u ′ etv ′ soient

OBLIGA

TOIRE Avril2012

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l'épreuve : 4 heures

Coeient : 7

Ce sujet omporte 5 pages (y ompris elle-i)numérotées de 1 à 5

L'emploi des alulatries est autorisé, dans les onditions prévues par la réglementation

en vigueur.

Leandidat doit traiterles quatre exeries.

La qualité de la rédation, la larté et la préision des raisonnements entreront pour une

part importantedans l'appréiationdes opies.

Partie A Questionde ours

SoitI unintervalle de

R

.

Soient

u

^et

v

^{deuxfontions ontinues, dérivables surI telles queles fontionsdérivées}

u ^′

^et

v ^′

^soient

ontinues surI.

Rappeleretdémontrer laformuled'intégration par partiessurun intervalle

[a ; b]

^deI.

Partie B

Ononsidère lesfontions

f

^et

g

^{dénies sur}

R

par :

f (x) = (x − 1) ²

^e

^{− x}

^et

g(x) = 3

2 (x − 1) ² .

On noterespetivement

C ₁

et

C ₂

les ourbesreprésentatives de

f

^de

g

^{dans le planmunid'un repère}

orthonormal

(O ; #– ı , #–  )

^.

Lesourbes sonttraées en annexe.

1. a) Déterminer lesoordonnées despointsommuns à

C ₁

et

C ₂

. b) Donner lespositions relativesde

C ₁

et

C ₂

sur

R

.

2. a) À l'aidede deuxintégrations par partiessuessives, déterminer

Z 1 0

f (x)

^d

x

^.

b) Caluler, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les ourbes

C ₁

,

C ₂

et les droitesd'équations

x = 0

^et

x = 1

^.

Partie C

Ononsidère lasuite

(u n )

^{déniepour toutentier naturel}

n

^{non nulpar :}

u n =

Z 1 0

(x − 1) ^{2 n}

^e

^{− x}

^d

x.

1. a) Démontrer que,pour tout

x

^{de[0;1℄etpour tout entier naturel}

n

^nonnul,

0 6 (x − 1) ²ⁿ

^e

^{− x} 6 (x − 1) ²ⁿ .

b) Démontrer que,pour toutentier naturel

n

^{non nul, ona :}

0 6 u n 6 1

2n + 1 .

2. En déduireque lasuite

(u n )

^{estonvergente etdéterminer salimite.}

EXERCICE 1

Cette page ne serapas à rendre ave la opie

1 2 3 4 5 6

− 1

− 2

1 2 3 4 5 6 7

C ₁ C ₂

O

L'espaeest munid'unrepèreorthonormé

O ; #– i , #– j , #– k

.

Ononsidère lestrois pointsA, BetC deoordonnées respetives:

A

( − 1 ; 2 ; 1)

^,B

(1 ; − 6 ; − 1)

^etC(2;2;2).

1. a) Vérierque lespointsA,BetCdénissent bienunplan.

b) Montrer quele veteur

#– n



 1 1

− 3





^{estun veteur normal au plan(ABC).}

) Déterminer uneéquation artésienne du plan(ABC).

2. Soit

P

^{lepland'équation :}

x − y + z − 4 = 0

^.

a) Montrer queles plans (ABC)et

P

^{sont séants.}

b) Soit

D

^ladroiteintersetiondesplans

P

^{et(ABC).Déterminerune}représentationparamétrique de ladroite

D

^.

3. On onsidère la sphère

S

^{de entre}

Ω(3 ; 1 ; 3)

^{et de rayon 3 et on nomme I le point de}

oordonnées

(2 ; − 1 ; 1)

^{.Onadmet queladroite}

D

^apour représentation paramétrique :







x = 1 + t y = − 3 + 2t

z = t,

t ∈ R .

a) Montrerquele point I appartient àladroite

D

^.

b) Montrer quele point I appartient àlasphère

S

^.

) Dans ette question, toute trae de reherhe, même inomplète, ou d'initiativemême non

frutueuse, sera prise en ompte dans l'évaluation.

Montrer quela droite

D

^{oupe lasphère}

S

^{en undeuxième point.}

Exerie 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spéialité

Le planomplexe estmuni d'unrepèreorthonormal diret

(O ; #– u , #– v )

^.

Onprendra 1m pour unitégraphique.

1. Résoudre dans

C

l'équation

z ² − 2z + 2 = 0

^.

2. SoitA, B,CetD les points d'axesrespetives:

z

^A

= 1 +

ⁱ

; z

^B

= z

^A

; z

^C

= 2z

^B

; z

^D

= 3.

Construireune gureetlaompléter toutaulong del'exerie.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même erle de entre D dont on

Ononsidère l'équationnotée (E):

ln x = − x

^.

Lebut del'exerieestdeprouverquel'équation(E), admetunesolutionuniquenotée

α

appartenant à l'intervalle

]0 ; + ∞ [

^{etd'utiliser une suite onvergentepour enobtenir un} enadrement.

Partie A : existene et uniité de la solution

Ononsidère lafontion

f

^{défmie sur}l'intervalle

]0 ; + ∞ [

^par

f (x) = x + ln x

^.

1. Déterminer lesensde variationde lafontion

f

^surl'intervalle

]0 ; + ∞ [

^.

2. Démontrerquel'équation

f (x) = 0

^{admet uneuniquesolutionnotée}

α

appartenant àl'intervalle

]0 ; + ∞ [

^.

3. Vérierque :

1

2 6 α 6 1

^.

Partie B : enadrement de la solution

α

Ononsidère lafontion

g

^déniesurl'intervalle

]0 ; + ∞ [

^par

g(x) = 4x − ln x

5

^.

1. Étude de quelquespropriétés de lafontion

g

^.

a) Étudier lesens devariation delafontion

g

^surl'intervalle

]0 ; + ∞ [

^.

b) Endéduirequepour toutnombreréel

x

appartenantàl'intervalle

1 2 ; 1

, g(x)

^appartient

à etintervalle.

) Démontrerqu'unnombreréel

x

appartenantàl'intervalle

]0 ; + ∞ [

^{estsolutiondel'équation}

(E)si etseulement si

g(x) = x

^.

2. Ononsidère lasuite

(u n )

^déniepar

u 0 = 1

2

^{etpour toutentier naturel}

n

^,par

u n+1 = g (u n )

^.

a) En utilisant lesens de variation de la fontion

g

^{,démontrer par réurrene que pour tout}

entier naturel

n, 1

2 6 u n 6 u n+1 6 1

^.

b) En déduireque lasuite

(u ⁿ )

^{onverge vers}

α

^.

3. Reherhe d'unevaleur approhée de

α

a) À l'aide de la alulatrie, déterminer une valeur approhée de

u 10

^{, arrondie à la sixième}

déimale.

b) Onadmet que

u 10

^{est une valeur approhée par défautà}

5 × 10 ^{− 4}

^{près de}

α

^.

En déduire un enadrement de

α

^{sous la forme}

u 6 α 6 v

^où

u

^et

v

^{sont deux déimaux}

éritsave troisdéimales.