Oscillations de translation d'une sphère dans l'eau. Lignes de vibration. Masse entrainée. Amortissement

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Oscillations de translation d’une sphère dans l’eau.

Lignes de vibration. Masse entrainée. Amortissement

Marty Léon

To cite this version:

OSCILLATIONS

DE TRANSLATION D’UNE

SPHÈRE

DANS L’EAU. LIGNES DE VIBRATION. MASSE

ENTRAINÉE.

AMORTISSEMENT.

Par

MARTY,

LÉON.

École Normale,

Auch.

Sommaire. 2014 L’auteur se propose de déterminer expérimentalement l’énergie cinétique développée

dans les fluides par les oscillations de solides et le décrément de l’amortissement du mouvement de ces

solides. Le 1er _problème se ramène à la détermination de la « masse entrainée ». Les valeurs tirées de

l’ex-périence sont ensuite _comparées à celles données par la théorie des fluides parfaits et à celles fournies par la théorie de Stokes. Pour de courtes périodes, en particulier aux fréquences acoustiques, le fluide _peut être traité comme _{parfait; pour de longues périodes} la masse entrainée déterminée _{expérimentalement} diffère de celle que donne la théorie de Stokes. La même théorie fournit pour le décrément des oscilla-tions des valeurs inférieures à celles tirées de _{l’expérience.}

1. Introduction. - Le

_sujet

_{ici traité n’est pas}

nouveau. Les

_premières

recherches sur la

_question

furent exécutées par « ordre du

_gouvernement

» _{par le}

chevalier L. J. du Buat en 1786. Posons d’abord le

_problème.

Une

_sphère

S oscille sinnsoïdalement selon

_{x x,’}

au sein d’un fluide que nous _{supposerons indéfini.}

L’expé-rience montre que pour

l’eau,

les

_parois

limitant le fluide sont sans influence sensible sur les mouvements et les

_pressions

autour de la

_sphère,

si elles sont à une distance de cette dernière de l’ordre de 10 fois le rayon.

a)

Li,qnes

de vibration. - Si

l’amplitude

des oscil-lations est

_faible,

les mouvements sont

_purement

vibra-toires ;

les différents éléments du fluide décrivent des

trajectoires

fixes

_rectilignes

ou bouclées. Nous

appel-lerons

_lignes

de vibration ou

_lignes

instantanées de courant les

_enveloppes

du vecteur vitesse. Un

_premier

problème

consiste à déterminer la forme des

_lignes

de vibration et à rechercher l’influence

_possible

de la

fréquence

sur cette forme.

b)

« j1!asse entraînée ». - Soit _x

==./B0

sin 21t nt

l’équation

de l’oscillation de la

_sphère.

Soient _u, v, w les

composantes

de la

_vitesse,

_{périodiquement}

_variable,

en

un

_point

du fluide.

_{L’énergie cinétique}

_{que les}

oscilla-tions _{du corps}

_développent

dans le fluide a _pour

expres-sion :

Pour un fluide

_parfait,

les vitesses u, v, w,

peuvent

dériver d’un

_{potentiel ? ;}

on a alors :

Le sens

_positif

sur les normales

_,étant

le sens

solide-liquide.

Soient V le volume de la

_sphère,

U sa

_{vitesse, p}

la

densité du fluide.

_{L’intégrale I peut toujours}

se mettre sous la forme :

k.

_{Vp représente}

la « masse entraînée o.

M. Bouasse a

_longuement

insisté dans ses _ouvrages

sur le sens

_qu’il

faut donner à cette

_expression.

La

sphère

pousse le fluide situé à son

avant,

tire celui situé en

_{arrière ;}

on

_{peut donc,}

si l’on

_veut,

considérer le fluide situé sur l’axe d’oscillation comme _{entraîné par} la

_sphère.

_{Mais pour} un fluide

_parfait,

les éléments situés sur

_{l’équateur}

sont animés de vitesses de sens

contraire à celle _{du corps}

_oscillant;

on ne

_peut

donc dire que ces éléments sont entraînés

_{par la sphère.}

Pour un fluide

_visqueux,

les éléments situés à la surface du corps adhèrent à ce dernier et en ont à

_chaque

instant la vitesse.

_{L’expression}

masse entraînée est _pour eux en

_partie

correcte.

_Toutefois,

la masse ainsi réellement

« entraînée » ne constitue

_{qu’une partie parfois}

très

petite

de la masse en mouvement.

La « masse entraînée » a _{été calculée pour certaines} formes de corps, aussi bien pour un fluide

_parfait

_que pour un fluide

_visqueux.

La

_{première partie}

du

_présent

mémoire a _pour

_objet

la détermination

_{expérimentale}

de cette masse entraînée et la

_comparaison

des valeurs ainsi obtenues à celles fournies par les théories.

c)

Anzortisse1nent. - Dans _un fluide

parfait,

l’amor-tissement serait nul. Dans les fluides

réels,

en

particu-lier dans les

_liquides,

les oscillations sont assez

rapide-ment amorties. Le décrément a _{été calculé par Stokes} pour un

_cylindre

et une

_sphère.

La

_{comparaison précise}

des résultats

_théoriques

et

_{expérimentaux}

n’a

_jamais

été effectuée. Elle fera

_l’objet

de la dernière

_partie

de ce mémoire.

Les mêmes

_questions

sont _{à résoudre pour les} oscil-lations de

_cylindres

ou de

_plaques.

