est donc le point d’abscisse positive situé à l’intersection deC et deD.

Voir construction sur la figure.

4. a. |z1×z2| = |z1| × |z2| =p

2×2=2p 2 arg(z₁×z2)=arg(z₁)+arg(z₂)=π

4+³

−π 6

´

= π

12 à 2πprès.

b. Doncz1×z2=2p 2³

cos³π 12

´

+i.sin³π 12

´´

=2p

2cos³π 12

´ +i.2p

2sin³π 12

´

c. On a d’une partz1×z2=¡p 3+1¢

+i¡p 3−1¢

et d’autre partz1×z2=2p

2cos³π 12

´ +i.2p

2sin³π 12

´. En identifiant les parties réelles des deux expressions dez1×z2, on ap

3+1=2p

2cos³π 12

´donc cos³π

12

´

= p3+1

2p 2 .

1 2

−1

1 2

−1

M1

M2 π4

−^π₆

b b

O

C

D