Chapitre 1
Le second degré
Les savoir-faire
110. Etudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.
111. Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.
112. Donner la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.
113. Résoudre une équation du second degré.
114. Etudier les variations d’une fonction trinôme.
115. Factoriser, lorsque cela est possible, une fonction trinôme.
116. Étudier le signe d’une fonction trinôme ou résoudre une inéquation du second degré.
117. Choisir la forme la plus adaptée pour résoudre un problème.
I. Fonctions polynômes de degré 2
On dit qu’une fonctionf, définie surRest une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels a(a6= 0),b etc tels que pour tout nombre réelx:
f(x) =ax2+bx+c Il s’agit de laforme développéedef(x).
Définition : fonction polynôme du second degré
Une fonction du second degré est représentée par une paraboleP dont le sommet S a pour abscisseα=−b 2a et pour ordonnéeβ=f
− b 2a
.
Dans un repère orthogonal, la parabole a un axe de symétrie.
Les variations surRd’une fonction polynôme du second degré sont de deux types suivant le signe dea.
Théorème
1
a >0
P est « orientée vers le haut »
x=− b 2a
b
α
S(α;β) Min =β
0
a <0
P est « orientée vers le bas »
x=− b 2a
b Max=β
α
S(α;β)
0
Exemple 1 :
Vidéo Déterminer l’extremum et la valeur où il est atteint de la fonctionf définie par :f(x) =−x2+ 4x.
II. Forme canonique
Pour tout trinômeax2+bx+c aveca6= 0, on peut trouver deux réelsαetβ tels que, pour tout réelx, ax2+bx+c=a(x−α)2+β
avecα=− b
2a et β=f
− b 2a
.
L’écriturea(x−α)2+β est appeléeforme canoniquedu trinôme.
Définition : forme canonique
Remarque :
La forme canonique est intéressante car elle donne les coordonnées du sommet de la parabole.
Exemple 2 :
Vidéo Déterminer la forme canonique de la fonctionf définie par :f(x) = 2x2−20x+ 10.
III. Résolution d’une équation du second degré
Le réel b2−4acest appelédiscriminantdu trinôme. On note ∆ =b2−4ac.
Définition : discriminant
• ∆<0 l’équationax2+bx+c= 0 n’a pas de solution réelle.
• ∆ = 0 l’équationax2+bx+c= 0 a une seule solution :x0=−b 2a
• ∆>0 l’équationax2+bx+c= 0 a deux solutions : x1= −b+√
∆
2a etx2= −b−√
∆ 2a Propriétés : résolution d’une équation du second degré
Exemple 3 :
Résoudre l’équation : 2x2−x−6 = 0. Vidéo Résoudre l’équation : 2x2−3x+9
8 = 0. Vidéo
2
IV. Factorisation
• Si ∆<0 le trinômeax2+bx+c ne se factorise pas.
• Si ∆ = 0, en notantx0 l’unique racine, on a : ax2+bx+c=a
x+ b
2a 2
=a(x−x0)2
• Si ∆>0, en notantx1 et x2 les deux racines, on a : ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Factorisation d’un trinôme second degré
Exemple 4 :
Vidéo Factoriser le trinôme :
f(x) = 4x2+ 19x−5
Soient x1 etx2les récines d’un polynôme du second degréax2+bx+caveca6= 0.
On ax1+x2=−b
a etx1×x2= c a. Propriété : propriété des racines
V. Signe du trinôme
• Si ∆<0, alors le trinôme est du signe dea.
• Si ∆ = 0, alors le trinôme est du signe deaet s’annule en− b 2a.
•Si ∆>0, le trinôme s’annule en deux réels distinctsx1 etx2. Six1< x2, le tableau de signes du trinôme est : x
f(x)
−∞ x1 x2 +∞
Signe dea 0 Signe de−a 0 Signe de a Signe d’un trinôme second degré
A retenir
Un trinômeax2+bx+cest du signe de asauf entre ses racines, si elles existent.
Interprétations graphiques
a <0 et ∆<0 a <0 et ∆ = 0 a <0 et ∆>0
0
x0
Les images sont négatives.
0
x0
Les images sont négatives et f(x0) = 0
0 x0
x1 x2
Les images sont négatives sauf entrex1etx2.
3
a >0 et ∆<0 a >0 et ∆ = 0 a >0 et ∆>0
x0 0
Les images sont positives.
x0 0
Les images sont positives etf(x0) = 0
0
x0
x1 x2
Les images sont positives sauf entrex1et x2.
Exemple 5 :
Etudier le signe du trinôme :f(x) = 2x2+x+ 4 Vidéo Même question avec :f(x) = 2x2+ 2x−12 Vidéo Exemple 6 :
Résoudre, dansRl’inéquation :−2x2+ 6x+ 6< x2−3 Vidéo
4
