L.S.Marsa Elriadh
Liste 10
M : Zribi4 ème Maths Exercices
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Exercice 1:
1/ résoudre dans l’équation: (iz-2)4=(z-1)4.
2/ soit dans C l’équation (E): z5-(1-i)z4-5iz3-z²+(1-i)z+5i=0.
a/ résoudre dans C l’équation (E’): z3-1=0.
b/ montrer que les solutions de (E’) sont aussi les solution de (E).
c/ résoudre alors (E).
Exercice 2 : A/ soit l’application f de C\{-i} dans C qui a z associe z’=
i z
iz 1) exprimer z’ en fonction de z.
2/ soit un nombre complexe u de module 1 et d’argument tel que
2k 2
montrer que f(u)= ) ) 2 (4 2(
1 tg i
3/ déterminer les racines cubiques du nombre complexe a= (1 ) 2
2 i
4/ utiliser les résultats des questions précédentes pour résoudre dans C : (iz)3= (1 )
2
2 i (z+i)3
B/ le plan P est munie d’un repère orthonormé (O, i,j)on désigne par A, B, I les points d’affixes respectives –i, i, 1 et l’application F de P\{A}
dans P\{B} qui a tout point M(z) associe le point M’(z’) 1/a/ calculer (z’-i)(z+i)
b/ donner une interprétation géométrique du résultat en a/
c/ déduire une construction de M’=F(M)
2/a/ déterminer puis construire ’ l’ensemble des points M’ lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon 2/2
b/ déterminer puis construire l’ensemble ’ des points M’ lorsque M décrit [AI)\{A}
Exercice 3:
1/ résoudre dans C: z²-(2+i)z+2i=0.
2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on désigne par A(i) et B(2) ; à tout point M(z) (z2) on associe le point M’(z’) /z z i
iz i
'
2 .
a/ montrer que z’= AM
BM
b/ en déduire que lorsque M décrit la médiatrice de [AB] le point M’
décrit un cercle que l’on déterminera..
c/ donner une signification géométrique de argz’.
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d/ en déduire que si M(AB), le point M’ appartient à une droite que l’on déterminera.
Exercice 4:
on considère les nombres complexes: =1 3
2
3 3
2
i
et i
1/ écrire et sous forme exponentielle.
2/ soit ]0,[.
a/ résoudre dans C: z²-2z+1-e2i=0, z1 la solution ayant une partie imaginaire pure négative et z2 l’autre.
b/ écrire sous forme trigonométrique z1 et z2 . 3/déterminer pour que l’on ait: z1= et z2=. Exercice 5:
1/ résoudre dans C: 2z²-2(1+i)z+1/2+i=0.
2/ soit [0,/2] et E: 2z²-(1+2cos+2i)z+cos+i=0.
a/ montrer que Eadmet une solution réel que l’on calculera.
b/ calculer l’autre racine .
3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé on considère les points A(1/2) et M(cos+i).
a/ déterminer l’ensemble des points M lorsque varie dans [0,/2].
b/ calculer AM, en déduire la valeur de pour que AM soit minimale.
Exercice 6:
1/ résoudre dans C: (1+i)z²-2z+1-i=0.
2/ soit m un complexe de module 2. Résoudre dans C l’équation (E) : mz²-2z +m=0
3/ on pose m= 2ei ou R.
a/ mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle
b/ soient z’ et z’’ les solutions de (E) et M’(z’), M’’(z’’)et M(z) avec z=z’+z’’.
Montrer que z’/z’’=i . en déduire que les vecteurs OM'etOM'' sont orthogonaux ou O est l’origine d’un repère orthonormé.
c/ quelle est la nature de OM’MM’’? Justifier.
Exercice 7:
Pour tout réel ]- , ] on considère la fonction f définie par:
Pour tout z \{ei };
i i
f ( z ) 1 ze z'
e z
1) vérifier que si { , }
2 2
alors f est une fonction constante.
2) On suppose que =0.
a) montrer que z’= -f0(-z).
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b) montrer que pour tout réel IR\{2k , kZ} on a:
i
f ( e0 ) i cot( ) 2
c) déterminer les racines carrés de 2( 1 i )
2
d) utiliser les questions a-bet c pour résoudre dans l'équation:( 1 z )² 2( 1 i )( 1 z )²
2
3) on suppose que { , }
2 2
, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on désigne par A, B, C,M et M' les points d'affixes respectives ei ; -ei ; -e-i ; z et z'=f(z).
a) montrer que z est imaginaire pur si et seulement si |z'|=1 et z'-ei . b) montrer que si MA et MC alors
( i,OM ' ) ( AM ,CM )[ 2 ] c) pour
4
, déterminer et construire l'ensemble décrit par le
point M lorsque M' décrit la demi droite d'équation y x x 0
Exercice 8:
soit ]0, [; on considère l'équation (E) : z²-2cos z+2(1+sin )=0 1) a) déterminer les solutions z1 et z2 de l'équation (E).
b) montrer que pour tout réel et on a:
i i i 2
e e 2cos( )e
2
c) en déduire le module et un argument de z1 et z2.
2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a=-cos , b=cos
+i(1+sin ) et c =cos -i(1+sin ).
a) déterminer et construire les ensembles décrits par les points A, B et C lorsque varie dans ]0, [.
b) montrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Exercice 9:
on considère l’équation (E) : z3+(3-i)z²+(1-i3)z-i=0
1/ a/ montrer que l’équation (E) admet une racine imaginaire pure z0 que l’on déterminera
b/ résoudre alors l’équation (E) ; on note z1 et z2 les deux autres racines ; Im(z1)>0
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c/ écrire z0, z1, z2 sous forme trigonométrique
2/ le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j). On désigne par A, B, C les points d’affixes respectives z0, z1, z2
a/ montrer que OBAC
b/ en déduire que le quadrilatère OABC est un losange
c/ placer les points A, B, C dans le plan complexe et déterminer une mesure de (OA,OB)
d/ vérifier que z0, z1, z2 sont les racines sixième de –1 et déterminer les autres racines de l’équation z6=-1.
Exercice 10 :
On considère la fonction f définie sur par:
f(z)=2z3-(3+2isin2 )z²+(1+2isin2 )z- i
2sin2 .
1) a) montrer qu'il existe un unique réel z0 telle que pour tout
] , [ 2 2
, on a f(z0)=0.
b) achever la résolution dans de l'équation f(z)=0. on désignera par z1 et z2 les solutions autre que z0.
c) déterminer le module et un argument de chacun des solutions z1 et z2.
2) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; on considère les points A, M1 et M2 d'affixes respectives z0, z1 et z2 et le point I milieu de [M1M2].
a) déterminer )0, 2
[ tel que AM1M2 soit un triangle équilatéral.
b) déterminer l'ensemble des points I lorsque décrit ] , [ 2 2
. c) montrer que l'ensemble des points M1 et M2 est un cercle que l'on précisera lorsque décrit ] , ]
2 2
.
