3.1 DÉTERMINANTS (SUITE)

(1)

Cours 6

3.1 DÉTERMINANTS

(SUITE)

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

✓ La définition axiomatique du déterminant.

(4)

✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.

(5)

✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.

✓ La façon de résoudre un système d’équations

linéaires à deux équations et à deux inconnues à l’aide de la règle de Cramer.

(6)

Aujourd’hui, nous allons voir

(7)

✓ Le déterminant en dimension 3.

(8)

✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.

(9)

✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.

✓ La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.

(10)

Volumes

(11)

Volumes

Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes!

(12)

Volumes

Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes!

Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés.

(13)

Dans l’espace

(14)

Dans l’espace

Volume négatif

(15)

Dans l’espace

Volume négatif Volume positif

(16)

Définition:

Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre

(17)

Définition:

(18)

Définition:

(19)

Définition:

(Si on a les coordonnées des vecteurs

(20)

Définition:

(21)

Définition:

(22)

Définition:

(23)

Définition:

on peut aussi noter le déterminant)

(24)

Définition:

(25)

Définition:

tel que les six propriétés suivantes sont respectées.

(26)

D1.

(27)

D1.

(28)

D1.

(29)

D1.

D2.

(30)

D1.

D2.

(31)

D1.

D2.

(32)

D1.

D2.

(33)

D1.

D2.

(34)

D1.

D2.

(35)

D1.

D2.

(36)

D1.

D2.

(37)

D1.

D2.

(38)

D1.

D3.

D2.

(39)

D1.

D3.

D2.

(40)

D1.

D3.

D2.

(41)

D1.

D3.

D2.

(42)

D1.

D3.

D2.

(43)

D1.

D3.

D2.

(44)

D1.

D3.

D2.

(45)

D1.

D3.

D2.

(46)

D4.

(47)

D4.

(48)

D4.

(49)

D4.

(50)

D4.

(51)

D4.

(52)

D4.

(53)

D4.

(54)

D4.

(55)

D4.

(56)

D4.

(57)

D4.

(58)

D4.

(59)

D4.

(60)

D4.

(61)

D4.

(62)

D4.

(63)

D4.

(64)

D4.

(65)

D5.

(66)

D5.

(67)

D5.

(68)

D5.

(69)

D5.

(70)

D5.

(71)

D5.

(72)

D5.

(73)

D5.

(74)

D5.

(75)

D5.

(76)

D5.

(77)

D5.

(78)

D5.

(79)

D6.

(80)

D6.

(81)

D6.

(82)

D6.

(83)

D6.

(84)

D6.

(85)

D6.

(86)

D6.

(87)

D6.

(88)

D6.

(89)

D6.

(90)

D6.

(91)

D6.

(92)

D6.

(93)

D6.

(94)

D6.

(95)

D6.

(96)

D6.

(97)

D6.

(98)

D6.

(99)

D6.

(100)

D6.

(101)

D1.

(102)

D1.

(103)

D1.

(104)

D2.

(105)

D2.

(106)

D2.

(107)

D2.

Hum... pas de volume!

(108)

D3.

(109)

D3.

(110)

D3.

(111)

D4.

(112)

D4.

(113)

D4.

(114)

D4.

(115)

D4.

(116)

D4.

(117)

D4.

(118)

D5.

(119)

D6.

(120)

D6.

(121)

D6.

(122)

D6.

(123)

D6.

(124)

D6.

(125)

Calculons le volume.

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

On refait ça

(153)

avec eux.

On refait ça

(154)

(155)

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

(162)

(163)

(164)

(165)

(166)

Exemple: Trouver le volume du parallélépipède suivant

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)

(173)

(174)

(175)

(176)

(177)

Mais ça, c’est le volume orienté.

(178)

Mais ça, c’est le volume orienté.

Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue.

(179)

Faites les exercices suivants

p.98 # 10 à 12

(180)

Théorème: Règle de Cramer

(181)

(182)

(183)

(184)

(185)

La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.

(186)

Faites les exercices suivants

p. 104, #24.

(187)

Volume d’un tétraèdre

(188)

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

volume du parallélépipède

(195)

volume du parallélépipède

(196)

Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans un même plan.

(197)

Car s’ils sont dans un même plan,

(198)

(199)

ils n’auront pas de volume.

(200)

ils n’auront pas de volume.