Chapitre n°8 : Probabilité

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Chapitre n°8: Probabilité

Objectifs.

O15. Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart- type.

i. Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire. [À l'aide de simulations et d'une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne et la variance d'une série de données]

ii. Interpréter l'espérance comme valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de répétitions.[On exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d'un logiciel pour déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire]

[Démonstration : On démontre les formules suivantes sur l'espérance et la variance : E(aX+b)=aE(X)+b et V(aX)=a²V(X)]

Durée approximative : 9 cours.

Activités d'approche n°0 (à faire si un apprentissage des formules dans un tableur est nécessaire)

A.

Simulation de 10 lancers d'une pièce de monnaie

Le résultat d’un lancer d’une pièce de monnaie est Pile (P) ou Face (F). Dans un premier temps, ils seront représentés par 1 ou 0.

1. Présentez une feuille de calcul comme sur la feuille ci-contre. Recopiez la ligne 1 de titres.

2. Dans la cellule A2, entrez le nombre 1, puis dans A3 rentrez 2, etc. jusqu'à A12 et 11.

3. La fonction ALEA() permet d’obtenir un nombre aléatoire dans l’intervalle [0 ;1[. De plus, la fonction ENT() donne la partie entière d’un nombre ( par exemple : ENT( 54,5) = 54 )

Entrez dans la cellule B2 la formule :

=ENT(ALEA()*2) . Pour obtenir d’autres valeurs,

tapez F9. On remarque que cette fonction donne bien soit 0 soit 1.

Remarque : On peut aussi utiliser la fonction ALEA.ENTRE.BORNES(min;max) qui donne un nombre entier au hasard entre les valeurs minimum et maximum indiquées (celles-ci comprises).

4. On veut faire apparaître P ou F au lieu de 1 ou 0. On va utiliser la fonction 1/25

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SI(test logique ; valeur si le test est vrai ; valeur si le test est faux) : entrez dans la cellule C2 la formule : =SI(B2=1 ; « P » ; « F »).

B. Simulation de 100 lancers d'une pièce de monnaie.

1. Présentez une nouvelle feuille de calcul comme sur la feuille ci-contre.

2. Recopiez les lignes de titres : ligne 2 et 4.

3. Faites apparaître le numéro de lancer 1 dans A5. Dans la cellule B5, entrez la formule

permettant de simuler le lancer d’une pièce de monnaie (on combinera les deux fonctions

ALEA.ENTRE.BORNES et SI). En A6, tapez =A5+1. En B6, recopiez la formule de B5 (Ctrl C sur B5, sélection de B6, Ctrl V). Recopiez ces deux formules (A6 et B6) de A7 à B104.

4. La fonction NB.SI permet de compter dans une plage de données une valeur choisie. Dans la cellule E5, rentrez le formule suivante :

=NB.SI($B$5:$B$104;“F“). « $B$5:$B$104 » est la plage de données.

Complétez la cellule E6.

5. Complétez la page 3, questions 1,2 et 3.

6. Adapter la feuille de calcul pour simuler 1000 puis 5000 lancers.

C.

Simuler le lancer d’un dé à 6 faces.

Préambule : Entrez dans une cellule la formule : ENT(ALEA()*6)+1 . Pour obtenir une autre valeur, taper F9. Cette formule permet d’obtenir un nombre entier compris entre 1 et 6 (compris).

1. Présentez une feuille de calcul comme sur la feuille ci- contre. Recopiez les lignes de titres : ligne 2 et 4.

TRAVAIL A RENDRE :

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Nom

:... Prénom : …...

Simulation de 100 lancers d'une pièce de monnaie.

1. Quelle formule a-t-il fallu entrer dans la cellule B5 ?

…...

2. Quelle formule a-t-il fallu entrer dans la cellule E6 ?

…...

Que représente ce nombre ? ...

Quelle formule faut-il entrer dans la cellule E8 pour obtenir le nombre total de lancers à partir du deuxième tableau ?

…...

3. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule F5 pour obtenir la fréquence d’apparition du F ?

…...

Quelle formule faut-il entrer dans la cellule F8 pour vérifier que la somme des fréquences est égale à 1 ?

…...

4. Quelles sont les fréquences théoriques d’obtenir Face, Pile ?

…...

Simuler le lancer d’un dé à 6 faces

5. Que représente le nombre dans la cellule F5 ? Quelle formule faut-il entrer ?

…...

6. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule F12 pour obtenir le nombre total de lancers à partir du deuxième tableau ?

…...

7. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule G5 pour obtenir la fréquence d’apparition du 1 ?...

