Fonctions inverse et homographique

Section européenne Fonctions 5

Fonctions inverse et homographique

A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :

• connaître la représentation graphique et les variations de la fonction in- verse ;

• identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique ;

• transformer des expressions rationnelles simples ;

• résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression quotient de facteurs du premier degré.

14.1 Soit h la fonction définie par

h(x) = 1 x. Cette fonction est appelée fonction « inverse ».

1. a. Dans un tableau de valeurs, donner sous forme de puissance de 10 les images par la fonctionh des nombres suivants : 1 ; 10⁻¹; 10⁻³; 10⁻⁵.

b. Que semble-t-il se passer pourh(x) quand x s’approche de 0 ? c. Que peut-on alors dire l’image de 0 par la fonction h?

2. Donner l’ensemble des valeurs dexpour lesquellesh(x) existe, c’est à dire l’ensemble de définition de h.

3. Dans cette question, nous allons déterminer le sens de variation de h sur ]0; +∞[.

Pour cela, on considère deux réels a etb strictement positifs tels que a < b. a. Quelles sont les images de a etb par la fonctionh?

b. Vérifier que h(a)−h(b) = ^b−ab^a.

c. D’après la définition de a et b, que peut-on dire du signe de b−a et de celui deab? En déduire le signe de h(a)−h(b).

d. Grâce à la question précédente, ordonner h(a) et h(b). En déduire le sens de variation de h sur ]0; +∞[.

4. Utiliser la méthode de la question précédente pour déterminer le sens de variation de h sur ]− ∞; 0[.

5. Dresser le tableau de variation de h sur R. On fera apparaître clairement la valeur interdite.

6. La fonction h admet-elle un maximum et/ou un minimum. Si oui, lequel et pour quelle valeur de x.

7. Effectuer la représentation graphique de h sur l’intervalle [−5; 5].

8. Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes.

1

x = 1.2 ; ¹x = 7 ; x¹ =−1 ; x¹ = 0 ; ¹x >3 ; ¹x 6−5 ; 2.5> ¹_x; −1< ¹_x 61.

14.2 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou non. Si elle est fausse, expliquer l’erreur commise.

1. La fonction inverse est décroissante et −3<−2, donc −¹₃ >−¹₂. 2. La fonction inverse est décroissante et −3<2, donc ¹

−3 > ¹₂. 3. La fonction inverse est décroissante donc si x <4, alors ¹x > ¹₄. 4. La fonction inverse est décroissante donc si x <−4, alors ¹x >−¹4.

14.3 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Questions A B C

six∈[1; 3] alors 1

x ∈[3; 1] 1

x ∈[1

3; 1] 1

x ∈[1;1 3] si 1

x = 4 alors x= 0,25 x=−4 x=−0,25

si 1

x >10 alors x∈ [10; +∞[ x ∈[ 1

10; +∞[ x∈]0; 0,1]

si a < b <0 alors 1 a < 1

b <0 1

b < 1

a <0 0< 1 b < 1

a g :x7→ −2x+ 5

2x est définie sur R− {0} R− {−2} R− {2,5}

La fonction inverse est

décroissante sur ]0; +∞[ ]− ∞; 0[ ]− ∞; +∞[

Laquelle de ces fonctions est

homographiques ? h1(x) = 2x−4

x²+ 1 h2(x) = 1 + 2x

x+ 2 h3(x) = 2x+ 3 4x+ 6 2 est l’unique solution de x²−4 = 0 4x+ 1

x+ 1 = 3 x+ 1

x−2 = 3

14.4 Déterminer l’ensemble de définition de chacun des fonctions homographiques ci- dessous.

1. h1(x) = 2x+ 1 2x−1; 2. h2(x) = x

−x+ 7 ;

3. h3(x) = 7x−1 3x+ 9; 4. h4(x) = x+ 3

5x−1;

5. h5(x) = 3x+ 5 8x−12; 6. h6(x) = 2x+ 9

−5x−15.

2

14.5 Dans cet exercice, on considère la fonction homographique définie par f(x) = 3x+ 10

x+ 5 . 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f. 2. a. Calculer f(0).

b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la courbe def avec l’axe des ordonnées.

3. a. Résoudre l’équation f(x) = 0.

b. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la courbe def avec l’axe des abscisses.

4. a. Dresser le tableau de signes de la fonctionf.

b. En déduire les valeurs de x pour lesquelles la fonctionf est positive.

5. a. Utiliser l’ensemble des informations précédentes pour proposer une allure générale de la courbe def. Les valeurs particulières seront à préciser.

b. Utiliser la calculatrice pour vérifier votre tracé.

14.6

Í

14.7 In this exercise, we consider the two functions f and g defined by f(x) = x+ 1

x and g(x) = x x+ 1. Part A – About functionf 1. What is the domain of function f?

2. What are the solutions of the equation f(x) = 0 ? 3. a. Check that f(x) = ¹x + 1.

b. Deduce from the variations of the reciprocal function the variations table off. 4. Draw the graph of f over the interval [−5; 5].

Part B – About functiong 1. What is the domain of function g?

2. What are the solutions of the equation g(x) = 0 ?

3. Draw the graph of g over the interval [−5; 5] on the same graph paper as the graph of f.

4. Build the variations table ofg.

Part C – The intersection point

1. Graphically, find the coordinates of the intersection between the two graphs.

2. Solve the equation f(x) =g(x). How is this result related to the previous one ?

3

4