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Cinquième – Chapitre n°19 : Triangles : somme des angles - Page

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Chapitre XIX : Angles et Triangles : somme des angles dans un triangle

Liste des objectifs :

a. 5^ème : [Abordable en 6 ^ème ] connaître les propriétés relatives aux angles des triangles rectangles, des triangles isocèles, et des triangles équilatéraux.

b. 5^ème : connaître et utiliser la propriété sur la somme des angles dans un triangle. Savoir l’appliquer aux cas particuliers d’un triangle équilatéral, rectangle, ou isocèle.

Exercice n°1 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE

Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE : - Il faut essayer de le faire UNE SEULE FOIS.

- Il faut ensuite essayer de compléter le cours qui suit.

- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe A L’EXERCICE QUI SUIT.

- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du document) et si le COURS EST JUSTE aussi (fais le vérifier par le professeur), va DIRECTEMENT à l’exercice n° 7

- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le cours.

Un triangle EFG est tel que \s\up4(a=31° et \s\up4(a=102°. Calculer

\s\up4(a, en écrivant la propriété utilisée.

Exercice n°2 – INTRODUCTION DU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

Cet exercice est à faire sur un logiciel de géométrie. S’il est fait à la maison, une copie de l’écran finale, envoyée par mail ou imprimée, est demandée.

En cas d’impossibilité, faire quatre figures différentes à la main, sur papier, et mesurer.

Rappel : un angle plat mesure 180°.

1. Construire ci-dessous ou avec Tracenpoche un triangle ABC.

2. Construire le milieu I de [AB] et le milieu J de [AC].

3. Construire le symétrique C’de C par rapport à I.

4. Construire le symétrique B’ de B par rapport à J.

SUITE PAGE SUIVANTE SUITE PAGE SUIVANTE

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5.

a. Quel est le symétrique de A par rapport à I ? ……

b. Quel est le symétrique de C par rapport à I ? ……

c. Quel est le symétrique de B par rapport à I ? ……

d. En déduire quel est le symétrique de \s\up4(apar rapport à I? ………

e. Que peut-on dire de sa mesure et de celle de\s\up4(a ?

………

…………

Justifiez-le à l’aide d’une propriété de la symétrie centrale.

………

6. Á quel angle du triangle est égal l’angle \s\up4(a ? Justifiez-le.

………

……….

7. Quelle semble être la mesure de \s\up4(a? …………..

8. Bougez les points C et B sur le logiciel de géométrie, ou refaites trois autres figures sur papier, avec des mesures de côté différentes. La mesure de \s\up4(asemble- t-elle changer ? ……….

9. D’après les réponses précédentes, à quoi semble toujours égale la somme des angles dans un triangle ? ………

10. Application : Si ABC est tel que \s\up4(a=27° et \s\up4(a=101°, combien vaut

\s\up4(a ?

………

Exercice n°3 – INTRODUCTION DU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

On reprend la construction de l’exercice précédent.

L’objectif est de démontrer que les points C’,A et B’ sont en effet toujours parfaitement alignés.

1. Quelle est la nature du quadrilatère CBAB’ ?

………

2. Quelle propriété du cours utilisez-vous ? (indication : voir le chapitre XV)

………

3. En déduire que (B’A) et (CB) sont parallèles, en citant une autre propriété du cours (indication : voir le chapitre IX).

………

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………

4. Que peut-on dire de (C’A) et de (CB) ? Justifiez votre réponse .

………

5. On a maintenant ce qu’il faut. Pourquoi les points C’,A et B’ ne peuvent être qu’alignés ?

………



Cours n°1



Cours à

compléter

^{, à}

montrer

au professeur :

Chapitre XIX : Triangles : somme des angles

I) Somme des angles dans un triangle.

Propriété n°1

Dans un triangle, la somme des angles mesure ……….°

Exemple n°1

« ABC est un triangle tel que \s\up4(a=27° et \s\up4(a=101°.Combien mesure \s\up4(a ? »

Choisir la rédaction :

ABC étant un triangle, la somme de ses angles mesure ….°.

