Chapitre 7
Probabilités finies
C
e n’est qu’en essayant continuellement que l’on finit par réussir. Autrement dit : plus ça rate, plus on a de chances que ça marche.Devise des Shadoks
1 Univers et événements
On appelleexpérience aléatoire(ouépreuve) une expérience dont on connaît les résul- tats, appelésissues, possibles mais dont on ne peut pasa priori prédire lequel va arriver.
On appelleunivers l’ensemble de toutes les issues possibles. L’univers est souvent notéΩ.
Définition 1.
Exemple 1. ‚ On lance un dé à six faces (sous-entendu, les faces portent les numéros 1,2,3,4,5 et 6, et on considère que le résultat de l’expérience est le numéro qui apparaît sur la face du dessus). On peut choisir comme univers l’ensembleΩ =t1,2,3,4,5,6u(on aurait aussi pu choisir Ω =t1,2,3,4,5,6,42umême si 42 est un résultat qui n’a « aucune chance » d’être obtenu).
‚ On lance une pièce de monnaie. On peut choisir comme universΩ =tpile,faceu.
‚ On met en route une machine et on considère le nombre total de jours de fonctionnement de cette machine avant qu’elle ne tombe en panne. Un univers possible est iciΩ =N‹.
Pour toute la suite, on considère un universΩfini. On se donne également nPN‹.
On appelleévénementtoute partie de l’universΩ. À l’issue d’une expérience aléatoire, on dit que l’événementA est réalisé lorsque le résultat de l’expérience est un élément de la partieA.
Définition 2.
L’ensemble des événements est doncP(Ω).
Exemple 2. ‚ On lance un dé à 6 faces, et on associe à l’expérience l’univers Ω = J1,6K. On considère l’événementA=« on obtient un nombre pair ». On a ainsiA=t2,4,6u, qui est bien une partie deΩ.
‚ On lance simultanément deux dés à 6 faces distinguables (un rouge et un vert, par exemple). Le résultat de l’expérience est le couple (valeur lue sur le dé rouge, valeur lue sur le dé vert). Un univers possible pour cette expérience estJ1,6KˆJ1,6K=J1,6K2. On considère les événements A=« la somme des points obtenus vaut 7 » etB =« le plus petit des nombres obtenus est 3 ».
Les événementsAet B sont les parties suivantes deΩ:
A=t(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)uB=t(3,3); (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (6,3); (3,6)u.
La plupart du temps, l’universΩcorrespond à un tirage. Nous avons vu trois types de tirages dans le cours de dénombrement.
1. Tirage avec ordre et remise : les issues sont des listes.
2. Tirage avec ordre et sans remise : les issues sont des arrangements.
3. Tirage simultané (sans ordre ni remise) : les issues sont des combinaisons.
ß Ex. 171,172, 173, 174,175,176, 177, 178 Méthode 1. Décrire l’univers à l’aide du dénombrement
Exemple 3. Considérons une urne avec deux boules bleues que l’on noteb1,b2 et une boule rouge que l’on noter. On tire deux boules (on précise de quelle manière après). On noteB l’événement « on ne tire jamais la boule rouge ».
1. Cas où le tirage est avec ordre et remise. Alors Ω =tb1, b2, ru2et Card(Ω) = 32= 9:
Ω = t(b1, b1),(b1, b2),(b1, r),(b2, b1),(b2, b2),(b2, r), (r, b1),(r, b2),(r, r)u.
B est l’ensembletb1, b2u2 et Card(B) = 22= 4: B=t(b1, b1),(b1, b2),(b2, b1),(b2, b2)u.
b1
b1 b2
r
b2
b1 b2
r
r
b1 b2
r 2. Cas où le tirage est avec ordre et sans remise. Alors
Ω est l’ensemble des 2-arrangements de tb1, b2, ru, Card(Ω) =A23= 3ˆ2 = 6.
