Partie 1. Vocabulaire.

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans ce problème, on considère l'ensemble Z²=Z×Z. On pourra aussi utiliser le mot point pour désigner un élément deZ².

Les fonctionsxety sont dénies dansZ² et à valeurs dansZpar :

∀c∈Z², c= (x(c), y(c)) On dénit une relationC (dite de contiguïté) dans Z²par :

∀(c, c⁰)∈Z²×Z², cCc⁰⇔(x(c⁰)−x(c))²+ (y(c⁰)−y(c))²= 1

Lorsque cCc⁰ est vraie, on dit quec⁰ est contigu àc. On noteV(c) l'ensemble des points contigus àc (voisinage dec).

Dans tout le problème,Ωdésigne une partie non vide nie deZ². on noteC(Ω)le complé- mentaire deΩdansZ². On adopte les dénitions suivantes pour les points dec∈Ω.

cest sur la frontière deΩsi et seulement si il est contigu à un point deC(Ω). On noteF r(Ω)l'ensemble des points sur la frontière deΩ.

cest intérieur à Ωsi et seulement si il n'est pas sur la frontière deΩ. On noteΩ^◦ l'ensemble des points intérieurs àΩ.

On dénit aussi une fonctionndeΩ^◦ dansNpar :

∀c∈Ω, n(c) =^◦ nombre de points de F r(Ω) contigus àc On dira enn, pour tout pointcintérieur (c∈Ω^◦) que :

cest une pointe deΩ^◦ si et seulement sin(c) = 3, cest un coin deΩ^◦ si et seulement sin(c) = 2. cest un bord de Ω^◦ si et seulement sin(c) = 1.

Partie 1. Vocabulaire.

1. a. La relation de contiguïté est-elle réexive ? symétrique ? antisymétrique ? transitive ?

b. Soitc= (a, b)∈Z², préciser l'ensembleV(c). Combien contient-il d'éléments ? c. Soitc ∈Ω, formuler avec des quanticateurs la phrase c ∈ F r(Ω); même ques-

tion avec c ∈Ω^◦. Caractériserc ∈ Ω^◦ par une relation ensembliste contenant une intersection puis par une relation ensembliste contenant une inclusion.

c

1

c

2

c

3

c

4

c

₅

c

₆

c

₇

c

₈

c

₉

c

₁₀

c

₁₁

c

12

Fig. 1: Exemple de partie Ω.

2. Sur l'exemple de la gure1, préciser la frontière et l'intérieur deΩ, expliciter la fonction n. Qui sont les bords, les coins, les pointes ?

3. Soitc= (a, b)∈Z². Calculer la moyenne des valeurs prises par la fonctionx² sur les points contigus àc, même question pour la fonction xy.

Partie 2. Fonctions harmoniques discrètes.

Une fonction f dénie sur une partie nie Ω de Z² et à valeurs complexes est dite harmonique discrète si et seulement si, pour chaquecdans l'intérieur deΩ, la valeurf(c) est la moyenne des valeurs def aux points contigus àc.

Pour certaines parties Ω, une fonction arbitraire dénie seulement sur la frontière admet un unique prolongement harmonique àΩtout entier.

On identie ici Z² à l'ensemble des complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des entiers. On se donne une partieΩ =c1, c2,· · · , c10 par un tableau en précisantc1= 0 (doncc₇= 1 +i,· · · )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Aharmonic

(2)

MPSI B 29 juin 2019

. . . .

. . . c₈ . .

. . c9 c2 c7 . . c10 c3 c1 c6 .

. . c4 c5 . .

. . . .

1. Préciser la frontière et l'intérieur deΩ.

2. Pour une fonctionf quelconque deΩdansC, on note

f(c_i) =

(fi sici∈F r(Ω) yi sici∈Ω^◦

a. Former un système (S) d'équations linéaires d'inconnues x1,· · · (à préciser) et caractériser le fait quef soit harmonique à l'aide de ce système.

b. Montrer que si on se donne une fonction arbitraire sur la frontière deΩ, on peut la prolonger de manière unique en une fonction harmonique discrète surΩ. (Utiliser uniquement des opérations élémentaires et les coder précisement)

3. Pour une fonctionf dénie sur la frontière par

∀c∈F r(Ω), f(c) =c²

Présenter dans un tableau les valeurs defsur la frontière, former le système et calculer le prolongement harmonique. Que vérie-t-on ?

4. Pour une fonctionf dénie sur la frontière par

∀c∈F r(Ω), f(c) = 1 c

Présenter dans un tableau les valeurs de f sur la frontière, former le système sans le résoudre. Que peut-on dire de l'unique prolongement harmonique ?

5. Pour une partie Ωde Z², on note H(Ω,C)l'ensemble des fonctions de Ω dansC qui sont harmoniques discrètes.

a. Montrer que toute fonction constante dénie dansΩappartient àH(Ω,C). Mon- trer que les restrictions àΩdes fonctionsxety sont dansH(Ω,C).

b. Soitf etg dansH(Ω,C)et λ,µdansC, montrer queλf+µgest dansH(Ω,C). c. Parmi les fonctionsx²,y²,xy,x²−y², quelles sont les fonctions harmoniques ?

Corrigé

Partie 1. Vocabulaire.