Leur étude fera

l’objet

d’une

_{prochaine publication.}

Etude de la « masse entraînée ».

2.

_Principe

de la détermination

expérimen-tale de la masse entraînée. - Comme le dit excel-lemment Du Buat : « 11 n’est pas de moyen

_plus

_propre

pour déterminer la

quantité

de fluide

qu’entraine

avec lui un _corps

_plongé,

_{que de faire osciller le corps dans} le fluide. o A la

_vérité,

Du Buat avait du

_phénomène

une idée fort

_{inexacte ;}

il

_{croyait qu’une}

masse bien déterminée de fluide était associée au _{corps oscillant} et _{entraînée par lui} avec une vitesse à

_chaque

instant

égale

à la sienne. Soient :

la masse _{du corps,} la masse

_entraînée,

la masse totale en mouvement est :

.

Considérons le

_pendule

constitué par la

sphère

sus-pendue

dans le _{fluide par} un fil dont la

_longueur

1 est

grande

devant celle R du rayon ;

l’équation

des

_petites

oscillations s’écrit

_{(en négligeant l’amortissement) :}

d’où _{pour la}

_période

la va’eur :

4 xfl

_{1 : y}

est la valeur

To

de la

_période

du _même pen-dule oscillant dans le

_vide,

on a donc :

à : p

= D est la densité du corps par

_rapport

au

fluide,

on a ainsi :

En

_posant

T2:

To2

---

m2,

on obtient :

La formule

₍₁₎

_peut

aussi s’écrire :

Si p est

petit

devant

A,

T est très voisin de

_To,

la détermination de k devient fort délicate. Cette difficulté

explique

le désaccord existant entre les résultats des différents

_{expérimentateurs qui}

se sont

_préoccupés

de

la _{détermination de k pour} « la réduction du

_pendule

au vide ». Dans un

_grand

nombre de ces

_{expériences,}

la

_sphère

oscillante était en

_{platine (~1}

~ 20

environ)

et

le fluide était l’air (p ~

_01°013).

Le

_{rapport p : A}

était

donc

_{quasi négligeable}

devant 1.

La détermination de lt devient relativement aisée pour les oscillations dans ion

_liquide.

3. Résumé des travaux

_{expérimentaux}

sur la

question. -

A. Détermination de la masse entraî-née. - Pour _un fluide

parfait,

le coefiicient k est une constante

_{caractéristique}

_{de la forme du corps}

oscil-lant,

indépendant

de ses

_dimensions,

de la nature du

fluide,

de la

_période

T. Pour un fluide réel k varie avec 7’.

i° Les

_expériences

de Du Buat sur l’oscillation de corps dans l’eau

manquent

de

_précision.

Pour la même

sphère

et la même

_période,

il trouve

_{pour k}

des valeurs variables selon la

densité,

ce

_qui

évidemment est

absurde. Les valeurs de. k lui

_paraissent

_augmenter

avec la

_période

et diminuer

_quand

_{le rayon de la}

sphère

cnoît.

_{l’outplois, il}

_{n’attache pas}

_grande

tance à ces

_variations,

_puisqu’il

_{donne pour k la}

cc valeur moyenne »

_{0, ~ 8 ~ .}

Du Buat a

_également

effectué des

_expériences

sur des

cylindres

et des

_plaques.

Les

_cylindres

étaient

_trop

courts, aussi Du Buat trouve-t-il

_{pour k}

des valeurs croissant avec la

_longueur

1.

_Or,

_{il est bien évident que}

pour des

cylindres

assez

_{longs, k}

doit être

_indépendant

de 1

_(pour

un _{rayon et} une

_{période donnés).}

Au

_sujet

des

_plaques

Du Buat énonce des conclusions

erronées. - Pour des

plaques

minces,

l’expression

kY n’a

_plus

aucun sens, mais la masse entraînée n2

_garde

une valeur bien définie. V doit donc être non le volume de la

_plaque,

mais un volume fonction de ses dimen-sions. Du Buat déclare que le volume entraîné est

indé-pendant

de la forme de la

_plaque

et fonction seulement de sa

_surface,

_{il pose :}

Pour des

_disques,

kV est nécessairement de la forme:

Pour des

_{plaques rectangulaires}

assez

_longues,

kV

prend

au contraire la forme : -.

a,

largeur

de la

_{plaque; b, longueur.}

La surface intervient de

façon

tout à fait différente dans les formules

_{(1 )}

et

_(2).

Il est bien _{évident que si b}

est assez

_grand

devant a, la masse _{entraînée est}

pro-portionnelle

à b. Les

_expériences

de Du Buat étaient donc à

_reprendre.

2° Bessel fit osciller dans l’eau une

_sphère

et un

375

L’influence due la

_période

est

manifeste,

mais Bessel écrit. « Pour hure concorder les deux

résultats,

il

suffi-rait

d’augmenter

la durée d’oscillation du

_{pendule court}

dans l’eau de

0,0029s,

changement

que semblent

auto-riser les difficultés

_qui

_s’opposent

à la

_précision

de ces observations. »

Ainsi,

de son aveu

_même,

la

_précision

de ses

_expériences

n’est

_{qu’apparente.}

3° Un certain nombre de

_{physiciens :}

_{Bessel, Baily,}

Sabine,

se sont

_proposé

de déterminer k pour des boules oscillant dans l’air.