Ω =t(b1, b2),(b1, r),(b2, b1),(b2, r),(r, b1),(r, b2)u B est l’ensemble des 2-arrangements qui ne pré- sentent jamais la boule rouge :
B=t(b1, b2),(b2, b1)u.
b1
b2
r
b2
b1
r
r
b1 b2
3. Cas où le tirage est simultané (sans ordre ni remise). AlorsΩest l’ensemble des 3-combinaisons detb1, b2, ruet Card(Ω) =
(3 2 )
= 3.
Ω =ttb1, b2u,tb1, ru,tb2, ruu.
Best l’ensemble constitué des combinaisons qui ne contiennent pas la boule rouge (il y en a une unique ; Card(B) =
(2 2 )
= 1).
B=ttb1, b2uu.
Exercice d’application 1. On lance un dé à six faces, trois fois d’affilée. Les résultats de cette expérience peuvent être vus comme des3-listes avecΩ =J1,6K3.
1. Quel est le cardinal de l’universΩ?
2. Combien y a-t-il de résultats où on obtient le numéro 6 au deuxième lancer ? 3. Combien y a-t-il de résultats où la somme des numéros obtenus vaut 18 ? 4. Combien y a-t-il de résultats possibles où on obtient 6 une seule fois ? å
1. On a Card(Ω) = 63= 216.
2. NotonsAl’événement « on obtient6 au deuxième lancer ». Alors Card(A) = 6ˆ1ˆ6 = 36.
3. NotonsB l’événement « la somme des numéros vaut 18 » = « tous les dés tombent sur 6 ». Ainsi Card(B) = 1.
4. NotonsC l’événement « on obtient6une fois exactement ». Alors Card(C) =
(3 1 )
loomoon
position de 6
ˆ1ˆ5ˆ5 = 75.
L’événementΩest appelé l’événementcertain(il est toujours réalisé). L’évènement∅est appelé l’événementimpossible (il n’est jamais réalisé). SiΩ =tω1, . . . , ωnu, les singletons tω1u, . . . ,tωnusont appelés lesévénements élémentaires.
Définition 3.
Exemple 4. Lors d’un lancer de dé à 6 faces, l’événementA=« obtenir 6 » est l’événement élémen- taireA =t6u, l’événementB =« obtenir un nombre à la fois pair et strictement inférieur à 2 » est l’événement impossibleB =∅, et l’événement C=« obtenir un nombre pair ou un nombre impair » est l’événement certainC= Ω.
SoientAetB deux événements.
1. A=tωPΩ|ωRAuest l’événement contrairedeA.
2. AYB est l’événementA ou B.
3. AXB est l’événementA et B.
4. AzB =tωPA|ωRBuest l’événementA mais pasB.
Définition 4.
On repère une intersection à la présence (parfois implicite) des mots suivants : « et », « chaque »,
« chacun », « tous », « tout »,... dans la définition d’un événement.
On repère une réunion à la présence (parfois implicite) des mots ou expressions suivants : « ou »,
« au moins », « il existe »,... dans la définition d’un événement.
ß Ex. 167,174,175, 177, 178 Méthode 2. Reconnaître et écrire une intersection ou une union
Exemple 5. Dans le lancer de deux dés à 6 faces (avec Ω =J1,6K2), on considère à nouveau les événementsA=« la somme des nombres obtenus vaut 7 » et B=« le plus petit des nombres obtenu est 3 ».
‚ L’événementAYB est « la somme des nombres obtenue est 7 ou le plus petit des deux est 3 » AYB =t(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); (3,5); (5,3); (6,3); (3,6); (3,3)u
‚ L’événementAXB est « la somme des nombres obtenue est 7 et le plus petit des deux est 3 » AXB =t(3,4); (4,3)u
‚ L’événementAzB est « la somme des nombres obtenue est 7 mais le plus petit des deux n’est pas 3 »AXB=t(1,6); (2,5); (5,2); (6,1)u
Exercice d’application 2. Soitnun entier naturel non nul. Une épreuve consiste à lancern fois une pièce. Pour toutkPJ1, nK, on notePk l’événement « on obtient pile lors duk-ième lancer » etAn
l’événement « on n’obtient que des piles pendant lesnlancers ». ÉcrireAnen fonction des événements P1, . . . , Pn.
