Liste 9

L.S.Marsa Elriadh

Liste 9 ^{M : Zribi}

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Maths

1 Exercice 1:

1/ résoudre dans C: z²-(2+i)z+2i=0.

2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on désigne par A(i) et B(2) ; à tout point M(z) (z2) on associe le point M’(z’) /z z i

iz i ' 

2 . a/ montrer que z’= ^AM

BM

b/ en déduire que lorsque M décrit la médiatrice de [AB] le point M’ décrit un cercle que l’on déterminera..

c/ donner une signification géométrique de argz’.

d/ en déduire que si M(AB), le point M’ appartient à une droite que l’on déterminera.

Exercice 2:

on considère les nombres complexes: =^{1 3} 2

3 3

2

i  

et i 1/ écrire  et  sous forme exponentielle.

2/ soit  ]0,[.

a/ résoudre dans C: z²-2z+1-e^2i=0, z₁ la solution ayant une partie imaginaire pure négative et z₂ l’autre.

b/ écrire sous forme trigonométrique z₁ et z₂ . 3/déterminer  pour que l’on ait: z₁= et z₂=. Exercice 3:

1/ résoudre dans C: 2z²-2(1+i)z+1/2+i=0.

2/ soit [0,/2] et E_: 2z²-(1+2cos+2i)z+cos+i=0.

a/ montrer que E_admet une solution réel que l’on calculera.

b/ calculer l’autre racine .

3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé on considère les points A(1/2) et M(cos+i).

a/ déterminer l’ensemble des points M lorsque  varie dans [0,/2].

b/ calculer AM, en déduire la valeur de  pour que AM soit minimale.

Exercice 4:

1/ résoudre dans C: (1+i)z²-2z+1-i=0.

2/ soit m un complexe de module 2. Résoudre dans C l’équation (E) : mz²-2z +m=0

3/ on pose m= 2e^i ou R.

a/ mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle

b/ soient z’ et z’’ les solutions de (E) et M’(z’), M’’(z’’)et M(z) avec z=z’+z’’.

Montrer que z’/z’’=i . en déduire que les vecteurs OM'etOM'' sont orthogonaux ou O est l’origine d’un repère orthonormé.

c/ quelle est la nature de OM’MM’’? Justifier.

Exercice 5:

Pour tout réel ]- , ] on considère la fonction f_ définie par:

L.S.Marsa Elriadh

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Maths

2 Pour tout z \{e^{i }};

i i

f ( z ) 1 ze

e z



 

 

 1) vérifier que si { , }

2 2

 _

alors f_ est une fonction constante.

2) On suppose que  =0.

a) montrer que f₀ est une bijection de \{1} dans \{-1}

et que f^-1₀(z)= -f₀(-z).

b) montrer que pour tout réel IR\{2k  , kZ} on a: f ( e₀ ⁱ ) i cot( ) 2

 _ 

c) déterminer les racines carrés de 2

( 1 i )

2 

d) utiliser les questions a-bet c pour résoudre dans

l'équation: 2

( 1 z )² ( 1 i )( 1 z )²

  2  

3) on suppose que { , }

2 2

 

  , le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on désigne par A, B, C,M et M' les points d'affixes respectives e^{i }; -e^{i }; -e^{-i }; z et z'=f_(z).

a) montrer que z est imaginaire pur si et seulement si |z'|=1 et z'-e^{i }. b) montrer que si MA et MC alors ( i,OM ' )    ( AM ,CM )[ 2 ] c) pour 

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 , déterminer et construire l'ensemble  décrit par le point M

lorsque M' décrit la demi droite d'équation y x x 0

  

  Exercice 6:

soit ]0, [; on considère l'équation (E) : z²-2cos  z+2(1+sin  )=0 1) a) déterminer les solutions z₁ et z₂ de l'équation (E).

b) montrer que pour tout réel  et  on a:

i i i 2

e e 2cos( )e

2

 

      ^_ ^{ }_ c) en déduire le module et un argument de z₁ et z₂.

2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a=-cos  , b=cos  +i(1+sin  ) et c =cos  -i(1+sin  ).

a) déterminer et construire les ensembles décrits par les points A, B et C lorsque  varie dans ]0,  [.

b) montrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.