Quelle formule faut-il entrer dans la cellule G12 pour vérifier que la somme des fréquences est égale à 1 ?

…...

8. Quelles sont les fréquences théoriques d’obtenir 1, puis 2, … ?

…...

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Simuler le lancer de deux dés à 6 faces

9. Quelles sont les valeurs que peut prendre la somme obtenue lors du lancer de deux dés ?

…...

...

10. Quelles sont les fréquences théoriques d’obtenir 2, puis 3, … ?

…...

...

(5)

C.

Simuler le lancer d’un dé à 6 faces, suite

2. Faites apparaître les numéros de lancers.

Dans la cellule C5, entrez la formule permettant de simuler le lancer d’un dé, puis étendre la formule vers le bas pour obtenir 100 lancers.

3. Complétez la feuille page 3, questions 5,6 et 7.

4. Changez les formules de la feuille de calcul pour obtenir le même résultat pour 1000 lancers.

5. A l’aide de l’assistant graphique, après avoir sélectionné la plage de données de F5 à F10, choisissez le type de graphique « histogramme » et construisez l’histogramme. Avec la touche F9, réactualisez les valeurs et observez les résultats.

6. Complétez la feuille page 3, question 8.

7. On se propose maintenant de simuler le lancer de deux dés à 6 faces ( un dé rouge et un dé bleu) et de noter la somme obtenue.

8. Quelle(s) formule(s) faut-il utiliser pour effectuer cette simulation ?

9. Etablissez une feuille de calcul permettant de simuler 1000 lancers de deux dés, de calculer l’effectif et la fréquence d’apparition de chaque valeur

possible de la somme et de tracer un graphique. Relevez les résultats obtenus.

A l’aide de l’assistant graphique, après avoir sélectionné la plage de données de F5 à F10, choisissez le type de graphique « histogramme » et construisez l’histogramme.

11. Après avoir calculé sur les 1000 lancers, le nombre de fois où l’on obtient 2, puis 3, … . ,calculez les fréquences.

Activité d'approche n°1

On lance simultanément deux pièces de monnaie différentes et bien équilibrées.

1. Montrez que cette expérience aléatoire comporte quatre issues.

2. La sortie d’un côté « pile » sur une pièce fait gagner 2 €, celle d’un côté

« face » fait perdre 1 €.

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a. Déterminez le gain correspondant à chaque issue.

b. Le tableau ci-contre décrit une simulation de 10 lancers avec le calcul du gain correspondant à chaque lancer. Un gain positif correspond à une somme gagnée, un gain négatif à une somme

perdue. A l’aide d’un tableur, simulez 100 lancers de ces deux pièces et faites afficher le gain obtenu pour chaque lancer. Adaptez votre feuille de calcul pour 1000 lancers. Appuyez sur la touche F9 pour obtenir d’autres simulations de 1000 lancers.

c. Quand on associe un gain à chaque issue, on dit que l ’on a défini une

« variable aléatoire » égale au « gain algébrique » du joueur. Faites apparaître les fréquences de chaque valeur possible du gain sur les 1000 lancers.

d. Calculez les probabilités d’obtenir chacun des gains algébriques possibles sur un lancer de deux pièces.

Activité d'approche n°2

Un jeu consiste à lancer 100 fois un dé à 6 faces parfaitement équilibré. Si on obtient 1, 2, 3, 4 ou 5, on marque 1 point ; si on obtient 6, on perd 5 points.

1. A l’aide d’un tableur, simulez le lancer d’un dé à 6 faces dans la colonne A.

2. Dans la colonne B, entrez une formule permettant d’obtenir les points (positifs ou négatifs) correspondant à chaque lancer.

3. Faites apparaître le score moyen pour 100 lancers. Adaptez votre feuille de calcul pour 1000 lancers. Appuyez sur la touche F9 pour obtenir d’autres simulations de 1000 lancers.

4. Faites apparaître la fréquence des gains de 1 point et la fréquence des pertes de 5 points sur les 1000 lancers. Comment, à partir de ces fréquences, obtient-on le score moyen pour 1000 lancers ?

5. Calculez la probabilité p1 de gagner 1 point sur un lancer et la probabilité p2

de perdre 5 points sur un lancer. Calculer le réel E = 1× p1 + (-5)×p₂ . Ce nombre

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est appelé espérance mathématique du score lié à ce jeu. Dans le cas étudié ici, on dit que le jeu est équitable, c’est-à-dire ni favorable ni défavorable au joueur. Expliquez pourquoi.

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Cours n°1

Chapitre n°8: Probabilité

I) Variable aléatoire discrète

Définition n°1 : variable aléatoire discrète

Soit  l'ensemble des événement possibles d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète sur  est une fonction X qui, à tout élément de

 fait correspondre un nombre réel.