åIci il faut comprendre queAn est réalisé si et seulement sichacundesnlancers donne pile. D’où An=
n
č
k=1
Pk.
Exercice d’application 3. SoitnPN‹. Une épreuve consiste à extraire successivement nboules d’une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. Pour tout k P J1, nK, on note Bk
l’événement « on obtient une boule blanche lors duk-ième tirage » etAn l’événement « on obtient au moins une boule blanche lors desntirages effectués ». ÉcrireAn en fonction deB1, . . . , Bk.
åIci il faut comprendre que An est réalisé si et seulement si au moins undes nlancers donne une boule blanche. D’où
An=
n
ď
k=1
Bk.
SoientAetB deux événements.
‚ On dit queA impliqueB lorsqueAĂB.
‚ On dit queAetB sontincompatibleslorsqueAXB=∅. Deux événements incom- patibles sont deux événements qui ne peuvent pas être tous les deux réalisés à l’issue de l’expérience aléatoire.
Définition 5.
Exemple à connaître 1. Un événementAet son contraireAsont incompatibles.
Exemple 6. Dans le lancer de deux dés à 6 faces, les événements A =« la somme des nombres obtenus vaut 7 » etC=« les deux numéros obtenus sont pairs » sont incompatibles carAXC=∅.
Une réunion d’événements deux à deux incompatibles se repère au fait que l’on doit utiliser l’expression « soit ..., soit ...,..., soit ... ».
ß Ex. 174,175, 177, 178 Méthode 3. Reconnaître et écrire une réunion d’événements deux à deux incompatibles
Exercice d’application 4. SoitnPN‹. Une épreuve consiste à lancer nfois une pièce et on note An l’événement « le premier pile apparaît, au plus tard, au n-ième lancer ». Écrire An comme une réunion d’événements deux à deux incompatibles.
åPour toutkPN‹, notonsEk l’événement « le premier pile apparaît auk-ième lancer ». RéaliserAn, c’est obtenir le premier pile soit au premier lancer, soit au deuxième,..., soit aun-ième lancer, d’où
An =
n
ď
k=1
Ek
et cette réunion est formée d’événements deux à deux incompatibles (car il n’y a qu’une première fois).
Pour aller plus loin 1. Si deux événementsAetBsont incompatibles,AimpliqueB etB implique A.
B Ω
A B
SoientE1,E2, . . . , En des événements deΩ. On dit quetE1, E2, . . . , Enuest unsystème complet d’événements(SCE) lorsque les deux conditions suivantes sont réalisées :
1. les événementsEk (oùkPJ1, nK) sont deux à deux incompatibles :
@iPJ1, nK, @jPJ1, nK, (
i‰jùñEiXEj =∅) 2.
n
ď
k=1
Ek = Ω.
Définition 6.
Remarque 1. Si aucun des événementsEk n’est vide, la notion de système complet d’événements coïncide avec celle de partition deΩ.
Exemple à connaître 2. ‚ Un événement A et son contraire A forment un système complet d’événements.
‚ L’ensemble!
tω1u,tω2u, . . . ,tωnu
)des événements élémentaires de l’univers Ω =tω1, ω2, . . . , ωnuest aussi un système complet d’événements.
Pour montrer qu’une famille (E1, . . . , Em) forme un système complet d’événements, on peut montrer que tout résultat de l’expérience aléatoire se trouve dans un et un seul des événements E1, . . . , Em.
ß Ex. 168 Méthode 4. Démontrer qu’une famille forme un système complet d’événements
Exemple 7. Lançons deux dés à six faces. L’univers est Ω =J1,6K2.
‚ E1 : « la somme des deux dés est impaire ».
‚ E2 : « les deux dés sont pairs ».
‚ E3=t(1,1); (1,3); (3,1); (1,5); (5,1); (3,5); (5,3); (5,5)u.