1. a. La relation est seulement symétrique. Elle n'est ni réexive, ni antisymétrique, ni transitive.

b. Soitc= (a, b), une somme de deux carrés d'entiers ne peut être égale à1 que si et des carrés vaut1et l'autre0. On en déduit :

V(c) ={(a+ 1, b),(a, b+ 1),(a−1, b),(a, b−1)}

Le voisinage deccontient4 éléments.

c. D'après les dénitions :

c∈F r(Ω)⇔ ∃c⁰ ∈C(Ω) tqcCc⁰ On forme la négation de la phrase précédente

c∈Ω^◦ ⇔c /∈F r(Ω)⇔ ∀c⁰ ∈C(Ω), cCc⁰ est faux⇔ ∀c⁰∈C(Ω), c⁰∈ V/ (c)

⇔C(Ω)∩ V(c) =∅ ⇔ V(c)⊂Ω 2. Sur l'exemple de la gure 1,

F r(Ω) ={c₁, c₂, c₅, c₉, c₁₂, c₁₁, c₈, c₄},

◦

Ω ={c₃, c₆, c₇, c₁0}

Les points intérieursc₃,c₆ etc₁₀sont des pointes. Le pointc₇est un bord, il n'y a pas de coin.

3. Après calculs, on trouve : valeur moyenne dex² sur les points deV(c) =a²+¹₂, valeur moyenne dexysur les points deV(c) =ab.

Partie 2. Fonctions harmoniques discrètes.

1. Avec les dénitions de la première partie :

F r(Ω) ={c4, c5, c6, c7, c8, c9, c10},

◦

Ω ={c1, c2, c3}

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2. a. La fonctionf doit vérier trois relations (une par point de l'intérieur) :

y₁= 1

4(f₅+f₆+y₂+y₃) y2= 1

4(y1+f7+f8+f9) y3= 1

4(f4+y1+f9+f10)

Après réarrangement, on en déduit quef est harmonique discrète si et seulement si(y1, y2, y3)est solution du système

(S)







4x1 −x2−x3 =f5+f6

−x1 +4x2 =f7+f8+f9

−x1 + 4x3 =f4+f9+f10

b. On commence par permuter les inconnues et les lignes

(S)⇔







+ 4x2 −x1 =f7+f8+f9

+4x3−x1 =f4+f9+f10

−x₂ −x3+ 4x₁ =f₅+f₆

Puis on exécute l'opération codée par L₃ ← L₃+¹₄L₁ qui change seulement la troisième équation. Elle devient

−x3+15

4 x1=combi defi

On exécute l'opération codée parL3←L3+¹₄L2, on aboutit au système équivalent

(S)⇔











+ 4x2 −x1 =f7+f8+f9

+4x₃−x₁ =f₄+f₉+f₁₀ +7

2x₁ =F₃

oùF3est une combinaison defiqu'il n'est pas utile de préciser. Sous cette forme, il est clair que, quels que soient les paramètresfitraduisant la valeur de la fonction sur la frontière, le système admet une unique solution donc la fonction admet un unique prolongement harmonique.

3. Pour la fonction dénie parf(c) =c² sur la frontière, les valeurs sont

c4=−1−i c5=−i c6= 1 c7= 1 +i c8= 2i c9=−1 +i c10=−2 f4= 2i f5=−1 f6= 1 f7= 2i f8=−4 f9=−2i f10= 4

Le système devient

(S)⇔







+ 4x2 −x1 =−4 4x3−x1 =4

−x₂ −x3+ 4x₁ =0

⇔











+ 4x2 −x1 =−4 4x₃−x₁ =4

−x3+15

4 x₁ =−1

⇔











+ 4x2 −x1 =−4 4x3−x1 =4

+7

2x1 =0

On en déduit que l'unique solution est (0,−1,1). On remarque que, pour cet unique prolongement harmonique,

f(c1) =f(0) = 0 =c²₁, f(c2) =f(i) =−1 =c²₂, f(c3) =f(−1) = 1 =c²₂,

Soitf(c) =c² pour tous lesc∈Ω.

4. Pour la fonction dénie parf(c) =¹_c sur la frontière, les valeurs sont

k 4 5 6 7 8 9 10

ck −1−i −i 1 1 +i 2i −1 +i −2

f_k ¹₂(−1 +i) i 1 ¹₂(1−i) −₂ⁱ −¹₂(1 +i) −¹₂

(4)

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Le système devient

(S)⇔











4x₂ −x₁ =−3 2i 4x₃−x₁ =−3

2

−x2 −x3+ 4x1 =1 +i

⇔











4x₂ −x₁ =−3 2i 4x₃−x₁ =−3

2

−x3+15

4 x1 =1 +5 8i

⇔











4x2 −x1 =−3 2i 4x3−x1 =−3

2 +7

2x1 =5 8 +5

8i Il admet une unique solution. Il existe donc un unique prolongement harmonique f mais cette fois on ne peut avoirf(c) =¹_c pour tous lesc deΩcarc= 0∈Ω.

5. a. Il est évident que pour une fonction constante, la moyenne des valeurs sur le voisinage d'un point est la valeur constante. Une fonction constante est donc harmonique.

pourc= (a, b), la valeur moyenne dexsur le voisinage decest ¹₄((a+ 1) + 2a+ (a−1)) =a. La fonctionxest donc harmonique. Le calcul est analogue poury. b. Immédiat par linéarité de la sommation.

c. La question I.3. montre quex²ety²ne sont pas harmoniques. En revanchex²−y² etxy sont harmoniques discrètes.