Hubble

Pour une sphère de rayon R et de masse M, on démontre que son action gravitationnelle sur une masse extérieure à la sphère est la même que celle d'un point matériel placé au centre de la sphère et de masse égale à celle de cette sphère.

1) Soit une sphère homogène de rayon x 0xR et de masse volumique µ.

On lui ajoute une pellicule d'épaisseur dx, faite de la même matière, initialement dispersée à l'infini et sans vitesse.

a. Exprimer, en fonction de G (constante de gravitation), x, µ et dx, le travail des forces de gravitation agissant sur la pellicule au cours de cette opération.

b. En déduire que l'énergie potentielle de la sphère (R,M) est E_p= −3 5

G M² R .

2) La sphère ainsi formée est une étoile contenant N atomes d'hydrogène de masse m, chacun ayant l'énergie cinétique moyenne e_c= 3

2kT théorème de l 'équipartition de l 'énergie.

a. En admettant que toute l'énergie libérée lors de sa formation a servi à ''chauffer'' l'étoile, déterminer sa température thermodynamique T.

b. Calculer numériquement T pour le Soleil et conclure sachant que la réaction de fusion de l'hydrogène s'amorce vers 10⁸K.

3)Quand e_catteint l 'énergie d 'ionisation e_i de l'atome H, le modèle précédent ne convient plus: l'étoile devient alors alors un plasma de protons et d'électrons en équilibre thermique, c'est-à-dire que le théorème de l'équipartition de l'énergie reste applicable.

a. Exprimer, en fonction de G, M, m, et e_i, le rayon R_c de l 'étoile dans la situation critique où e_c=e_i. On confondra la masse du proton avec celle de l'atome H.

b. Calculer R_c pour un plasma d'hydrogène ayant la masse du Soleil et calculer sa température thermodynamique T'.

Conclusion.

c. Un tel système n'est pas en réalité isolé parce qu'il rayonne de l'énergie.

En déduire l'évolution de son rayon et de sa température puis proposer un scénario simple de l'évolution d'une étoile.

4) Soit une sphère homogène, de centre O, de masse volumique µ₀ à la date t = 0, qui se dilate de manière isotrope, c'est-à-dire que le point se trouvant en P₀ à la date t = 0 se trouvera, à la date t, en P tel que OP=htOP₀. A chaque instant la sphère reste homogène, de masse volumique µ(t).

a. Exprimer µten fonction de µ₀ et de ht.

b. Montrer que la vitesse de la particule qui se trouve en P s'écrit vt =HtOP , où Ht s 'exprime simplement en fonction de h(t) et de sa dérivée.

c. Déterminer l'énergie cinétique de la sphère de rayon R(t) puis en déduire son énergie mécanique totale.

d. Etablir la relation entre µ(t) et H(t) pour que la sphère puisse se dilater indéfiniment.

Que se passera-t-il si cette relation n'est pas satisfaite?

e. On peut considérer que l'Univers satisfait au modèle précédent.

Montrer que la vitesse par rapport à la Terre d'une galaxie assimilée à un point matériel situé en P vérifie encore la relation vt =HtTP.

Grâce à l'effet Döppler, on peut mesurer cette vitesse et déterminer ainsi H(t).

Actuellement on admet H=1,8 10⁻¹⁸s⁻¹.

Sachant que la masse volumique moyenne de l'Univers est estimée à 5 10⁻²⁸ kg m⁻³, peut−on dire que l'Univers sera éternellement en expansion?

Données: G=6,67 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹s⁻² ; k=1,38 10⁻²³J K⁻¹ ; charge du proton : e=1,6 10⁻¹⁹C.

Atome H: masse m=1,67 10⁻²⁷ kg ; énergie d 'ionisation e_i=13,6 eV.

Soleil : masse M_S=2 10³⁰ kg ; rayon R_S=7 10⁸m.