On aE1=« un dé est pair, l’autre est impair »E3=« les deux dés sont impairs ». Ainsi, un événement quelconque se trouve soit dansE1, soit dans E2, soit dans E3. Donc (E1, E2, E3) forme un système complet d’événements.
Exercice d’application 5. On lance deux dés. Pour touti P J1,6K, notons Ai l’événement « le premier dé affichei». Les événementsA1, . . . , A6 forment-ils un système complet d’événements ? åA1, . . . , A6forment un système complet d’événement car une issue appartient à exactement l’un de ces ensembles (le premier dé affiche un et un seul numéro entre1et6).
2 Probabilités
Pour modéliser une expérience aléatoire, on associe à chaque évènement la « chance » qu’il se réalise.
2.1 Espaces probabilisés finis
SoitΩ un univers fini. L’ensemble de tous les événements est l’ensembleP(Ω). Le couple (Ω,P(Ω))est qualifié d’espace probabilisable fini.
Définition 7.
Soit(Ω,P(Ω)) un espace probabilisable fini. On appelle probabilité sur (Ω,P(Ω)) toute applicationP:P(Ω)ÝÑ[0 ; 1]qui vérifie
1. P(Ω) = 1;
2. pour tous événementsAet B incompatibles,P(AYB) =P(A) +P(B).
Pour tout événement A, le nombre P(A) est appelé la « probabilité de A». Le triplet (Ω,P(Ω),P)est qualifié d’espace probabilisé fini.
Définition 8.
Attention. Une probabilité est toujours comprise entre0 et 1! En particulier, si vous étudiez une suite(pn)nPNde probabilités et que vous trouvez lim
nÑ+8pn= +8, il faut revoir vos calculs . Exemple 8. On considère le lancer d’une pièce de monnaie qui donne pile avec une fréquencepP[0 ; 1]
et face avec une fréquence1´pP[0 ; 1]. Pour modéliser fidèlement l’expérience, on considère l’espace probabilisé (Ω,P(Ω),P) où Ω = tpile,faceu, P(Ω) = P(Ω) et P : P(Ω) ÝÑ [0 ; 1]
H ÞÝÑ 0 pile ÞÝÑ p face ÞÝÑ 1´p
Ω ÞÝÑ 1
. On vérifie
aisément quePest bien une probabilité.
Remarque 2. Dans l’exemple précédent, on a dû donner la probabilité de tous les événements de P(Ω). On verra plus loin qu’on peut définir correctement une probabilitéPsans être aussi exhaustif.
Attention. Dans un exercice de probabilité, on commence TOUJOURS par expliciter Ωet P (même si ça n’est pas explicitement demandé).
2.2 Exemple fondamental : la probabilité uniforme
Deux événements qui ont la même probabilité sont ditséquiprobables.
Définition 9.
Soit(Ω,P(Ω)) un espace probabilisable fini non vide. On appelleprobabilité uniforme surΩl’application
P: P(Ω) ÝÑ [0 ; 1]
A ÞÝÑ Card(A) Card(Ω)¨ Définition 10.
L’application définie ci-dessus est bien une probabilité sur(Ω,P(Ω)).
Proposition 1.
Démonstration. 1. Pour toutAPP(Ω),AĂΩdonc Card(A)ďCard(Ω). D’où 0ď Card(A)
Card(Ω) ď1.
DoncPest bien à valeurs dans[0 ; 1].
2. P(Ω) = Card(Ω) Card(Ω) = 1.
3. SoientAet B incompatibles. Alors Card(AYB) =Card(A) +Card(B). D’où P(AYB) =Card(AYB)
Card(Ω) =Card(A)
Card(Ω) +Card(B)
Card(Ω) =P(A) +P(B).
Remarque 3. La définition de la probabilité uniforme donne :
@ωPΩ, P(tωu) = 1 Card(Ω)
ce qui signifie que tous les événements élémentaires sont équiprobables. On verra plus loin que c’est la seule probabilité sur(Ω,P(Ω))qui a cette propriété.