_Malgré

la minutie des

expé-riences, les valeurs de k ainsi déterminées ne sauraient être retenues pour les raisons suivantes :

a)

Dans un

_grand

nombre de ces

_expériences

l’ampli-tude linéaire des oscillations de la

_sphère

est

_supérieure

au _{rayon. Dans} ces conditions des tourbillons se détachent aux extrémités de l’oscillation, le

_régime

n’est

pas vibratoire.

b)

Les valeurs de k fournies par

l’expérience

se

rapportent

au

_système

fil-boule. Elles

_peuvent

être notablement

_supérieures

à celles caractérisant la

_sphère

seule.

c)

La

_plupart

des

_{expérimentateurs}

ne se _{sont pas}

préoccupés

de la limitation du

milieu,

et,

ne soupçon-nant pas l’influence de la

_période

ont donné des valeurs moyennes.

Les détails des

_{expériences auxquelles je}

fais allusion sont

_exposés

dans les mémoires sur le

_pendule,

traduits

et

_publiés

_{par la} Société

_Française

de

_Physique.

Je me borne dans ce

_{qui précède}

à formuler les

_critiques

et _{les réserves que} ces

_{expériences appellent.}

B. Etude des

_lignes

de vibration. -

a)

Fait

curieux,

de nombreux

_physiciens

se sont efforcés de

Fig. 1.

déterminer la valeur de la « masse entraînée » sans se

préoccuper

de la forme des

_lignes

de vibration. M. Bouasse a le

_premier

_essayé

d’en obtenir

expéri-mentalement l’allure. Les

_premières

_expériences

furent exécutées dans son laboratoire et sous sa direction

par Fortépaule

(1).

Je les ai

_reprises

et continuées. Soit (1) Hydrodynamique générale. Delagrave, éditeur, p. 212.

sous la direction de M.

_Bouasse,

soit t

_{seul, j’ai}

i déter-miné l’allure des

_lignes

_{de vibration pour les}

_{sy stèmes}

les

_plus

divers,

animés d’oscillations de rotation on de translation

_(~).

Pour une

_sphère

oscillant dans l’eau elles ont l’allure

_{représentée}

par la

figure

1. On les obtient en

_plaçant

en

suspension

dans le fluide de la

poudre

d’aluminium. Une lentille

_cylindrique

éclaire un

_plan

mince

_passant

_{par l’axe. Les}

_grains

d’aiumi-nium se

_détachent,

_brillants,

sur un fond noir et les

spectres

hydro

ou

_{aérodynamiques}

ainsi réalisés

_peuvent

être aisément

_{photographiés. Chaque}

_grain

donne sur le cliché un

_petit

_segment

dont la direction et la lon-gueur

indiquent

la direction et

_{l’amplitude}

de la vibra-tion au

_point

considéré.

On

_peut

ainsi aisément étudier non seulement la forme des

_lignes

mais encore la distribution des vitesses au sein du fluide.

4. Résumé des travaux

théoriques. -

a)

Fluides

parfaits.

--- Pour

un fluide

_parfait,

le coefficient k est

caractéristique

de la _{forme du corps, il} est

_indépendant

de ses

_dimensions,

de la

période,

de la nature du fluide.

Pour une

_sphère

la théorie donne :

_{k =0,~}

_{et pour} un

_{cylindre : k =1.}

b)

Fluides

_{visqueux. -}

Dans son célèbre mémoire de

1850,

Stokes a calculé la valeur de k _pour une

_sphère

et un

cylindre.

Pour une

_sphère

il trouve la valeur :

Yj,

viscosité;

p, densité du

fluide; l’,

période; R rayon

de la

_sphère.

Stokes _{compare les valeurs fournies par la théorie} avec celles tirées des

expériences

de

_Baily,

de

_Bessel,

de Du Buat. Il trouve un accord

_remarquable

et conclut que la théorie a été

ainsi,

sinon

_vérifiée,

du moins soumise à une

_épreuve

très sévère. Malheureusernent

l’accord,

en

_{particulier remarquable}

_{pour les} riences de,

_Baily,

tier2t à d une valeur éri-oîtée du

_coefficient

de viscosité

_dyrtamique

’f4 p.

Pour l’air Stokes admet la valeur :

soit

en

_prenant

_{pour unités le pouce}

_anglais

et la

seconde,

La valeur

_{correspondante}

en C. G. S. est :

Or en réalité on a à 01 :

(1) Tourbillons. T. Il par H. BouAssE Delagrave éditeur.

De

_même,

_pour

_l’eau,

Stokes _{pose :}

d’où

les unités étant

_toujours

le pouce

anglais

et la seconde. La valeur

_{correspondante}

en C. G. S. est :

A 20° on a :

En introduisant dans la

_formule

₍₁₎

les valeurs

cor-rectes de "’1 : _p, on observe un désaccord notable entre

les résultats de la théorie et ceux de

l’expérience.

Le

_problème

de la détermination de la masse entral-née ne

_peut

donc être considéré comme _{résolu par les} travaux ci-dessus résumés.

5.

Remarque

sur

_{l’homogénéité}

des formules. -La masse entraînée

_peut

_toujours

se mettre sous la

forme,

V est _{le volume du uorps} ou un volume fonction de ses

dimensions,

Kest un

nombre;

soit k sa _{valeur pour} un

fluide

_{parfait ;}

_{pour les fluides réels}

_plus

ou moins

visqueux

on doit avoir : k. Pour de tels fluides

on

_peut

_{donc poser,} °

à k est évidemment fonction de la viscosité

_dynamique,

de la

_période,

et _{par suite d’une dimension}

caractéris-tique

du corps

(du

rayon pour une

_sphère).

