[ Baccalauréat technique de la musique et de la danse \ Métropole juin 2005
E
XERCICE7 points
Sur le schéma 1.C est la courbe représentative dans le repère¡
O ;−→ı,→−¢
d’une fonctionf définie et dérivable sur[−1 ; 5].
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
Schéma 1 A
B
C
−
→ı
−
→ O
b b
1. L’un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivéef′def. D’après le schéma 1 :
• la fonctionf est croissante sur[−1 ; 1]doncf′(x) est positif sur[−1 ; 1];
• la fonctionf est décroissante sur[1 ; 3]doncf′(x) est négatif sur[1 ; 3];
• la fonctionf est croissante sur[3 ; 5]doncf′(x) est positif sur[3 ; 5]. Seule la fonction du schéma 2 vérifie ces trois conditions.
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
1 2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 2
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 3
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6 -1
-2 -3
Schéma 4 2. Soitmun réel quelconque.
Le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 est le nombre de points d’intersection de la courbeC et de la droite horizontale d’équationy=m.
D’après le schéma 1 :
• pourm∈]− ∞; 4[, l’équationf(x)=mn’a pas de solution ;
• pourm∈[−4 ; 0[, l’équationf(x)=madmet une solution ;
• pourm=0, l’équationf(x)=madmet deux solutions ;
• pourm∈]0 ; 1[, l’équationf(x)=madmet trois solutions ;
• pourm=1, l’équationf(x)=madmet deux solutions ;
• pourm∈]1 ; 5], l’équationf(x)=madmet une solution ;
• pourm∈]5 ;+∞[, l’équationf(x)=mn’a pas de solution.
3. On admet quef(x)=1
4x3+ax2+bxoùaetbsont des nombres réels.
a. f(1)=1
4×13+a×12+b×1=1 4+a+b f(3)=1
4×33+a×32+b×3=27
4 +9a+3b
b. La courbeC passe par le point A (1 ; 1) doncf(1)=1 ce qui équivaut à1
4+a+b=1.
La courbeC passe par le point B (3 ; 0) doncf(3)=0 ce qui équivaut à27
4 +9a+3b=0.
On résout le système :
1
4+a+b = 1 27
4 +9a+3b = 0
⇐⇒
b = 3
4−a 9a+3
µ3 4−a
¶
= −27 4
⇐⇒
b = 3 4−a 6a = −36
4
⇐⇒
b = 9
4 a = −3
2 Doncf(x)=1
4x3−3 2x2+9
4x.
c. f(x)=1 4x3−3
2x2+9
4xdoncf′(x)=1
4×3x2−3
2×2x+9 4×1=3
4x2−3x+9 4. f′(1)=3
4−3+9
4=0 etf′(3)=3
4×9−3×3+9 4=0
Métropole 2 juin 2005
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
P
ROBLÈME13 points
Soitf la fonction, définie surR, parf(x)=e2x−5ex+4.
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal¡
O ;−→ı,−→¢
d’unités 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
1. a. e2x=( ex)2doncf(x)=( ex)2−5ex+4=ex( ex−5)+4.
D’après le cours lim
x→+∞ex= +∞donc lim
x→+∞ex−5= +∞et donc par produit lim
x→+∞ex¡ ex−5¢
= +∞.
On en déduit que lim
x→+∞ex¡ ex−5¢
+4= +∞c’est-à-dire que lim
x→+∞f(x)= +∞.
b. D’après le cours lim
x→−∞ex=0 donc lim
x→−∞ex−5= −5 et donc par produit lim
x→−∞ex¡ ex−5¢
=0.
On en déduit que lim
x→−∞ex¡ ex−5¢
+4=4 c’est-à-dire que lim
x→−∞f(x)=4.
Cela signifie que la courbeC admet la droiteDd’équationy=4 comme asymptote en−∞. c. On désigne parf′la fonction dérivée de la fonctionf.
f′(x)=2e2x−5ex+0=2( ex)2−5ex=ex(2ex−5) d. Pour tout réelx, ex>0 doncf′(x) est du signe de 2ex−5.
2ex−5>0⇐⇒ ex>5
2 ⇐⇒x>ln µ5
2
¶
Donc on peut déterminer le signe def′(x) en fonction des valeurs dex:
x −∞ ln¡5
2
¢ +∞
f′(x) −−− 0 +++
e. eln52=5 2 doncf
µ5 2
¶
=5 2
µ5 2−5
¶
+4= −25
4 +4= −9
4= −2,25 On dresse le tableau de variations de la fonctionf surR:
x −∞ ln¡5
2
¢ +∞
f′(x) −−− 0 +++
4 +∞
f(x)
−2,25 2. SoitT la tangente à la courbeC au point A d’abscisse ln
µ1 2
¶ .
Le point A appartient à la courbeC donc son ordonnée est égale à :f(xA)=f¡ ln12¢
. eln12=1
2doncf ¡ ln12¢
=1 2
µ1 2−5
¶ +4=7
4
Le coefficient directeur de la droiteTestf′(xA)=f′¡ ln12¢
=1 2 µ
2×1 2−5
¶
= −2.
La droiteTa donc pour équationy= −2¡ x−ln12¢
+7 4.
3. a. Soit l’équationX2−5X+4=0.∆=b2−4ac=(−5)2−4×1×4=25−16=9=32 L’équation admet deux solutions :X′=−b−p
∆ 2a =5−3
2 =1 etX′′=−b+p
∆ 2a =5+3
2 =4.
b. f(x)=0⇐⇒( ex)2−5ex+4=0 ⇐⇒ ex=1 ou ex=4 d’après la question précédente avecX=ex. ex=1⇐⇒ x=0 et ex=4 ⇐⇒x=ln(4)
L’équation f(x)=0 a pour solutionsx=0 etx=ln(4).
Métropole 3 juin 2005
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
4. On complète le tableau de valeurs suivant :
x −5 −4 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 1,6
f(x) 4 3,9 3,3 2,9 2,3 1,3 0 −1,5 −2,2 1,7 3,8
5. Figure :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
1 2
−1
−2
−3
−4
−5 O
C D
T
ln(4)
b
A
6. a. La fonctionf a pour primitive la fonctionFdéfinie parF(x)=1
2e2x−5ex+4x.
b. I= Zln(4)
0 f(x) dx=F(ln(4))−F(0)= µ1
2e2 ln(4)−5eln(4)+4ln(4)
¶
− µ1
2e0−5e0+0
¶
=8−20+4ln(4)−1
2+5=4ln(4)−15
2 ≈ −1,95 Remarque
Il n’est pas étonnant que le résultat de l’intégrale soit négatif car la courbeC est en dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle[0 ; ln(4)].
L’aire hachurée sur la figure a pour mesure, en unité d’aire,− Zln(4)
0 f(x) dx.
Métropole 4 juin 2005