On pourra retenir qu’en pratique, pour la probabilité uniforme :
@APP(Ω), P(A) = nombre de cas favorables pourA nombre de cas possibles ¨
On utilise cette probabilité lorsque toutes les issues de l’expérience on la même « chance » de se produire. Dans les énoncés, cela se traduit par « choix au hasard », « dé non truqué », pièce « équi-
Méthode 5. Calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité
librée ». Les calculs avec la probabilité uniforme font appel aux techniques de dénombrement.
ß Ex. 171,172, 173, 174,175,176, 177, 178 Exemple 9. On range au hasard lesntomes (ně1) d’une encyclopédie sur une étagère. On désire connaître la probabilité que les tomes1 et2soient côte à côte et dans cet ordre.
L’universΩest l’ensemble desn-arrangements desnlivres. D’après le cours de dénombrement, on sait que Card(Ω) =n!. On note Pla probabilité uniforme surΩ.
On noteA: « les tomes1 et2sont côtes à côte et dans cet ordre ». DénombronsA.
1. On an´1 choix possibles pour l’emplacement du tome1 (il ne peut être en dernière position, puisque le tome 2 doit être à sa suite).
2. On a un seul choix pour l’emplacement du tome2 : l’emplacement suivant le tome1.
3. Pour les(n´2)tomes restants, on peut les placer comme on veut dans lesn´2 emplacements restants, soit(n´2)!possibilités.
D’après le principe multiplicatif, on a au total(n´1)ˆ(n´2)! = (n´1)! possibilités. Finalement, P(A) =Card(A)
Card(Ω) = (n´1)!
n! = 1 n¨
Exercice d’application 6. On tire simultanément cinq cartes dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir les4 as ?
åL’univers Ωest l’ensemble des5-combinaisons de cartes. SiAdésigne « on a les4 as », on a Card(A) =
(4 4 )
loomoon
choix des 4 as
ˆ
(48 1
)
loomoon
choix de la carte restante
= 48,
d’où
P(A) =Card(A) Card(Ω) = 48
(52 5
)
Attention. La probabilité uniforme n’est pas la seule !! Dans toute la suite, on considérera une probabilité quelconque.
2.3 Propriétés
SoientAetB deux événements d’un espace probabilisé(Ω,P(Ω),P).
1. P(A) = 1´P(A).
2. P(∅) = 0.
3. P(BzA) =P(B)´P(AXB).
4. SiAĂB, alorsP(BzA) =P(B)´P(A).
5. SiAĂB, alorsP(A)ďP(B). On dit que la probabilité est une application croissante pour la relation d’inclusion surP(Ω).
Proposition 2.
Démonstration. 1. AYA= Ωest une union disjointe doncP(A) +P(A) =P(Ω) = 1.
D’oùP(A) = 1´P(A).
2. H= ΩetP(Ω) = 1, d’où le résultat d’après le premier point.
3. B= (BXA)Y(BzA)est une union disjointe.
4. C’est un cas particulier du cas précédent : siAĂB, alorsAXB=A.
5. P(BzA)ě0, doncP(B)ěP(A).
SoitAun événement. La relation P(A) = 1´P(A)est parfois appelée « passage à l’événement contraire ». Elle est utile lorsqu’on cherche la probabilité d’un événement qui est décrit par la locution « au moins un » ou « au plus un ».
ß Ex. 171, 175, 178 Méthode 6. Utiliser l’événement contraire
Exemple 10. Le jeu de carte Uno™ contient 108 cartes, dont 32 cartes « spéciales ». Lorsqu’on pioche une main de sept cartes au hasard, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une carte spéciale parmi les sept ?
NotonsC l’ensemble des 108 cartes. Alors l’univers est l’ensemble des 7-combinaisons deC, à savoir Ω =tAPP(C)|Card(A) = 7u. D’après le cours de dénombrement, Card(Ω) =
(108 7
) .
SoitA l’évènement « la main tirée contient au moins une carte spéciale ». Alors A est « la main ne contient aucune carte spéciale ».