Posons donc:

Ona:

La

_{plus simple}

_{des solutions consiste donc à poser :}

m est un coefficient

_numérique

dont toute théorie doit fournir la valeur.

On

_pourrait

_{aussi poser}

La

_{proportionnalité}

de la masse entraînée à la

_période

est

_inséparable

de l’introduction _{du carré du rayon.}

6.

_{Technique. - Pour}

déterminer la masse entraînée

et les variations de cette _masse, on a le choix entre deux méthodes.

a)

Faire osciller successivement le même corps dans le fluide

_puis

dans le vide.

b)

Faire osciller successivement le même corps dans l’air

_puis

dans un fluide

_{beaucoup plus}

dense. Pour

les raisons suivantes

_j’ai

_adopté

la dernière méthode. L’eau est un fluide

_{quasi parfait,}

sa viscosité

dyna-mique

est très

faible,

elle est à 20° le 1 : 14 de celle de l’air. Les

_lignes

de

_vibration,

aux courtes

_périodes

sont

quasi

identiques

à celles que fournit la solution

clas-sique

de

_{l’hydrodynamique}

_pour un fluide

_parfait.

Il en

est de même de la distribution des vitesses autour du corps oscillant. On doit donc s’attendre à trouver

pour K

des valeurs tendant vers

_0,5

à mesure _{que la}

_période

décroît.

La viscosité du fluide étant

_faible,

la limitation du milieu

_perturbe

moins le

_{phénomène ;}

en

_pratique

le fluide

_peut

être considéré comme indéfini si les

_parois

qui

le limitent sont à une distance de la

_sphère

de l’ordre de dix fois le rayon.

La viscosité de l’eau varie selon une loi connue et

l’hystérésis

est faible ou

_{négligeable.}

La détermination de li

_exige

la connaissance des

périodes

d’oscillation dans le vide et dans le fluide.

Mais la

_période

dans le vide

_peut

_pratiquement

être confondue avec la

_période

dans l’air.

Des

_sphères

de laiton creuses ont été

_remplies

de

plomb

fondu ce

_qui

a eu _{pour effet de leur donner} une densité

_comprise

entre 8 et

10,

leur rayon a varié de

0,5

cm à 4 cm. J’ai aussi utilisé des

_sphères

d’ivoire et

des

_sphères

creuses de verre dont la densité était voi-sine de 1

_{(~,1 ~6).}

Chaque sphère

était

_portée

_par un fil fin en acier de

0,1

ou

_0,2

mm de

diamètre,

solidement coincé dans un très

_petit

trou

_percé

dans la

_sphère.

Le fil se détache

ainsi normalement de la surface du corps

qui

demeure lisse. Son extrémité

_supérieure

est

_prise

dans un

_petit

étau

_pouvant

coulisser le

_long

d’un madrier vertical

fixé au-dessus d’une

_grande

lessiveuse

_{tronc-conique}

mesurant 70 cm de diamètre à la

_{partie supérieure,}

60 cm à la

_partie

inférieure et 80 cm de hauteur.

J’ai eu soin de vérifier :

1°

_Que

_{l’élasticité du fil n’influe pas}

_{(pratiquement}

du

_moins)

sur les

_{phénomènes ;}

2°

_Que

la masse _{entraînée fournie par}

_{l’expérience}

est

_{indépendante}

de la

_longueur

de la

_partie

du fil

immergée,

sous _{la réserve bien entendu que le volume} de ce fil demeure

_négligeable

devant celui de la

_sphère.

Pour une

_longueur

donnée du fil de

_{suspension, je}

détermine la

_période

dans l’air au _{moyen d’un} chrono-mètre à

_poussoir.

On obtient ainsi sans difficulté la valeur de la

_période

à 1/1000, de seconde

_près.

J’abaisse ensuite l’étau de manière à

_immerger

la boule. Dans l’eaulesoscillations s’amortissent très vite. Il est

_impossible

d’en

_compter

_plus

d’une

centaine,

par-fois on

_peut

à

_peine

en

_compter

20.

_{J’ai essayé}

de réa-liser pour

chaque

cas un

_pendule

oscillant dans l’air en

_synchronisme

avec celui

_plongé

dans l’eau

_(méthode

de Du

_Buat).

La

_période

du

_{i e;,}

aisée à

déterminer,

don-nait celle du second. J’ai renoncé à cette

_technique

en raison de la

_longueur

des

_opérations

et

_{j’ai préféré}

multiplier

les

_{expériences.}

Les erreurs accidentelles finissent par s’annuler mutuellement et les

_points

377

précision

des courbes que l’on trace sans hésitation.

J’ajoute quel’inscription photographique

des oscilla-tions

_(à

_laquelle

_{il faut bien recourir pour les très} courtes

_périodes)

ne _{donne pas} une

_précision

supé-rieure à celle de

_{chronométrage}

des oscillations. 7. Influence de la

_{période. -}

La

_{figure 2}

repré-sente les résultats d’une centaine

_{d’expériences}

_pour

une

_sphère

de

_0,5

cm de rayon

_{(température}

~?0 à

_{21 °).}

Fig. 2.