Exemple n°1 :

Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9.

 est alors : …...

Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante : Il prélève au hasard un jeton de l’urne ;

- Si le numéro est pair, il gagne 1€ ;

- S’il prélève le jeton n°1 ou le jeton n°9, il gagne 10 € ; - Dans tous les autres cas, il perd 3€.

On peut définir une variable aléatoire X sur  égale « au gain algébrique » (positif ou négatif) du joueur.

Déterminer les valeurs possibles prises par X :

…...

Définition n°2 : Notation ( X = x i)

Si X est une variable aléatoire dont les images des évènements de l'univers  sont x1, x2, … … ,xk , on note (X = xi) l'ensemble des évènements de l'univers  qui ont pour image xi par X. Autrement dit, c'est l'ensemble de tous les antécédents de xi par X.

Exemple n°2 :

Dans l'exemple n°1, (X = 10) est l'évènement {...}.

(X = 1) est l'évènement {...}.

(X = –3) est l'évènement {...}.

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Exercice n°1 Ex.3 p.276 Exercice n°2

Ex.13 p.277 Exercice n°3

Ex.14 p.277

Cours n°2 II) Loi de probabilité

Définition n°3 : loi de probabilité

Soit  l'ensemble des événement possibles d'une expérience aléatoire et X une variable aléatoire sur , prenant les valeurs x1, x2, … … ,xk.

On note P(X = x_i) la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x_i. Définir une loi de probabilité de X, c'est donner la valeur de la probabilité de chaque (X = x_i), i prenant toutes les valeurs entières possibles entre 1 et k.

Exemple n°3 :

Calculez les probabilités :

P(X = 10) = ….... P(X = 1) = ….... P(X = –3) = …....

Résumez la loi de probabilité sous la forme d'un tableau :

xi ….... ….... …....

P(X = x_i) ….... ….... …....

Exemple n°4 :

Un joueur lance un dé équilibré, deux fois de suite. Si, lors du deuxième lancer, il obtient un numéro double du numéro obtenu au premier lancer, il marque deux points ; s’il obtient le même numéro, il ne marque aucun point ; s’il obtient un numéro inférieur, il perd un point et, dans les autres cas, il marque un point.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque issue de l’expérience aléatoire, associe le nombre de points gagnés ou perdus.

Définir la loi de probabilité de X.

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x_i ….... ….... ….... …....

P(X = xi) ….... ….... ….... …....

Calculs éventuels :

…...

...

Exercice n°4 Ex.4 p.276 Exercice n°5

Ex.37 p,279

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Cours n°3

III) Espérance mathématique, variance et écart-type

Définition n°4 : Espérance mathématique

On note P(X = x_i) la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x_i. Alors l'espérance mathématique E(X ) est la somme de tous les produits x_i×P(X = x_i) :

E(X ) = x₁×P(X = x₁) + x2×P(X = x₂) + x3×P(X = x₃) + … + xk×P(X = x_k) Exemple n°5 :

Calculez l'espérance mathématiques de l'exemple n°3 :

…...

...

Exemple n°6 :

Calculez l'espérance mathématiques de l'exemple n°4 :

…...

...

Définition n°5 : variance et écart-type:

On note P(X = xi) la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur xi. Soit E(X ) l'espérance mathématique de cette variable aléatoire.

Alors la variance est définie par :

V(X ) = (x1 – E(X ))²×P(X = x1) + (x2 –E(X ))²×P(X = x2) + … + (xk –E(X ))²×P(X = xk) L'écart-type est alors défini par :

(X )= √^V⁽^X⁾

Exemple n°6 :

Calculez la variance et l'écart-type de l'exemple n°3 :

…...

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...

…...

...

Exemple n°7 :

Calculez la variance et l'écart-type de l'exemple n°4 :

…...

...

…...

...

Exercice n°10 Ex.44 p.280 Exercice n°11*

Ex.41 p,280 Exercice n°12*

Ex.45 p.280

Activités d'approche n°3

Un jeu consiste à lancer un dé à 6 faces parfaitement équilibré. Si on obtient 1, 2, ou 3, on perd 1 centime d'euro; si on obtient 4 ou 5, on gagne 2 centimes d'euro, et si on obtient 6, on gagne 3 centimes d'euro.

1. Calculez l'espérance de cette variable aléatoire.

2. Pour permettre une distribution des gains et des pertes plus pratiques, on décide de multiplier les gains et les pertes par 50 : -50 centimes d'euros pour 1,2 ou 3 ; 100 c€ pour 4 ou 5 ; 150 c€ pour 6. Que se passe-t-il alors pour l'espérance ? Avait-on finalement besoin de refaire tous les calculs ?