En notantS ĂC l’ensemble des 76 cartes non-spéciale du paquet,Aest donc l’ensemble des parties deS à 7 éléments. On sait que son cardinal est
(76 7
) . Finalement, en notantPla probabilité uniforme,
P(A) = 1´P(A) = 1´Card(A) Card(Ω) = 1´
(76 7
) (107
7
) «0,92.
Exercice d’application 7. On lance deux dés à 6 faces discernables et non pipés. Déterminer la probabilité qu’un des deux au moins donne un chiffre pair.
åL’univers est Ω =J1,6K2. On a Card(Ω) = 62= 36. On noteP la probabilité uniforme surΩ.
On noteAl’évènement « Au moins un des deux dés donne un chiffre pair ». Ainsi,Aest l’évènement
« les deux dés donnent un chiffre impair » .
Chaque dé a 3 possibilités d’être impair, donc par le principe multiplicatif, Card(A) = 32 = 9. D’où P(A) =Card(A)
Card(Ω) = 9 36 =1
4. AinsiP(A) = 1´P(A) = 3 4.
SoientA1,A2, . . . , An des événements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P).
Si les événementsA1,A2, . . . , An sont deux à deux incompatibles, alors P
( n ď
k=1
Ak )
=
n
ÿ
k=1
P(Ak).
Proposition 3.
Démonstration.
Le résultat se démontre à l’aide d’une simple récurrence, en utilisant le fait que siA1,A2, . . . , An, An+1
sont deux à deux incompatibles(A1Y ¨ ¨ ¨ YAn)etAn+1 sont aussi incompatibles.
Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé. Si tE1, . . . , Enu est un système complet d’événe- ments, alors
n
ÿ
k=1
P(Ek) = 1.
En particulier, si Ω = tω1, . . . , ωnu, alors
n
ÿ
k=1
P(tωku) = 1. Autrement dit la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Corollaire 1.
Démonstration. 1. On utilise la proposition précédente, avecΩ =
n
ď
k=1
Ek.
2. On utilise le fait que les événements élémentaires forment un système complet.
SoientAetB deux événements d’un espace probabilisé(Ω,P(Ω),P). On a P(AYB) =P(A) +P(B)´P(AXB).
On peut généraliser à trois événementsA,B et C:
P(AYBYC) =P(A) +P(B) +P(C)´P(AXB)´P(AXC)´P(BXC) +P(AXBXC).
Proposition 4-Formule du crible (ou formule de Poincaré).
Démonstration.
BĂAYB, doncP((AYB)zB) =P(AYB)´P(B)d’après la Proposition2.
Or,(AYB)zB =AzB, d’oùP(AzB) =P(AYB)´P(B). Toujours d’après la Proposition2,P(AzB) = P(AYB)´P(B), donc :
P(A)´P(AXB) =P(AYB)´P(B).
Exercice d’application 8. Dans un village, 70% des habitants parlent français, 40% parlent allemands et20% parlent français et allemand. On choisit une personne au hasard parmi les habitants.
Quelle est la probabilité que cette personne ne parle ni français ni allemand ? Quelle est la probabilité que cette personne parle français mais pas allemand ?
åNotons F (resp.A) l’événement « la personne parle français (resp. allemand) ». On a,
P(FXA) = P(FYA) d’après la formule de Morgan
= 1´P(FYA) d’après la formule de l’événement contraire
= 1´(P(F) +P(A)´P(FXA)) d’après la formule de Poincaré
= 1´(0,4 + 0,7´0,2)
= 0,1.
Autrement dit, il y a10% d’habitants qui ne parlent ni français, ni allemand.
2.4 Construction de probabilités sur un univers fini
SoientΩ =tω1, . . . , ωnuun univers fini et p1, . . . , pn des nombres réels.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe une probabilitéPsur(Ω,P(Ω))telle que, pour toutkPJ1, nK,P(tωku) =pk; (ii) pour tout kPJ1, nK,pkě0 et
n
ÿ
k=1
pk= 1.