J’ai

_porté

en abscisses les

_périodes

et en ordonnées les valeurs :

La courbe obtenue est un arc de

_{parabole d’équation}

La

_figure

montre

_{l’importance}

des erreurs acciden-telles et la nécessité de

_multiplier

les

_{expériences.}

Pour

la clarté du dessin

_j’ai

réduit le nombre des

_points

représentatifs.

On voit combien il

_importe

d’obtenir d’abord l’allure du

_phénomène.

A exécuter seulement

_quelques

expé-riences on

_rizque

d’énoncer les résultats les

_plus

faux. Les

_expériences

A, B, C,

donneraient une courbe tour-nant sa concavité vers le

haut,

tandis que les

expé-riences

_{B, D, E,}

donnent la relation Ak - a

_{+ b T.}

Pour une

_sphère

de

_2,7

cm de diamètre et avec le

dis-positif

que

j’avais

précédemment

utilisé

_(Tourbillons

par H. Bouasse -- Tome

II,

page

34), j’ai

déterminé la masse entraînée pour des valeurs de 11

_compri~es

entre

0,~

et 0,1 s; la

proportionnalité

de AA- à

V/]1

subsiste.

En admettant que cette

_{proportionnalité}

subsiste encore aux

_{fréquences acoustiques,}

on _{voit que}

l’abais-sement de

_fréquence

_peut-être

calculé en

_supposant

les fluides

_parfaits.

_Or,

en faisant vibrer dans l’air

_puis

dans l’cau un fil d’acier Laird trouve

_{pour k}

une valeur très voisine de

_1,

valeur

_prévue

_{pour le}

_cylindre

_par la théorie cles f luides

_parfaits.

8. Influence du rayon. - Les

valeursdekaugmen-tent

quand

le rayon H décroît.

Pour déterminer l’influence de ce dernier sur les variations de

k,

je

construis pour des

sphères

de rayons

compris

entre

_0,5

et 4 cm les courbes C

_{d’équation :}

-.

Chaque

courbe donne la valeur de III pour la

sphère

correspondante.

Les valeurs de rrc étant _connues,

_je

construis la courbe

C’,

fig.

3

Fig. 3.

Cette courbe est un arc

_{d’hyperbole,}

on le vérifie en

portant

en ordonnées les valeurs

_quasi

constantes des

produits

mR.

_{(droite (A».}

On a d’ailleurs le tableau :

La valeur moyenne des

produits

m R est

_0,i50

Les excès 3k varient donc en raison inverse du rayon de la

sphère

oscillante.

9. Influence de la viscosité. - On n’oubliera

pas

qu’il

s’agit

ici d’un

_liquide

dont la viscosité

dyna-mique

est très faible et il est

_probable

_{que pour des}

liquides

très

visqueux

les

_phénomènes

sont différents.

Avec une

_sphère

de

:3,4

cm de

_diamètre,

_j’ai

exécuté

quelques expériences

à des

_{températures comprises}

entre 18 et 60°.

A 18° et _{pour 1~ ==}

_i,4

s on obtient pour A la valeur

0,627,

d’où ~k =

0,127.

A 4(l~ et pour T =

1,4

s on a :

d’où

d’où

Or : A 18°

On

_peut

donc _{conclure que pour de faibles viscosités} les valeurs de àk sont

_{proportionnelles}

à la racine

carrée de la viscosité

_dynamique.

10.

_Comparaison

des résultats

_{expérimentaux}

avec ceux de la théorie de Stokes. - Les

expé-riences décrites conduisent à poser :

Elles donnent _{pour a la valeur}

d’où : s

La théorie de Stokes _{donne pour le} coefficient

numé-rique

du second terme la valeur : a ~

_1,269.

L’écart est nettement inférieur aux erreurs

_d’expé

rience ;

son sens est en accord avec les

_expériences

de Bessel. Ces dernières furent exécutées à une

tempé-rature voisine de 7°.

Pour une boule de

5,4

cm de diamètre Bessel donne les résultats

_suivants,

pour d’où

d’où

On tire de là :

Or à

_7°,

p -

_0,1~,

on obtient finalement _pour a la

valeur- *

a ~

1,~~,

Cette valeur est

_légèrement

_supérieure

à celle _que

_je

donne mois

11 La valeur

1,62

a été calculée en

_prenant

la moyenne de deux

_expériences

seulement. Elles

_peuvent

être erronées toutes deux dans le même sens. La 2e fournit

la valeur

_1,55

voisine de celle que

je

donne.

2° Les

_amplitudes

initiales étaient de ~° et le

_pendule

avait

_près

de 3 m

_{de long}

_{(2,8~) m).}

_{L’amplitude}

linéaire de la

_sphère

étaitde l’ordre de deux fois le rayon, c’est-à-dire

_trop

_grande

_{pour que le}

_régime

fut vibratoire. 30 Le bassin dans

_lequel

oscillait la boule _était pro-fond de W46 cm environ et la boule avait 5 cm de dia-mètre. En la

_supposant

_immergée

à

mi-hauteur,

le niveau

_supérieur

et le fond étaient seulement à 2

dia-mètres de la surface de la

_sphère.

La limitation du milieu

se faisait certainement sentir.

Pour ces diverses raisons lavaleur du

coefficientfour-nie par les

expériences

de Bessel est certainement

erronée par excès.

