La fonction exponentielle

Exercice 1 : Rappels :

1) Pour tout réel 𝑥, exp(𝑥) = 𝑒

2) Pour tout 𝑥 réel : (𝑒 )′= 𝑒 et 𝑒 > 0 1) Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 + 5𝑥 − 2

b) 𝑔(𝑥) = (𝑒 ) + 5𝑒 + 3 c) ℎ(𝑥) = (2𝑒 + 3)

d) 𝑘(𝑥) =1 − 𝑒 1 + 𝑒

2) Etudier les variations de chacune de ces fonctions.

Exercice 2 : Rappels :

Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 et tout entier relatif 𝑛 on a : 1) 𝑒 = 𝑒 × 𝑒

2) 𝑒 = 4) 𝑒 =

5) 𝑒 = [𝑒 ]

1) Simplifier les écritures suivantes : a) 𝐴(𝑥) = 𝑒 × 𝑒

b) 𝐵(𝑥) =𝑒 𝑒

c) 𝐶(𝑥) =(𝑒 ) × (𝑒 ) (𝑒 )

2)** Étudier la parité des fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒

(𝑒 + 1) et 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒 (𝑒 + 1)

Exercice 3 : Rappels :

1) Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑥 = 𝑦 2) Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, 𝑒 < 𝑒 ⇔ 𝑥 < 𝑦

Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :

1) 𝑒 + 3

𝑒 + 1= 2 2) 𝑒 ≤ 𝑒 3) 𝑒 = 𝑒 4) 𝑒 − 1 > 0

Exercice 4 : VRAI - FAUX

Soit 𝑓 la fonction définie par ∶ 𝑓(𝑥) =2𝑒 − 2

𝑒 + 1 et 𝒞 sa courbe représentative.

1. 𝑓 est croissante sur ℝ.

2. La tangente à 𝒞 au point d’abscisse 0 a pour équation 𝑦 = 4𝑥.

3. La fonction 𝑔 =1

𝑓 a les mêmes variations que 𝑓.

4. La fonction 𝑔 =1

𝑓 est définie sur ℝ.

Exercice 5 :

Soit 𝑓 la fonction définie par ∶ 𝑓(𝑥) =𝑒 − 1 𝑒 − 𝑥

1. (a) En étudiant la fonction 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑒 − 𝑥 − 1, démontrer que, pour tout réel 𝑥, 𝑒 − 𝑥 ≥ 1.

Justifier alors que 𝑓 est définie sur ℝ.

(b) Calculer 𝑓’(𝑥).

2. On considère la fonction 𝜑 définie sur −1; par ∶ 𝜑(𝑥) = (2 − 𝑥)𝑒 − 1 Établir le tableau de variations de 𝜑 sur −1; .

3. Étudier les variations de 𝑓 sur −1; .