TES 5 DS 7 26 mars 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif. Le manque de soin et de
clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Montrer quef est une fonction de densit´e (3 minutes)(2 points) Montrer quef d´efinie parf(x) = 2xest une loi de densit´e sur [0; 1]
Exercice 2 : Une probabilit´e particuli`ere (5 minutes) (5 points) Des ´etudes statistiques ont montr´e que la dur´ee d’un sourire chez un enfant de huit semaines, exprim´ee en secondes, est comprise dans l’intervalle [0; 23], de fa¸con al´eatoire.
1. Quelle est la loi suivie parX?
2. Calculer la probabilit´e qu’un enfant de huit semaines sourit pendant plus de 10 secondes.
3. Calculer la probabilit´e qu’un sourire dure entre 5 et 15 secondes.
4. Sachant qu’un enfant sourit depuis 12secondes, calculer la probabilit´e qu’il sourit encore pendant plus de 10 secondes.
Exercice 3 : Probl`eme (45 minutes) (13 points) La courbe C trac´ee ci-dessous dans un rep`ere orthonorm´e d’origine O est la repr´esentation graphique d’une fonctionf d´efinie et d´erivable sur l’intervalle ]0 ; 10].
Durée : 3 heures
!
Baccalauréat Terminale ES Polynésie
"4 septembre 2017
Exercice 1 5 points
Commun à tous les candidats
La courbeCtracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine O est la représentation gra- phique d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle ]0; 10].
−1
−2
−3 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D P
R
Q
C
x y
e
On considère les points P (1; 3) et R (4; 6). Le point Q a pour abscisse e, avec e≈2,718.
Les points P et Q appartiennent à la courbeC. La droiteDest parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente à la courbeCau point P et la droiteDest tangente à la courbe v au point Q.
On rappelle quef′désigne la fonction dérivée de la fonctionf. Les partiesAetBsont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, les résultats seront donnés à l’aide d’une lecture graphique et sans justification.
1. Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite (PR) ?
a. y=2x+1 b. y=x+2 c. y=2x+2
On consid`ere les points P (1 ; 3) et R (4 ; 6). Le point Q a pour abscisse e, avec e
≈2,718.
Les points P et Q appartiennent `a la courbeC. La droite D est parall`ele `a l’axe des abscisses et passe par le point Q.
La droite (PR) est tangente `a la courbeC au point P et la droiteDest tangente `a la courbe v au point Q.
Les partiesAet Bsont ind´ependantes.
Partie A
Dans cette partie, les r´esultats seront donn´es `a l’aide d’une lecture graphique et sans justification.
1. Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui d´esigne l’´equation de la droite (PR) ?
a. y= 2x+ 1 b. y=x+ 2 c. y= 2x+ 2 2. Donner les valeurs def(1) etf0(1).
3. Une seule de ces trois propositions est exacte : (a) f est convexe sur l’intervalle ]0 ; 10] ; (b) f est concave sur l’intervalle ]0 ; 10] ;
(c) f n’est ni convexe ni concave sur l’intervalle ]0 ; 10].
Laquelle ?
4. Encadrer l’int´egrale Z 2
1
f(x) dxpar deux entiers cons´ecutifs.
Partie B
La courbe C est la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinie sur l’intervalle ]0 ; 10] par :f(x) =−xlnx+ 2x+ 1.
1. (a) Calculerf0(x).
(b) D´emontrer que la fonctionf admet un maximum sur l’intervalle ]0 ; 10].
(c) Calculer la valeur exacte du maximum de la fonctionf sur ce mˆeme intervalle.
2. Montrer que la courbe C est enti`erement situ´ee en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0 ; 10].
3. On admet que la fonctionF d´efinie parF(x) =−x2
2 lnx+5
4x2+x−7 est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; 10].
Calculer la valeur exacte de Z 2
1
f(x) dx.
