Partie 1. Exemples.

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout ce problèmeQ[X](respectivementZ[X]) désigne l'ensemble des polynômes à une indéterminée, à coecients dansQ(respectivementZ). Ces ensembles sont des anneaux commutatifs pour les lois+et×usuelles sur les polynômes.

Un polynômeΦdeQ[X](respectivementZ[X]) est dit irréductible surQ(respectivement Z) s'il n'est ni constant, ni de la forme Φ = P Q avec P, Q dans Q[X] (respectivement Z[X]) etdeg(P)≥1,deg(Q)≥1.

Partie 1. Exemples.

1. Montrer que les polynômesX²−X−1et X³−X−1 sont irréductibles surZ.

2. Soitn∈N^∗et a₁, . . . , a_n des entiers relatifs deux à deux distincts. DénissonsΦpar Φ = (X−a1). . .(X−an)−1

On remarque queΦ∈Z[X]. Le but de la question est de montrer qu'il est irréductible sur Z. Supposons qu'il existe P et Q dans Z[X] de degré supérieur ou égal à 1 et vériantΦ =P Q.

a. Montrer quea1, . . . , an sont des racines deP+Q. b. En déduire queΦ =−P².

c. Conclure.

3. Soit n un entier naturel impair et soient a1, . . . , an des entiers relatifs deux à deux distincts. Montrer que(X−a1). . .(X−an) + 1est irréductible dansZ.

Partie 2. Lemme de Gauss.

SoitP =Pn

k=0a_kX^k un polynôme non nul de Z[X]. On dénit le contenu deP, noté c(P)par

c(P) =pgcd(a₀, . . . , a_n) Le polynômeP est dit primitif sic(P) = 1.

SoientP etQdansZ[X].

1. On suppose dans cette question queP et Qsont primitifs.

NotonsP =

n

P

k=0

akX^k,Q=

m

P

k=0

bkX^k etP Q=

r

P

k=0

ckX^k. Soitpun nombre premier.

a. Montrer qu'il existe un plus petit entierk∈ {0, . . . , n}tel quepne divise pasak. Notons lek0.

Notons, de même,k₁le plus petit entierk∈ {0, . . . , m}tel quepne divise pasb_k. b. Montrer quepne divise pasck0+k1

c. En déduire quec(P Q) = 1.

2. Montrer quec(P Q) =c(P)c(Q)(lemme de Gauss).

Partie 3. Critère d'Eisenstein.

1. SoitΦ∈Z[X]pour lequel il existe des polynômes P et Qde degré supérieur ou égal à1 et à coecients rationnels tels que Φ =P Q. Montrer qu'il existe deux polynômes P0 et Q0 deZ[X]proportionnels respectivement àP et Qet tels queΦ =P0Q0. 2. SoitΦ∈Z[X]. Montrer queΦest irréductible surQsi et seulement si il est irréductible

surZ.

3. Soit Φ =

n

P

k=0

akX^k un polynôme non constant de Z[X]. On suppose qu'il existe un nombre premierptel que :

• pne divise pasan

• pdivisea_i pouri∈ {0, . . . , n−1}

• p² ne divise pasa₀

Montrer queΦest irréductible surQ.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Apolyir

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Corrigé

Partie 1. Exemples.

1. Supposons qu'il existea, b, a⁰, b⁰ dansZtels que

P1=X²−X−1 = (aX+b)(a⁰X+b⁰)

Alors, aa⁰ = 1 et bb⁰ = 1 d'où a = ±1 et b = ±1. Le polynôme P1 devrait donc admettre1ou−1 comme racine en contradiction avecP₁(−1) = 1et P₁(1) =−1. On en déduit queP₁est irréductible.

Supposons qu'il existea, b, a⁰, b⁰, c⁰ dansZtels que

P₂=X³−X−1 = (aX+b)(a⁰X²+b⁰X+c⁰)

(le polynômea⁰X²+b⁰X+c⁰ étant éventuellement réductible surZ). Alorsaa⁰= 1et bc⁰ = 1 puisa=±1 et b=±1, et 1 ou−1 serait racine deP2 en contradiction avec P2(−1) =−1 etP2(1) =−1. On en déduit queP2est irréductible.

2. a. Pourk entre1 etn, Φ(a_k) =P(a_k)Q(a_k) =−1d'oùP(a_k) =−Q(a_k) =±1. On en déduit queP(a_k) +Q(a_k) = 0. Lesa_k, sont donc des racines deP+Q. b. On sait que deg(Φ) = n et, par hypothèse, deg(P) ≥ 1 et deg(Q) ≥ 1. D'où

deg(P) ≤n−1 et deg(Q) ≤ n−1, ainsi P +Qest de degré inférieur ou égal à n−1 tout en admettant au moins n racines. Il est donc nul d'où Q=−P et Φ =−P².

c. Pour toutx∈ R, Φ(x) = −(P(x))² ≤0. Or lim_+∞Φ = +∞. C'est absurde, le polynômeΦétant non constant, il est donc irréductible surZ.

