3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex

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3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex

JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 25

3.3 Inéquations du premier degré

Elles prennent les formes ax+ ≤b 0 , ax+ <b 0 , ax+ ≥b 0 , ax+ >b 0 (où a est non nul).

Solution : l’inconnue peut prendre une infinité de valeurs ; l’ensemble solution est un intervalle b

a

dont l’une des bornes vaut − et dont l’autre borne est infinie.

Attention au sens de l’inégalité et au signe du nombre a !

Rappel sur inégalités et changements de signe : Si x représente tous les nombres supérieurs à un nombre c, alors –x représente tous les nombres inférieurs à –c.

x c

− < − x>c

Dans tous les cas, le changement de signe des membres s’accompagne d’un changement de sens de l’inégalité posée.

Par exemple : − > ⇔ <x 3 x 3, 2− < − ⇔x 5 2x>5, 4− >x 10⇔ − < −x 4 10

Une inéquation exprime l’inégalité entre deux expressions ou valeurs : un membre de gauche et un membre de droite.

Multiplier/diviser les deux membres par le même nombre peut modifier son sens.

ex1 : 3 2

5 4 3 10 8 2

2

x x x x

− < − ⇔× − < − ^{, ex2 :}− +⁶^x ¹²< −¹⁸ ^{÷ −}⇔^{( )}⁶ ^x− >² ³ Ajouter/soustraire le même terme aux deux membres ne modifie pas l’inéquation.

ex1 :

2 10 18

3 10 8 2 5 10 8 5 18 et on finit en divisant par 5 : 5

x

x x x x x

+ +

− < − ⇔ − < ⇔ < <

ex2 :

2

2 3 5

x x

− > ⇔+ >

Une inégalité peut se retourner ! A < B ⇔ B > A.

Exemples : ^x^{+ < −}² ⁶ ^x ^⇔⁺^x ²^x^{+ <}² ⁶ ^⇔⁻² ²^x^<⁴ ^⇔^÷² ^x^<² ^S^{= −∞}

]

^{; 2}

[

3 1 2 1 1

3 1 5 5 1 3 2 1 0 2 1 ;

2 2

retournement x

x x x x x x x S

− − ÷ − − 

< + ⇔ + > ⇔ + > ⇔ > − ⇔ > = + ∞

Exercices : Résoudre les inéquations suivantes

3.3.1 a. x+ ≤2 3 b. 5 2− x> −9 c. 4x− < −6 10 d. 3 5− x≥8

3.3.2 a. x− > −1 1 x b. 14−5x≤14+5x c. 5x− >4 3x−2 d. ^{− + < −}⁶^x ⁹ ^{2 3}

(

^x⁻⁴