Le cas échéant, la probabilitéPest unique et on a :
@APP(Ω), P(A) = ÿ
ωPA
P(tωu) = ÿ
kPJ1,nK ωkPA
P(tωku) = ÿ
kPJ1,nK ωkPA
pk. Proposition 5.
Démonstration. ‚ (i)ùñ(ii). Si une telle probabilité existe, alors lespk sont positifs ou nuls puisque ce sont des probabilités d’événements, et d’après le Corollaire1,
n
ÿ
k=1
pk=
n
ÿ
k=1
P(tωku) = 1.
‚ (ii)ùñ(i). Supposons les deux points de la condition vérifiés. On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse : Supposons qu’on ait trouvé une telle probabilité P. Soit A un événement. On peut écrireAcomme réunion d’événements élémentaires qui sont deux à deux incompatibles :
A= ď
kPJ1,nK ωkPA
tωku.
PuisquePest une probabilité, on a alors P(A) = ÿ
kPJ1,nK ωkPA
P(tωku) = ÿ
kPJ1,nK ωkPA
pk
donc pour tout événement APP(Ω), Pest définie de manière unique à partir des nombres pk
et donc un tel candidat-probabilitéPest unique.
Synthèse : On définit pour toutAPP(Ω)le nombreP(A)parP(A) = ÿ
kPJ1,nK ωkPA
pk.
Puisque pour toutAPP(Ω),0ď ÿ
kPJ1,nK ωkPA
pk
loomoon
ě0
ď
n
ÿ
k=1
pk = 1, l’applicationP: P(Ω) ÝÑ [0 ; 1]
A ÞÝÑ ÿ
kPJ1,nK ωkPA
pk
est correctement définie (l’ensemble d’arrivée est effectivement[0 ; 1]). Il reste à vérifier qu’elle répond bien aux exigences et que c’est bien une probabilité.
Tout d’abord, pour tout iPJ1, nK, on a bienP(tωiu) = ÿ
kPJ1,nK ωkPtωiu
pk =pi.
Ensuite,P(Ω) = ÿ
kPJ1,nK ωkPΩ
pk=
n
ÿ
k=1
pk= 1.
Enfin, pour tous événementsAet B incompatibles, on a P(AYB) = ÿ
kPJ1,nK ωkPAYB
pk
et puisqueAXB=∅, les ensemblestkPJ1, nK|ωkPAuettkPJ1, nK|ωk PBusont disjoints, donc
P(AYB) = ÿ
kPJ1,nK
pk+ ÿ
kPJ1,nK
pk =P(A) +P(B).
Finalement,Pest bien une probabilité sur(Ω,P(Ω)).
Pour définir complètement une probabilité, il suffit de définir la probabilité de chacun des événements élémentaires.
Corollaire 2.
Exemple 11. SoitΩ =tω1, ω2, . . . , ωnu. L’unique probabilité telle que@kPJ1, nK, P(tωku) = 1 n est la probabilité uniforme sur(Ω,P(Ω)).
Exercice d’application 9. On considèreΩ =J1, nK. Montrer qu’on peut définir une probabilitéP sur(Ω,P(Ω)), en posant, pour toutkPΩ,P(tku) = 6k2
n(n+ 1)(2n+ 1). åPour toutkPJ1, nK, 4k3
n2(n+ 1)2 ě0. De plus,
n
ÿ
k=1
4k3
n2(n+ 1)2 = 4 n2(n+ 1)2
n
ÿ
k=1
k3
= 4
n2(n+ 1)2ˆn2(n+ 1)2 4
= 1
Donc, par la Proposition5, on peut définirPtelle que proposée dans l’énoncé.
3 Exercices
Exercice 167. SoitA,B,Ctrois événements. Donner une expression mathématique des événements suivants :
1. D=« aucun des événements A,B,C n’est réalisé » ; 2. E=« au moins un des événementsA,B,C est réalisé » ; 3. F =« exactement un des événementsA, B,C est réalisé » ; 4. G=« au plus un des événements A,B,C est réalisé ».
Exercice 168. On tire simultanément cinq cartes d’un paquet de 32 cartes (8 valeurs : as, roi, dame, valet, dix, neuf, huit, sept ; 4 couleurs : trèfle, carreau, cœur, pique).