(avec les lettres)

\s\up4(a+ \s\up4(a+\s\up4(a = …….°

(remplace les angles que tu connais par leurs valeurs)

…….° + …….° +\s\up4(a = …….°

(un calcul est possible : remplace une des additions par son résultat)

…….° +\s\up4(a = ………°

(c’est une addition à trou ! on fait donc une ………. pour trouver le résultat)

\s\up4(a= ……….° … ……….°

(on calcule)

……… = …….°

OU :

Comme \s\up4(a=27° et \s\up4(a=101°, \s\up4(a=…..° ─

……….

\s\up4(a=…..°

Fin du cours n°1

Apprentissage du cours

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Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! ) – Penser à changer de page (nouveau chapitre)

Contrôle du savoir faire :

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°1

ABC est un triangle tel que \s\up4(a=34° et \s\up4(a=56°.Combien mesure

\s\up4(a ?

Choisir la rédaction : (avec les lettres)

\s\up4(a+ \s\up4(a+\s\up4(a = …….°

…….° + …….° +\s\up4(a = …….°

…….° +\s\up4(a = ………°

\s\up4(a= ……….° … ……….°

……… = …….°

OU :

Comme \s\up4(a=34° et \s\up4(a=56°, \s\up4(a=…..° ─ ……….

\s\up4(a=…..° : le triangle ABC est ……….

Exercice n°4

RTG est un triangle tel que \s\up4(a=23°, GT=4,5 cm et \s\up4(a=102°. 1. Combien vaut \s\up4(a ? A compléter directement ci-dessous :

On sait que : dans le triangle RTG, ………..= …..° et ………= ……..°.

Or : Dans un triangle, la ………..

……….

Donc : \s\up4(a+\s\up4(a+\s\up4(a=……..

Donc : \s\up4(a=……….° ─ (………..) Donc : \s\up4(a=………°.

2. Le construire (sur son cahier)

Exercice n°5 (à montrer obligatoirement au professeur)

Un triangle EFG est tel que \s\up4(a=34° et \s\up4(a=122°. Calculer

\s\up4(a, en écrivant la propriété utilisée (rédiger comme dans le cours).

Exercice n°6

GFD est un triangle rectangle en G tel que \s\up4(a=56° et GF=6cm.

1. Combien mesure \s\up4(a (on justifiera par un calcul et les énoncés des propriétés et définitions utilisées) ?

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GFD est un triangle rectangle en G, donc \s\up4(a =…….

GFD étant un triangle,

………

2. Le construire (sur son cahier).

Exercice n°7 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE

Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE : - Il faut essayer de le faire UNE SEULE FOIS.

- Il faut ensuite essayer de compléter le cours qui suit.

- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe A L’EXERCICE QUI SUIT.

- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du document) et si le COURS EST JUSTE aussi (fais le vérifier par le professeur), va DIRECTEMENT à l’exercice n° 11

- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le cours.

XCV est un triangle tel que XC = 5,4 cm, et CV = 5,4 cm.\s\up4(a = 58°.

1. Quelle est la nature de ce triangle ? ………..

Pourquoi ?

Données de l’énoncé utiles : ……….

Propriété mathématique :……….

………

……….

2. Combien vaut \s\up4(a ? ………

Pourquoi ?

………

……….

3. Le construire.

Exercice n°8 – INTRODUCTION AU COURS N°2 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

AZE est un triangle isocèle en A, tel que AZ=5,8 cm, et \s\up4(a=67°.

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1. Faire un dessin à main levée, en ajoutant les données de l’énoncé.

2. Dessiner (toujours à main levée) l’axe de symétrie de ce triangle.

3. Que peut-on dire de \s\up4(a ?

………..

4. Pourquoi :

Données de l’énoncé : ……….

Propriété mathématique :

……….

………

……….

5. Compléter (vocabulaire du triangle isocèle) :

a. le sommet A du triangle isocèle en A s’appelle le « s………

pr……….. »

b. le côté opposé au s……….. pr……… s’appelle la

« b………….. »

c. les deux angles qui ont pour côté la b………….. s’appellent les

« a………. à la b……… »



Cours n°2



Cours à

compléter

^{, à}

montrer

au professeur :

II) Rappel :propriété des angles dans un triangle isocèle.

Propriété n°2

Dans un triangle isocèle, les angles à la b……… sont é……….

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Exemple n°2

ABC est un triangle isocèle en B tel que \s\up4(a=34°.Combien mesure

\s\up4(a ?

ABC étant un triangle isocèle en B, sa base est ……, et ses angles à la b……… sont ……… et ……

Or, dans un triangle isocèle, les angles à la b……….. sont é………..

Comme \s\up4(a=34° , \s\up4(a=………°.

Exemple n°3

\s\up4(a ?

Comme \s\up4(a=27° , \s\up4(a=………°.

Or, dans un triangle, la somme des angles mesure ………..°.

Donc, dans ABC, on a \s\up4(a+\s\up4(a+\s\up4(a=……°

D’où : \s\up4(a+27+……=……..°

Donc : \s\up4(a=…….. ─ …… ─ …….

Donc : \s\up4(a=……..

Fin du cours n°2

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! ) Contrôle du savoir faire :

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Contrôle du savoir faire

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°2

\s\up4(a ?

Comme \s\up4(a=34° , \s\up4(a=………°.

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Exemple n°3

\s\up4(a ?

Comme \s\up4(a=27° , \s\up4(a=………°.

Or, dans un triangle, la somme des angles mesure ………..°.

Donc, dans ABC, on a \s\up4(a+\s\up4(a+\s\up4(a=……°

D’où : \s\up4(a+27+……=……..°

Donc : \s\up4(a=…….. ─ …… ─ …….

Donc : \s\up4(a=……..

Exercice n°9

OLK est un triangle isocèle en K, tel que \s\up4(a=67° et KL=6,1cm.

1. Combien mesure \s\up4(a ? …………..

………

……….

Le construire sur son cahier.

Exercice n°10

PLJ est un triangle isocèle en P, tel que \s\up4(a=67° et LP=5cm.

1. Combien mesure \s\up4(a (justifier comme dans les exercices précédents) ? ………

………

……….

2. Le construire ci-dessous.

Exercice n°11 - En plusieurs fois – Source : Sésamath

Calcule, en justifiant, la mesure de l'angle

\s\up4(asachant que les points A, D et B sont alignés.

A 85°35°

C

D B

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Exercice n°12 - Calculs, démonstration, construction – Source : Sésamath

1. Sur la figure ci dessus, réalisée à main levée, les points E, D et F sont alignés. En utilisant les indications portées sur la figure, calcule les mesures des angles \s\up4(a, \s\up4(a, \s\up4(aet \s\up4(a.

2. Que peut-on dire du triangle CDF ? Justifie.

3. Construis la figure lorsque CD = 5 cm.

Exercice n°13 - vrai ou faux ? – Source : Sésamath

En observant la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, Aline affirme que les points D, E et A sont alignés.

Qu'en penses-tu (justifie évidemment ta réponse) ?

Exercice n°14 - Calcul sans justification – Source Sésamath

À partir des données de la figure, calcule (sans

justifier) la mesure de l'angle

\s\up4(a.

C

E 36° F

D

A C

D E

65,42°

30,2°

54,38°

B

40°

B

A

C

D

E O

F 63°

54° 48°

43°

?

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Résultats

Ex.1 : 47° Ex.2 : 1,2,3 et 4.

5a.B 5b. C’ 5c. A 5d. \s\up4(a 5e.\s\up4(a = \s\up4(a – le symétrique d’un angle est un angle de m……… m………. 6. \s\up4(a=\s\up4(a 7. 180° 8. Non 9.180° 10. Ex.3 : 53° 1.

Parallélogramme. 5. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. De plus, A appartient aux deux droites. Donc elles sont confondues. Ex.4 : 1. 55°

Ex.5 : 24° Ex.6 : 1.34° Ex.7 : 1. Isocèle.2.61° 3.

Ex.8 : 1. et 2. 3. 67° 4. Le symétrique d’un angle…. 5. Dans le désordre : « angles à la base »,

« sommet principal », « base »

Ex.9 : Ex.10 : Ex.11 : 25°

G

T R

G

F D

K

O

PL

J

L

C

X

V A

C B

J I

C’

B’

A Z

E 5,8 67°

cm

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Ex.12 : \s\up4(a=36° ; \s\up4(a=108° ;\s\up4(a=72° ; \s\up4(a=72° 2. Isocèle en F. 3.

Ex.13 : Oui Ex.14 : 32°

D

C

E F