11. Influence de la limitation du milieu. -l’ Pour une

_sphère

de

_B,4

cm de

_diamètre,

oscillant dans un milieu

_pratiquement

indéfini on trouve _pour

l’

=2,85

s :

Dans un vase

_cylindrique

de 8 cm de diamètre et 10 cm de hauteur on a,

toujours

pour T ~

2,8 i s

Enfin dans un vase de 5 cm de

_diamètre,

8 cm de hauteur :

2° Pour une

_sphère

de 1 cm de diamètre _{et pour}

T ü 7 s environ on a :

dans un milieu

_pratiquement

indéfini :

dans une cuve

_{rectangulaire}

dans un coin de la cuve, à 5 cm des

_{parois :}

-.

Pour la même

_sphère

_{et pour l’} =

3,9

s on a dans

un milieu

_pratiquement

indéfini:

Dans le même

_milieu,

mais à 2 cm de la surface on a :

Comme on _{le voit par} ces

_exeinplos,

la limitation

379

1.2. Influence de

_{l’amplitude. -}

Pour une

période

donnée,

les valeurs de /v

_augmentent

légère-ment avec

_{l’amp1itude ;}

celle ci diminue

_rapidement

et

il est par suite

quasi

impossible

de déterminer avec

précision

la _{valeur de 7~ pour différentes}

ampli-tudes.

D’ailleurs

_{l’augmentation}

de Ii est loin d’être en

rapport

avec le

_{développement}

et l’intensité des

phé-nomènes

_{tourbillonnaires ;}

le fait

_s’explique

aisément.

Quand

pour une

_période

_donnée,

_{l’amplitude}

linéaire

_dépasse

une certaine

valeur,

un remous se forme en arrière de la

_sphère

et suit cette dernière.

Dès lors _{le volume du corps oscillant}

_comprend

non seulement celui de la

_sphère,

mais aussi celui du

fluide _{entraîné par elle. Du fait du}

_sillage

_entraîné,

l’énergie cinétique

que les oscillations de la

sphère

développent

dans le fluide

croît, à

k tend à

_{augmenter ;}

mais tout se _passe comme si les dimensions du _corps oscillant

_augmentaient

et de ce chef ak tend aussi à

diminuer.

De

_plus

l’inertie de l’eau effectivement

_[entraînée

ne

s’ajoute

qu’en

partie

à celle de la

_{sphère. Après}

_que cette dernière est

_passée

par la

position d’équilibre

avec sa vitesse maxima

_V,,,

le fluide

_qu’elle

entraîne et

_qui

_par suite a la vitesse

_Vo

_{passe à l’avant de la}

sphère

et se détache. L’amortissement est de ce chef considérablement

_augmenté;

_{il n’en est pas de même} de la masse entraînée.

On

_s’explique

_{ainsi que}

_{malgré l’intensité,}

voire la

violence,

des

_phénomènes

tourbillonnaires et des

cir-culations connexes, la masse entraînée

_soit,

aux

grandes

amplitudes,

à

_{peine supérieure}

à celle

qui

correspond

au

_régime

vibratoire.

13.

Liquides

très

_{visqueux. -}

J’ai

_essayé,

vaine-ment

_{d’ailleurs,}

de déterminer m par suite K pour des

liquides

très

_visqueux,

huile de

_graissage

et

glycé-rine. La limitation du milieu fausse alors toutes les

expériences, plus

exactement les résultats obtenus ne

peuvent

être

_{généralisés.}

Cette limitation est d’autant

plus

gênante

que l’on se trouve dans

_{l’obligation}

d’opérer

sur de

_{petites quantités}

de

_liquide

par suite dans des vases de faibles dimensions.

Etude de

l’amortissement.

1 Io

_{Etude théorique}

de

_{l’amortissement(Stokes).}

- 9 °

Dans son mémoire de 1850 Stokes étudie l’amor-tissement d’un

_pendule

sous l’effet de la viscosité du

fluide clans

_lequel

la

_sphère

oscillante est

_plongée.

Il

trouve _{pour la valeur du décrément}

_{l’expression :}

illest la masse de la

_sphère,

la masse

du

fluide

déplacé,

est la « masse entraînée »1

’

27t

T

Il/if!’ est le coefficient de

_{proportionnalité}

de la

T

.

résistance de frottement à la vitesse.

L’équation

des oscillations de la

_sphère

s’écrit .

d’où la valeur de 8.

_{L’expression (1)}

peut

s’écrire : s

p et à étant les densités

respectives

de la

sphère

et du fluide.

Les coefficients k et k’ ont

_d’après

Stokes les

valeurs :

d’où:

On obtient finalement :

a)

Si T

_4etR>

1

le terme R V 1t P : 14 Test

grand

devant 1 et le second terme de

_{l’expression}

entre crochets devient le facteur

_principal

de l’amor-tissement. On a donc pour ces cas :

b)

Pour de

_{longues périodes}

on a au contraire

Cctte dernière formule suppose le terme R T

négligeable

devant 1. Or _{pour l’eau à 20°} et _pour

_{R= 1 ,}

le terme considéré vaut t _{pour T= 31 4} s ;

0,7

pour 7’= 628 s et

0,5

pour 7’= 1256 s. Pour de telles

_périodes

les

_phénomènes

cessent d’être définis et les mesures deviennent

_quasi

_impossibles.