1. Pour tout entier i P J1,5K, on note Ai l’événement « on a tiré exactement i as ». La famille (A1, A2, . . . , A5)est-elle un système complet d’événements ?
2. Notons
‚ ♣: « on a tiré au moins un trèfle » ;
‚ ♢: « on a tiré au moins un carreau » ;
‚ ♠: « on a tiré au moins un pique » ;
‚ ♡: « on a tiré au moins un cœur ».
Les événements♣,♢, ♠,♡forment-ils un système complet d’événements ?
Exercice 169 . On considère un dé truqué à six faces. Les probabilités d’apparition des faces paires sont égales, de même pour les faces impaires. La probabilité d’obtenir une face paire est deux fois celle d’obtenir une face impaire. Quelle est la probabilité d’obtenir une face inférieure à3?
Exercice 170 . Soitnun entier strictement positif. Une boîte contient2nboules numérotées de1 à 2n. On tire une boule de la boîte.
On considère une fonctionf à valeurs réelles définie sur l’ensembleP(Ω)des événements de ce tirage, vérifiant
f(« on tire la boule numérotée park») =λˆ3k pour tout entierkPJ1,2nK, et pour un certain réelλPRinconnu.
1. Calculer l’unique valeur possible deλpour quef soit une probabilité surP(Ω).
2. Calculer alors la probabilité que le numéro de la boule tirée soit pair.
Exercice 171 . Cinquante pièces arrivent dans une usine, dont quatre sont défectueuses. Le contrôle qualité de l’usine teste au hasard dix pièces, et renvoie le lot s’il trouve une pièce défectueuse. Quelle est la probabilité que la livraison passe le contrôle qualité ?
Exercice 172 . On parie au hasard sur une course de dix chevaux. Quelles sont les probabilités de gagner :
1. au tiercé dans le désordre ? (on précisera l’univers utilisé) ; 2. au tiercé dans l’ordre ?
Exercice 173. Le code d’une carte bancaire est une suite ordonnée de quatre chiffres pris au hasard dans l’ensembleJ0,9K. Calculer la probabilité qu’un code :
1. soit formé de chiffres distincts ;
2. soit formé d’une suite strictement croissante ; 3. comporte trois fois exactement le même chiffre ; 4. ne comporte que des chiffre impairs.
Exercice 174 . Un sac de bonbons contient 10 bonbons rouges, 15 bonbons oranges et 20 bonbons jaunes. Un enfant plonge la main dans le sac et en ressort quatre bonbons. Avec quelle probabilité obtient-il
(a) quatre bonbons de la même couleur ? (b) un bonbon au moins de chaque couleur ?
(c) le même nombre de bonbons rouges et de bonbons jaunes ?
Exercice 175. On range aléatoirement cinq boules numérotées de1à5dans quatre boîtes numérotées de1 à4.
1. Quel est le nombre de rangements différents possibles ?
2. Quelle est la probabilité que toutes les boules soient rangées dans la même boîte ? 3. Quelle est la probabilité que deux boîtes exactement soient vides ?
4. Même question avec une boîte vide.
5. En déduire la probabilité qu’aucune boîte ne soit vide.
Exercice 176. On lance trois dés cubiques non pipés. Calculer la probabilité d’obtenir : 1. trois chiffres tous distincts ;
2. exactement deux chiffres distincts.
Exercice 177 . On tire quatre cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité d’obtenir :
1. un carré ; 2. au moins un as ;
3. une suite de quatre cartes consécutives, non nécessairement de la même couleur ; 4. deux cartes rouges et deux cartes noires ;
5. exactement une dame et deux piques.
Exercice 178. Une urne contient une boule blanche, une boule verte et une boule rouge, toutes trois indiscernables au toucher. Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3. On tire successivement et avec remisenboules de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir :
1. la première et la dernière boule de la même couleur ; 2. un tirage bicolore ;
3. au moins une boule de chaque couleur.