3. Supposons queΦ2= (X−a1). . .(X−an) + 1soit réductible surZ.

Ce polynôme étant non constant il s'écrit doncΦ2=P QavecP et QdansZ[X]et de degré supérieur ou égal à 1. On en déduit que P et Qsont de degré inférieur ou égal àn−1.

Comme dans la question précédente, on a, pourkentre1et n, Φ(ak) =P(ak)Q(ak) = 1⇒P(ak) =Q(ak) =±1

On en déduit queP(ak)−Q(ak) = 0. Les ak sont donc des racines deP −Qqui est de degré au plusn−1. C'est donc le polynôme nul, d'oùΦ =P².

On peut alors écrire

n

Y

k=1

(X−a_k) =P²−1 = (P−1)(P+ 1)

CommeP n'est pas constant, deg(P −1) = deg(P+ 1) = deg(P). On devrait alors avoirn= deg(P²−1) = 2 degP en contradiction avecnimpair. On en déduit que le polynôme(X−a₁). . .(X−a_n) + 1est irréductible surZ.

Partie 2. Lemme de Gauss.

1. a. Le polynômeP est primitif, doncpne divise pas le pgcd de(a0, . . . , an). Il existe donc un entierk∈ {0, . . . , n}tel quepne divise pasak. L'ensemble deskentiers entre0et ntels quepne divise pasak est une partie non vide deN, elle admet un plus petit élément.

b. Notonsk₀le plus petit desk tels quepne divise pasa_k etk₁ le plus petit desk tels quepne divise pasb_k. Considérons le terme de degrék₀+k₁dans le produit.

ck₀+k₁ =

k₀−1

X

k=0

akbk₀+k₁−k+ak₀kk₁+

k₀+k₁

X

k=k₀+1

akbk₀+k₁−k

Pour 0 ≤ k ≤k0−1, p ne divise pasak par dénition de k0. Donc pdivise la somme de gauche.

Pourk0+ 1≤k≤k0+k1, on ak0+k1−k < k1, doncpdivisebk par dénition dek1. On en déduit quepdivise la somme de droite.

Or pne divise pasa_k₀ et pne divise pasb_k₁. Comme il est premier, il ne divise pas leur produit. On en déduit quepne divise pasc_k₀_+k₁.

c. Le contenu c(P Q) est un entier naturel qui n'admet aucun diviseur premier. Il est donc égal à1.

2. Soient P et QdansZ[X]. Notonsa₀,· · ·, a_n les coecients de P. On peut factoriser le contenuc(P)dans ces coecients, soit

∀k∈ {0, . . . , n}, ak =c(P)a⁰_k etP1=

n

X

k=0

a⁰_kX^k

avec lesa⁰_kdansZet pgcd(a⁰₀, . . . , a⁰_n) = 1. AlorsP =c(P)P1avecP1∈Z[X]polynôme primitif.

De mêmeQ=c(Q)Q1 avecQ1∈Z[X] polynôme primitif.

Par homogénéité du pgcd,c(P Q) =c(P)c(Q)c(P1Q1), d'où, par la question précédente, c(P Q) =c(P)c(Q).

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Partie 3. Critère d'Eisenstein.

1. Notons a (respectivement b) le ppcm des dénominateurs des coecients de P (respectivement Q) écrits sous forme de fractions irréductibles. AlorsP1 =aP ∈ Z[X], Q1=bQ∈Z[X]etabΦ =P1Q1.

Par le lemme de Gauss ab|c(abΦ) = c(P1)c(Q1). Soit m l'entier relatif tel que c(P1)c(Q1) =abm.

Introduisons P2 et Q2 les polynômes primitifs de Z[X] tels que P1 = c(P1)P2 et Q1=c(Q1)Q2. AlorsΦ =P0Q0 en prenantP0=mP2et Q0=Q2.

2. Le sens direct est évident. Le sens réciproque est conséquence de la question précédente.

3. D'après la question précédente, il sut de montrer queΦest irréductible surZ.

Supposons le contraire.Φn'étant pas constant,Φs'écrit doncΦ =P QavecP,Qdans Z[X]etm= deg(P)≥1, r= deg(Q)≥1.

NotonsP =Pm

k=0bkX^k etQ=Pr

k=0ckX^k.

On peut remarquer quean6= 0car par hypothèsep6 |an. D'oùn= deg(Φ)etn=m+r. Par hypothèsep|a0 =b0c0 etp²6 |a0=b0c0, doncpdivise un et un seul des facteurs.

On peut supposer quep|b0. Notonskle plus petit entier de{1, . . . , m} tel quep6 |bk. Un tel entier existe bien carp6 |an=b_mc_r, doncp6 |bm.

Alorsa_k =b_kc₀+Pk

i=1b_k−ic_i. On sait que k≤met r≥1donck < n=m+rdonc p|ak.

Or p|Pk

i=1b_k−ic_i par dénition de k et p 6 |bk et p 6 |c0. C'est absurde, donc Φ est irréductible surZ, et donc surQ.