Θ ∗ 1,Θ ∗ 2 etd ∗ 3.

(1)

Examen de robotique

Durée: 3heures

Doumentsautorisés.

Exerie 1 Robot sphérique

SoitunrobotsphériquedetypeRRT.Lagure1représenteerobotdanslapositionoùtoutes

lesoordonnéesartiulairessontnulles.

Fig.1Robotsphérique.

1. PlaerlesrepèresassoiésàhaundesorpsenrespetantlaonventiondeDH.Onveillera

àsimplieraumaximumletableaude DHet àrespeterlaontraintesurledernierrepère

(axeydanslesensdefermeturedelapine).

2. DonnerletableaudeDHdeerobot.

3. Donner lamatrie homogènedetransformation

M 03

^entre ^le^repère ^de^base

R 0

^et^le^repère

terminal

R ³

^en^fontion^des^oordonnéesartiulaires

Θ ^∗ 1

^,

Θ ^∗ 2

^et

d ^∗ 3

^.

4. Donner l'expression de

M 03

^pour

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 0 0]

^et ^pour

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 − π/2 0]

^.

Vérierlavaliditédevotremodèlegéométrique.

5. Donner l'expressionduJaobien

J

^de^e ^robot^qui ^relie^les^vitessesartiulaires

[ ˙ Θ ^∗ 1 Θ ˙ ^∗ 2 d ˙ ^∗ 3 ] ^T

aux vitesses de translation

[V x V y V z ] ^T

^dans ^le ^repère ^de ^base ^en ^fontion ^des ^positions

artiulaires

Θ ^∗ 1

^,

Θ ^∗ 2

^et

d ^∗ 3

^.

6. Donner l'expression de

J

^pour

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 0 0]

^. Ôn ^veut êxerer ûne ^fore

F

^sur

l'environnementdontlesoordonnéesdans lerepèrede base sont

F = [1 1 1] ^T

^en^Newton.

On suppose que lerobot est statique. Donner leveteur

τ

^des êortsâu^niveauârtiulaire

pourobtenir

F

^.

Exerie 2 Déouplage non linéaire

SoitunrobotdetypeSCARAà2artiulationsrotoïdesdontlemodèleestdonnéparlagure

2.Lerobotest représentédans laposition oùlesoordonnéesartiulaires

q 1

^et

q 2

^sont^nulles. ^La

longueurdesorpsest

l 1

^et

l 2

^.^On^modélise^la^masse^des^orps^par^les^masses

m 1

^et

m 2

^onentrées

(2)

Le ouple exeré par les ationneurs sur les orps 1 et 2 sont respetivement

τ ¹

^et

τ ²

^. ^Les

équationsdeladynamique deerobotsontlessuivantes:

τ 1 = m 2 l 2 ² (¨ q 1 + ¨ q 2 ) + m 2 l 1 l 2 cos q 2 (2¨ q 1 + ¨ q 2 ) + (m 1 + m 2 )l 1 ² q ¨ 1 − m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 2 ² − 2m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 q ˙ 2

τ ² = m ² l ¹ l ² cos q ² q ¨ ¹ + m ² l ¹ l ² sin q ² q ˙ ² 1 + m ² l 2 ² (¨ q ¹ + ¨ q ² )

Fig.2RobotSCARA.

Onherheàmettreeséquationssouslaformematriielle:

D(q)¨ q + C(q, q) ˙ q ˙ = τ

ave

q = [q 1 q 2 ] ^T

^le ^veteur ^des ^oordonnées artiulaires et

τ = [τ 1 τ 2 ] ^T

^le ^veteur ^des ^ouples

artiulaires.

1. Donnerlamatried'inertie

D(q)

^de^e^robot.

2. Donnerlamatrie

C(q, q) ˙

^des^eets^Coriolis^et entrifuges.

3. Proposerunshéma-blode ommandepardéouplagenonlinéairedee robot. Donnerla

matriedefontiondetransfertdel'assoiationdéouplagenonlinéaire+robot.

Exerie 3 Génération de trajetoire

Onveutgénérerlestrajetoiresartiulairesd'unrobot2axespourallerd'unepositionA=[00℄

versunepositionB=[12℄(enradians)enrespetantunproledevitessetriangulaireoutrapézoïdal.

Lesdeuxaxesontlesaratéristiquessuivantes:

Aélérationmaximale(

rad/s ²

⁾^:

A ¹ _max = 3

^et

A ² _max = 3

^.

Vitessemaximale(

rad/s

⁾^:

V _max ¹ = 1

^et

V _max ² = 2

Dessinerle prolede vitesse pour lesdeux axes qui garantituntemps de yle leplus ourt

possibleet identiquepourles2axes.Onindiqueratouslespointsimportantsenabsisse(temps)

Θ ∗ 1,Θ ∗ 2 etd ∗ 3.

M 03

R 0

R 3

Θ ∗ 1

Θ ∗ 2

d ∗ 3

M 03

[Θ ∗ 1 Θ ∗ 2 d ∗ 3 ] = [0 0 0]

[Θ ∗ 1 Θ ∗ 2 d ∗ 3 ] = [0 − π/2 0]

J

[ ˙ Θ ∗ 1 Θ ˙ ∗ 2 d ˙ ∗ 3 ] T

[V x V y V z ] T

Θ ∗ 1

Θ ∗ 2

d ∗ 3

J

[Θ ∗ 1 Θ ∗ 2 d ∗ 3 ] = [0 0 0]

F

F = [1 1 1] T

τ

F

q 1

q 2

l 1

l 2

m 1

m 2

τ 1

τ 2

τ 1 = m 2 l 2 2 (¨ q 1 + ¨ q 2 ) + m 2 l 1 l 2 cos q 2 (2¨ q 1 + ¨ q 2 ) + (m 1 + m 2 )l 1 2 q ¨ 1 − m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 2 2 − 2m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 q ˙ 2

τ 2 = m 2 l 1 l 2 cos q 2 q ¨ 1 + m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 2 1 + m 2 l 2 2 (¨ q 1 + ¨ q 2 )

D(q)¨ q + C(q, q) ˙ q ˙ = τ

q = [q 1 q 2 ] T

τ = [τ 1 τ 2 ] T

D(q)

C(q, q) ˙

rad/s 2

A 1 max = 3

A 2 max = 3

rad/s

V max 1 = 1

V max 2 = 2

R ³

Θ ^∗ 1

Θ ^∗ 2

d ^∗ 3

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 0 0]

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 − π/2 0]

[ ˙ Θ ^∗ 1 Θ ˙ ^∗ 2 d ˙ ^∗ 3 ] ^T

[V x V y V z ] ^T

Θ ^∗ 1

Θ ^∗ 2

d ^∗ 3

[Θ ^∗ 1 Θ ^∗ 2 d ^∗ 3 ] = [0 0 0]

F = [1 1 1] ^T

τ ¹

τ ²

τ 1 = m 2 l 2 ² (¨ q 1 + ¨ q 2 ) + m 2 l 1 l 2 cos q 2 (2¨ q 1 + ¨ q 2 ) + (m 1 + m 2 )l 1 ² q ¨ 1 − m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 2 ² − 2m 2 l 1 l 2 sin q 2 q ˙ 1 q ˙ 2

τ ² = m ² l ¹ l ² cos q ² q ¨ ¹ + m ² l ¹ l ² sin q ² q ˙ ² 1 + m ² l 2 ² (¨ q ¹ + ¨ q ² )

q = [q 1 q 2 ] ^T

τ = [τ 1 τ 2 ] ^T

rad/s ²

A ¹ _max = 3

A ² _max = 3

V _max ¹ = 1

V _max ² = 2