Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse [ Métropole septembre 2010 \ E

Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse [ Métropole septembre 2010 \

E

1 6 points

1. Dans un repère¡ O,−→

ı,−→

¢

du plan, la courbe d’équationy=lnx a. n’a pas de point d’abscisse négative ou nulle.

b. n’a pas de point d’ordonnée négative ou nulle.

c. admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

La fonction ln est définie sur ]0 ;+∞[.

2. Dans l’intervalle ]0 ;+∞[ , l’équation lnx= −5 a pour solution :

a. −5e⁵ b. 1

e⁵ c. e¹⁵

lnx= −5 ⇐⇒x=e⁻⁵⇐⇒ x= 1 e⁵

3. Dans l’ensembleRdes nombres réels, l’inéquation e^x+3>0 : a. n’admet aucune solution.

b. admet une et une seule solution.

c. admet tout réelxpour solution.

Pour toutx, e^x>0 donc e^x+3>0 ; l’équation a donc pour solution tout réelx.

4. On considère la fonctionf définie surRparf(x)=(x+1) e^x. Sa fonction dérivéef^′est donnée par :

a. f^′(x)=e^x b. f^′(x)=xe^x c. f^′(x)=(x+2) e^x f^′(x)=1×e^x+(x+1)×e^x=(x+2) e^x

5. La fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=2lnx−xadmet un maximum au point d’abscisse :

a. 0 b. 2 c. e

f^′(x)=2

x−1=2−x

x doncf^′(x) passe de positive à négative pourx=2.

6. Dans un repère¡ O,→−

ı,−→

¢

du plan, la courbe d’équationy=sinxadmet une tangente au point O dont le coefficient directeur est égal à :

a. 0 b. 1 c. −1

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus ; donc la tangente à la courbe représentant la fonction sinus au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur cos(0)=1.

Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.

E

2 7 points

1. On sait que l’intervalle entre les notes LA3et MI4est de sept demi-tons (ce qui correspond en musique à une quinte).

a. La suite des fréquences forme une suite géométrique de raisonq=2¹²¹ ; il y a 7 demi-tons entre LA3

et MI4donc la fréquence de la note MI4est 440×q⁷=440×2¹²⁷ ≈659 Hz.

b. La différence de hauteur des notes LA3et MI4est 1000 log µf2

f1

¶

=1000 log µ659

440

¶

≈175, 43 savarts.

Remarque

Si on calcule cette différence de hauteur en prenant f1=440 et f2=440×2¹²⁷, on trouve 175, 60 sa- varts ; on peut donc s’étonner que le sujet demande une réponse au centième.

2. a. Le LA2est situé 12 demi-tons en dessous du LA3donc sa fréquence est la moitié de celle du LA3donc 220 Hz.

Le LA4est situé 12 demi-tons au dessus du LA3donc sa fréquence est le double de celle du LA3donc 880 Hz.

b. La différence de hauteur entre les notes LA3et LA4est 1000 log µ880

440

¶

=1000 log(2)≈301, 03 savarts.

3. La différence de hauteur entre deux notes de fréquences respectives f1et f2(avec f2>_f1) est égale à 100, 34 savarts.

a. On a donc 1000 log µf2

f1

¶

=100, 34 ⇐⇒log µf2

f1

¶

=0,10034 ⇐⇒ f2

f1

=10^{0,100 34}⇐⇒ f2

f1

≈1, 26.

b. f2

f1

≈1, 26 donc on cherche un nombre entierntel que 1, 26=qⁿou encore 1, 26=2¹²ⁿ ⇐⇒log(1, 26)=log³

2¹²ⁿ´

⇐⇒log(1, 26)= n

12log(2)⇐⇒ 12log(1, 26)

log(2) =n ⇐⇒ n≈4.

E

3 Enseignement obligatoire (au choix) 7 points

1. On complète l’arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation :

0,1 V

0, 3 A

1−0,3=0,7 A

V 1−

0,1= 0,9

0,2 A

1−0,2=0,8 A 2. a. La probabilité que le client ait acheté un violon et un archet est :

p(V∩A)=p(V)×pV(A)=0, 1×0, 3=0, 03.

b. La probabilité que le client n’ait rien acheté est p(V∩A)=p(V)×p_V(A)=0, 9×0, 8=0, 72.

Métropole 2 septembre 2010

Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.

c. L’événement « le client a acheté au moins un des deux objets » est l’événement contraire de « le client a acheté les deux objets ou le client n’a rien acheté » ; donc la probabilité de cet févénement est : p=1−

³

p(V∩A)+p(V∩A)´

=1−(0, 03+0, 72)=1−0, 75=0, 25.

3. D’après la formule des probabilités totales :

p(A)=p(V∩A)+p(V∩A)=0, 03+0, 9×0, 2=0, 03+0, 18=0, 21.

4. La probabilité que le client ait acheté un violon sachant qu’il a acheté un archet est : pA(V)=p(V∩A)

p(A) =0, 03 0, 21=1

7≈0, 14.

E

4 Enseignement renforcé (au choix) 7 points

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0,5 ; 4] parf(x)=(3−x) lnx.

On désigne parC sa courbe représentative dans un repère orthonormal¡ O,−→

ı,→−

¢

du plan d’unité graphique 2 cm.

1. a. f( e)=(3−e) ln e=3−e≈0, 28

b. f(x)=0⇐⇒(3−x) lnx=0⇐⇒ 3−x=0 ou lnx=0 ⇐⇒ x=3 oux=1 Les solutions de l’équationf(x)=0 dans l’intervalle [0,5 ; 4] sontx=1 etx=3.

c. Parmi les trois courbes proposées en annexe, une seule représente la fonctionf.

On a vu quex=3 est une solution de l’équationf(x)=0, doncf(3)=0 et donc la courbe représentant la fonctionf doit passer par le point de coordonnées (3 ; 0). Cela permet d’éliminer la courbe 1.

L’image par la fonction représentée par la courbe 2 du nombre e est négative ; donc la courbe 2 est à éliminer.

La fonctionf est donc représentée par la courbe 3.

2. On considère la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0,5 ; 4] parF(x)= µ

3x−1 2x²

¶ lnx+1

4x²−3x.

a. F^′(x)= µ

3−1 2×2x

¶ lnx+

µ 3x−1

2x²

¶

×1 x+1

4×2x−3=(3−x) lnx+3−1 2x+1

2x−3=(3−x) lnx b. F^′(x)=(3−x) lnx=f(x) donc la fonctionFest une primitive def sur l’intervalle [0,5 ; 4].

c. D’après le cours I=

Z3

1 (3−x) lnxdx=F(3)−F(1)=

·µ

3×3−1 2×3²

¶ ln 3+1

4×3²−3×3

¸

−

·µ 3−1

2

¶ ln 1+1

4−3

¸

=

·µ 9−9

2

¶ ln 3+9

4−9

¸

−

·1 4−3

¸

=9

2ln 3−27 4 +11

4 =9

2ln 3−4≈0, 94

d. On désigne parAla mesure, exprimée en cm², de l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=1 etx=3.

La fonctionf est positive sur l’intervalle [1 ; 3] doncA= Z3

1

f(x) dx=Iunités d’aires.

L’unité sur chaque axe est de 2 cm donc l’unité d’aire vaut 4 cm². A=

µ9 2ln 3−4

¶

×4≈3, 78 cm².

Métropole 3 septembre 2010

Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 : ANNEXE

Courbe 1 Courbe 2

0 1

−1

−2

1 2 3 4

0,5

+ +

e 0

1

−1

−2

1 2 3 4

0,5

+ +

Courbe 3

0 1

−1

−2

1 2 3 4

0,5

+ +

e

Métropole 4 septembre 2010