Si donc la théorie de Stokes était exacte, il serait

_pratiquement

_impossible

de réaliser des oscillations dans

_lesquelles

l’amortis-sement soit

_{proportionnel}

à la

_{période ;}

ce

_qui

revient

à dire

_qu’au

cours des oscillations la résistance ne serait en aucun cas

_{proportionnelle}

à la vitesse actuelle. Je montre

_plus

loin

_{qu’effectivement,}

même pour de

longues périodes,

l’amortissement n’est pas

praportionnel

à ces dernières

_(du

moins en

_régime

vibratoire).

Pour de courtes

_périodes

et des

_sphères

non très

.

oscille dans un fluide très

_{léger (gaz)}

ou si elle est très dense k p est

négligeable

devant A. En réintroduisant

la masse M de la

_sphère,

les formules 3 et 4

devien-nent :

-Au cours de mes

_{expériences,}

la

_période

n’a

_jamais

excédé 20 s. C’est donc aux valeurs _{fournies par les} formules 3 ou 3’ que nous devrons

_{comparer les}

valeurs

°

de a données par les

expériences.

~°

_Remarque

sur

_{l’homogénéité}

des formules.

-

L’homogénéité impose

la forme des formules

_qui

précèdent.

L’équation

des

_petites

oscillations d’une

sphère

dans un fluide

_visqueux

_peut

_toujours

s’écrire :

L’homogénéité

impose

pour

f

la forme : -.

a)

Pour les courtes

_périodes

il est naturel d’admettre

que

f

dépend

non seulement

_{de 11}

mais aussi de 7’ et

de _p. On a donc nécessairement :

d’où

_{pour a}

la forme :

Introduisons la densité

_apparente

de la

_{sphère :}

-.

d’où

~)

Si la

_période

est

_longue

et le

_régime

vibratoire

par suite non

_turbulent,

la résistance amortissante

peut

être considérée comme

_{proportionnelle}

à la vitesse actuelle et

_{indépendante}

de ses

variations,

on a

pour 0 l’expression :

ou : o o

Nous retrouvons

_ainsi,

au coefficient

_numérique

près,

les

formules 3 et 4. La théorie de Stokes donne

pour le coefficient la valeur commune 9 :

4,

soit

~,~~.

Nous Ulons montrer que celle fournie par

l’expérience

est notablement différente. Les considérations

_qui

pré-cèdent montrent

_qu’en

raison de deux

_régimes

possi-bles pour

l’amortissement,

il y a intérêt à étudier les cas extrêmes seuls bien définis. Nous étudierons

parti-culièrement l’amortissement aux courtes

_périodes

15. Etudes

_{expérimentale.}

_{Technique. -}

La

tech-nique

utilisée est des

_{plus simples.}

Ici encore il est

préférable

de

multiplier

les

_expériences

_plutôt

_que d’en exécuter un

_petit

nombre avec une

_{précision qui}

demeurera illusoire

_quelles

_{que soient les}

_précautions

prises.

En un

_pareil

_domaine,

si mal connu, on oublie

toujours

la

_{précaution capitale...}

Une

_{sphère S}

_{de rayon} R

_portée

_{par le fit fixé} en A oscille dans une cuve C selon x’.r. Elle est

_immergée

à une

_profondeur

lr de l’orclre de 10 R.

Je m’assure que pour une

_longueur

donnée du fil de

suspension,

par suite pour une valeur donnée de la

période,

l’amortissemeent est

_{pratiquement indépendant}

de la

_longueur

~a de fil

_immergée.

Le fil oscille devant une

_règle

J.1;J N

_disposée

horizon-talement à la surface de l’eau. _{Au moyen d’une lunette} on vise simultanément le fi1 et la

règle

et on note

les

amplitudes Ao,

A,,

~2 ...

Ar..

On construit la courbe

_C,

A

_{= f}

_(t)

en

_portant

en abscisses les

_périodes

successives et en ordonnées les

amplitudes

linéaires

_{correspondantes;}

la

_période

est

ainsi l’unité de

_temps.

Généralement la courbe obtenue est une

_{exponentielle.}

En

_portant

en ordonnées les

logarithmes

des

_amplitudes,

on obtient une droite à

(fig. 4)

dont la

_Ipente

donne la valeur du décrément.

4.

381

16. Influence de

l’amplitude

sur

l’amortisse-ment. - La

_{figure 4}

_reproduit

la courbe _{C pour} une

sphère

de 2 cm de diamètre et pour une

_périocle

_{de 2,1}

s. La courbe à tracée en

_pointillé

est celle des

_logarithmes

des

_amplitudes.

Au

_{point a}

la courbe à se relève et se

détache de la

_{partie rectiligne}

a h. Ce fait montre _que

pour de

grandes

amplitudes (supérieures

à l’amor-tissement n’est

_plus

constant,

la force amortissante n’est

_{plns proportionnelle}

à la vitesse. Pour la

_sphère

et la

_période

_{considérées,}

_{l’amplitude}

linéaire _.x~ au-dessus de

_laquelle

l’amortissement cesse d’être cons-tant est bien déterminé et

_égal

à _{la moitié du rayon} environ.

_{L’expérience}

montre que pour des

amplitudes

supérieures

à xA, la circulation

s’exagère,

des

tourbil-lons se forment à l’arrière de la

_sphère.

Pour une

_sphère

_donnée,

_{l’amplitude}

limite croit

quand

la

_période

_augmente.

Pour la

_sphère

considérée,

xA devient voisin de R pour l’ = 5 s. A

_période

cons-tante,

le

_rapport

_{xA : R décroît}

_légèrement

_quand

augmente.