3. Pour équilibrer le jeu, on décide d'enlever 25 c€ à tous les gains et pertes : -75 c€ pour 1,2 ou 3 ; 75c€ pour 4 ou 5 ; 125c€ pour 6. Que se passe-t-il alors pour l'espérance ? Avait-on finalement besoin de refaire tous les calculs ? A- t-on équilibrer le jeu ?

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Cours n°4

Propriété n°1 :

On note P(X = x_i) la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x_i. Soit E(X ) l'espérance mathématique de cette variable aléatoire.

Soit Y la variable aléatoire sur , qui prend les valeurs ax1+b, ax2+b, …

… ,axk+b.

Alors E(Y ) = aE(X ) + b Démonstration :

…...

...

Propriété n°2 :

On note P(X = xi) la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur xi. Soit E(X ) l'espérance mathématique de cette variable aléatoire.

Soit Y la variable aléatoire sur , qui prend les valeurs ax1, ax2, … … ,axk. Alors V(Y ) = a²V(X )

Démonstration :

…...

...

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Exercice n°13*

Ex.51 p.281 Exercice n°14*

Ex.52 p.281 Exercice n°15*

Ex.55 p.281 Exercice n°16**

Une urne A contient trois boules : 1 rouge, 1 bleue et 1 noire.

Une urne B contient trois boules : 1 rouge et 2 noires.

Une urne C contient trois boules : 2 bleues et 1 noire.

On tire une boule, au hasard, de chaque urne. On suppose que dans chaque urne, les tirages sont équiprobables.

1) a- Quelle est la probabilité de n’obtenir aucune boule noire ? b- Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 1 boule noire ? c- Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 boules noires ? d- Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules noires ?

2) Si on tire exactement 1 boule noire, on perd 1point. Si on tire 0 ou 2 boules noires, on gagne 0 point. Si on tire 3 boules noires, on gagne 3 points.

Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout tirage associe le gain réalisé. La règle du jeu est-elle favorable au joueur ?

Exercice n°17***

Dans un jeu de 16 cartes, 8 cœurs et 8 piques, on tire successivement sans remise deux cartes. Pour chaque figure (valet, dame et roi), on gagne 3 points.

Pour les autres cartes, on gagne 1 point par cœur et on perd 1 point par pique.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de points gagnés.

Déterminer la loi de probabilité de X.

Exercice n°18***

Ex.80 p.286

(21)

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.0 : Indices : B. F:1/2... C. 8. 1:1/..., 14. 2 : 1/36, 3:1/18,...

Act.1 : Indices : 1. FF,FP,... 2. P(« un pile sort »)=3/4...

Act.2 : Indices : 4. fréquence de gain de 1 pt : 5/6.. 5. E=0.

Ex.1 : P(X=1)=5

6 ; P(X=2)=1 6

Ex.2 : ={(J2, J2),(J2, J3),(J3, J2),(J3, J3)} X prend les valeurs 4,6 ou 9.

Ex.3 : 1. X prend les valeurs 1,2 ou 3. 2. tirer le carton « Hasard » ou le carton « Monde ». 3. nombre de consonnes, nombre de lettres, …

Ex.4 : 1. 0,2 2. P(X4)=0,8 Ex.5 :

Ex.6 :

Ex.7 :

Ex.8 : 1. a=0,05 2.a. P(X>3)=0,45 b. P(X5)=0,15 Ex.9 : 1. P(X=2)=0,31 2. P(X2)=0,51

Ex.10 : 1.P(X=1)= 1

4 , P(X=0)= 3

4 2. V(X)= 11 16

Ex.11 : 1. -5,0,65 et 615 2. 3. E(X)=-2 4. (X) ≈^29,2

Ex.12 : 1. 2. a=2

Act.3 : 1. E(X)= 2

3 2. 100

3 3. Non Ex.13 : E(Y)=140

Ex.14 : E(R)=50 000, V(R)=400 000 000.

Ex.15 : E(Y)=60 000 Ex.16 : 1.a. 4

27 b. 4 9 c. 1

3 d. 2 27 2.

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x_i -1 0 3 P(X=xi) 4

9

13 27

2 27

Non.

Ex.17 :

x_i -1 +1 +3

P(X=x_i) 5 16

5 16

3 8

Ex.18 : 1. pN= 1

7 , pR= 2

7 , pV= 4

7 2. 21 boules, 3 noires, 6 rouges et ... 3.

E(X)=1,5 4. 100€.

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23/25

(24)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :