Cours 6
3.1 DÉTERMINANTS
(SUITE)
Au dernier cours, nous avons vu
✓ La définition axiomatique du déterminant.
✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système d’équations
linéaires à deux équations et à deux inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
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Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Le déterminant en dimension 3.
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système d’équations
linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
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Volumes
Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes!
Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés.
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Dans l’espace
Volume négatif Volume positif
5
Définition:
Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre
tel que les six propriétés suivantes sont respectées.
6
(Si on a les coordonnées des vecteurs
on peut aussi noter le déterminant)
D1.
D3.
D2.
8
D4.
9
D5.
D6.
D1.
11
D2.
Hum... pas de volume!
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D3.
13
D4.
14
D5.
15
D6.
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Calculons le volume.
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avec eux.
On refait ça
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Exemple: Trouver le volume du parallélépipède suivant
Mais ça, c’est le volume orienté.
Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue.
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Faites les exercices suivants
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p.98 # 10 à 12
Théorème: Règle de Cramer
La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.
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Volume d’un tétraèdre
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volume du parallélépipède
Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans un même plan.
Car s’ils sont dans un même plan,
ils n’auront pas de volume.
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Faites les exercices suivants
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p.102 #13 à 17
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système d’équations
linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
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Devoir: p.101, #1 à 28
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