La

_pente

de la droite A détermine le décré-ment. Pour la courbe de la

_figure,

on a :

~ = 0,10.

Influence de la

_période.

-- La courbe de la

figure 5

représente

les variations de a en fonction de

7’ pour

une

_sphère

de 2 cm de diamètre

(R =1).

Comme on

peut

le

voir,

les déterminations successives

de a

man-quent

de

_précision,

mais la courbe C

_peut

être tracée

sans difficultés.

Fig. 5.

En

_portant

en ordonnées les carrés des ordonnées

des différents

_points

de cette courbe on obtient la droite A. L’amortissement est donc bien

_{proportionnel}

à la racine carrée de la

_période.

Pour la

_sphère

étudiée,

on a :

La

_période

a varié de

_0,5

s à

_{5, 2}

s. La

_figure

ne

représente qu’une

partie

des

_{expériences.}

La courbe tracée sur la

_figure

est la

_plus

_simple

de celles

suggé-rées par la

disposition

des

_{points représentatifs.}

En

fait le terme amortisseur est vraisemblablement de la forme :

L’amortissement est en effet inversement propor-tionnel à l’inertie du

_système,

c’est-à-dire à l’inertie de la

_sphère

et de la masse entraînée. Or la masse entraînée est de la forme

_{0,5 +}

m En

_explicitant

la densité

_apparente

du

_système

on a d’ailleurs

Pour de courtes

_périodes

et _{des rayons} non très

petits,

m p

VT peut

être

négligeable

devant à

+

0,5

p.

C’est donc _{seulement pour des}

_sphères

dont la densité est

_grande

par

rapport

au _{fluide que le décrément}

_peut

être mis sous la forme

Bien que les conditions de

l’expérience

imposent

pour 8 la forme

(2),

les mesures ne _{sont pas}

suffisam-ment

_précises

_{pour que}

_puissent

être déterminés les

coefficients a, b,

c.

,

18. Influence de la viscosité. - De

quelques

expériences

exécutées à des

_{températures}

différentes

on

_peut

conclure que l’amortissement est

_{proportionnel}

à la racine carrée de la viscosité. D’ailleurs

l’amortis-sement étant

_{proportionnel}

à la racine carrée de la

période,

la

_{proportionnalité}

à la racine _{carrée du}

pro-duit de la viscosité _{par la} densité est

_imposée

_{par les}

conditions

_{d’homogénéité.}

Comparaison

des résultats

_{théoriques (Stokes)}

et

_{expérimentaux,}

Posons

Pour la

_sphère

ci=dessus considérée on a _{pour ?’‘ ~.}

b =

0,066.

(valeur

_{moyenne fournie par la}

courbe).

D’autre

_{part :}

d’où

Valeur notablement

_supérieure

à celle

_(2,23)

fournie

par la théorie de Stokes.

Influence du rayon. - Pour différentes

_sphères,

de

rayons

différents,

on construit la courbe

C, B

=

En

_explicitant

le rayon, la

densité,

la

_viscosité,

la masse

_entraînée,

on a la formule

₍₁₎

_{du §}

_précédent.

382

Ainsi aux courtes

_périodes,

l’amortissement est _{à peu}

près

inversement

_{proportionnel}

_{au rayon, toutes choses}

égales

ailleurs. La

_légère

diminution de Ii

_quand

le

rayon croit est en accord avec la formule

_{(1 ~.}

La valeur du terme

_Kp

diminue

_quand

R

croît,

mais si à est

grand

devant p

ses variations sont

_{quasi négligeables.}

Elles le sont aussi _{dès que} l~ devient

_supérieur

à

quel-ques centimètres. Pour les grosses

sphères 5

est donc

inversement

_{proportionnel}

à R.

19. Conclusions. - En ce

_qui

concerne la masse

en-traînée,

la théorie des fluides

_parfaits

fournit une valeur m

qui, indépendante

de la

_fréquence,

est

d’au-tant

_{plus approchée}

_{de la valeur m’ donnée par}

l’expé-rience _{que la}

_fréquence

est

_{plus grande.}

_{Dès que cette} dernière

_{dépasse quelques}

unités,

les valeurs de m’

diffèrent très _peu de celles de m.

Pour les

_longues

_périodes

la viscosité intervient.

L’écart relatif _{est pour} la

sphère

et

l’eau,

toujours

positif, proportionnel

à la racine carrée de la

_période

et inversement

_{proportionnel}

au _rayon de la

_sphère.

Sa valeur

_numérique

diffère notablement de celle

_prévue

_{par la théorie de Stokes. Mais} comme

les valeurs _{fournies par cette théorie} sont

_toujours

comprises

entre celles données _{par la théorie des}

fluides

_parfaits

et celles tirées de

_{l’expérience,}

elles

sont

_{toujours plus approchées}

_{que celles données par}

la théorie des fluides

_parfaits.

La théorie de Stokes donne

_également

_pour l’amor-tissement des valeurs

_numériques

notablement infé-rieures à celles fournies par

l’expérience.

On ne

_peut

donc considérer la théorie de Stokes

comme _{vérifiée par}

_{l’expérience.}

Je

_rappelle

d’ailleurs

que

d’après

Serville

₍₁₎

_{elle donnerait pour la}

résis-tance à l’avancement de

_sphères

dans l’air des valeurs notablement inférieures à _{celles fournies par}

l’expé-rience.

(1) Annales de la Faculté des Sciences de _{Toulouse, 1923,} 25.